李建军

(北京工业大学,光电子技术教育部重点实验室,北京 100124)

1 引 言

随着半导体激光器(laser diodes,LD)性能的不断提升,波长在800 nm附近的LD在医疗、检测、抽运和工业加工等领域的应用日趋普遍[1−4],其中波长为808 nm的LD是广泛应用的Nd:YAG固体激光器的核心抽运光源[5],波长为793 nm的LD是新型掺铥光纤激光器必不可少的泵源[6−8].LD的性能与有源区材料的选取密切相关,对于这一波段LD的有源区,最早采用的是与GaAs衬底晶格匹配的AlGaAs材料[9],由于没有应变,LD的阈值高、效率低;另外,由于有源区含易被氧化的Al,器件的可靠性低.有源区采用压应变的AlGaInAs材料后[10,11],由于应变的引入使价带轻、重空穴带的简并消除,LD的阈值电流得以降低,量子效率得以提高,但为了补偿引入In后波长的变化,意味着有源区需要更多的Al,因此,器件的可靠性是一个问题.有源区采用无Al的InGaAsP材料后[12],器件的可靠性和寿命得以提高,但在实际的材料外延工艺中,四元系InGaAsP材料的生长窗口很窄,对外延条件的要求较为苛刻,且导带的带阶小,不利于对有源区中电子的限制,器件的温度特性差.

采用张应变的GaAsP量子阱作为LD的有源区材料是一很好的选择[13−17],其优点不但在于有源区的无铝提高了器件的可靠性,更为重要的是GaAsP在腔面处弛豫后,带隙增大,自然地形成一腔面非吸收窗口,有利于器件灾变性光学镜面烧毁(catastrophic optical mirror damage,COMD)水平的提高,100µm条宽单管LD的输出功率可达到55 W[14]未出现COMD,寿命可超过105h[18].

然而,与压应变量子阱相比,将张应变量子阱作为LD的有源区时,需要对阱的结构参数进行更为仔细的设计.对于张应变量子阱,除了张应变体材料的带隙收缩和价带简并消除效应外,随着阱宽的变化,量子效应会引起轻、重空穴子能级的相对位置发生变化.例如,重空穴的第一子带hh1既可以位于轻空穴的第一子带lh1之上[19],也可以位于lh1之下,hh1带甚至可以位于轻空穴的第二子带lh2之下.对于从导带第一子带c1到lh1和hh1的电子跃迁,由于光辐射表现出不同的偏振特性,因此张应变量子阱的结构参数不但会影响LD的波长、阈值和光功率等特性,甚至会影响激射模式的偏振特性.

本文基于6×6 Luttinger-Kohn理论模型,采用有限差分法计算了GaAsP/AlGaAs张应变量子阱的能带结构,给出了量子阱结构的优化设计方法,以期对GaAsP/AlGaAs张应变量子阱LD的有源区设计和分析提供理论指导.

2 理论模型

图1是GaAsP/AlGaAs量子阱不考虑应变效应时沿z方向的带边能带示意图,整个结构外延生长在GaAs衬底上,垒区是AlyGa1−yAs材料,阱区是张应变的GaAs1−xPx材料,因此称其为张应变GaAsP/AlGaAs量子阱.量子阱的厚度为dQW=z2−z1,EBg和EQWg分别是垒区和阱区的禁带宽度,ΔEc和ΔEv分别是导带和价带的带阶.

图1 GaAsP/AlGaAs量子阱带边能带示意图Fig.1. The energy band edge diagram of the GaAsP/AlGaAs quantum well.

令阱区价带顶的能量为零,则价带顶的能量Vh和导带底的能量Ve可分别表示为

导带电子的哈密顿量为[20]

其中,mn,t和mn,z分别是垂直和平行于材料生长方向的电子有效质量,ac是导带形变势,δEc=acTr是由静压力引起的导带移动量,ħ是普朗克常数.对于生长在[001]晶向衬底上的应变半导体材料,

其中,a0和分别是衬底和各应变外延层材料的晶格常数,C11和C12是弹性刚度常数.

令导带电子的波函数为

其中,A是量子阱的面积,kt是平行于阱方向的波矢,ϕn是导带第n个子带的包络函数,|S,η〉是基函数,η是电子的自旋,可取↑或↓.

ϕn(z,kt)应满足薛定谔方程,

在轴向近似下,基于Luttinger-Kohn方法,考虑轨道自旋后的价带6×6哈密顿量对角化为[20]

其中,

式中的各量为

其中,γ1,γ2和γ3是Luttinger参数;aυ和b是Bir-Pikus形变势;Δ(z)是自旋轨道分裂能量.(12)式中的上下正负号对应于σ=U和σ=L.应变对价带的影响由Pε和Qε项体现.

轴向近似下价带空穴的波函数为

(z,kt)可通过求解薛定谔方程得到,

3 数值方法

本文采用有限差分法求解方程(7)和(16).沿z方向将整个求解区域用N个等距格点进行划分,第1个格点与z=0对应,第N个格点与z=Lz对应,相邻格点的间距为Δz=Lz/(N−1).在第j个格点处,方程(7)的差分离散式为

其中,

对于束缚态,ϕn在垒区应是消逝波,本文取固定边界条件,即ϕn(1)=ϕn(N)=0.(17)式的求解转化为求三对角系数矩阵本征值的问题.

利用如下差分公式[20],

得到方程(16)在j点处的差分离散式为(2≤j≤N−1)

其中,A,B和C是3×3的系数矩阵,Gσ,mkt(j)代表第m个子带水平波矢为kt在格点j处的包络函数值,

受篇幅所限,这里只给出系数矩阵B(j)的形式:

式中矩阵的下标j表示各矩阵元与j有关.各矩阵元的具体差分形式为

Pε(j),Qε(j),Vh(j)和Δ(j)则取格点j处的相应值即可.仍然取固定边界条件,联立方程(21),求解转化为求块三对角矩阵本征值的问题,每个矩阵元是一3×3的矩阵.

对于非掺杂量子阱,阱区的电子浓度和空穴浓度相等,设都等于nQW.解得方程(17)和(21)后,由nQW可确定导带电子的准费米能级Fc和价带的准费米能级Fv,

导带第n个子带与价带第m个子带间的横电(TE)和横磁(TM)模跃迁动量矩阵元为[20]

其中,上标†表示求复共轭,=m0Ep/6,m0是电子的质量,Ep是阱区的能量参数,可由表1中的值线性插值得到.

光增益的数值解为

其中,ω是光子频率,q是单位电荷量,γ洛沦兹函数的半宽,nr是折射率,c是光速,ε0是真空介电常数.由于动量矩阵元与导带电子的自旋无关,上两式中对η的求和已用简单的乘2做了代替.和分别是费米分布函数,是相同kt时导带和价带子带间的能量差:

自发辐射谱的数值解为

其中,

对(33)式在整个光能量范围内积分,可得到自发辐射率Rsp,即

其中Δ(ħω)是ħωj的间隔.

4 模拟结果与讨论

表1列出了二元系材料GaAs,GaP和AlAs在300 K时的材料参数[21,22],三元系材料GaAsP和AlGaAs的参数可由相应二元系材料线性插值得到.GaAs1−xPx和AlyGa1−yAs的带隙可由下式插值[21]:

其中,Eg是材料的带隙,Eg后面括号里的内容是对应的体材料,C是弯曲参数.相应于Γ带隙,GaAs1−xPx的C等取0.19 eV,AlyGa1−yAs的C=−0.127+1.310y.

表1 在300 K时的材料参数(1 dyn.cm−2=0.1 Pa).Table 1.Material parameters at 300 K.

具体计算过程中,将AlyGa1−yAs垒层的Al组分y固定为0.4,垒层的厚度固定16 nm,由文献[23]的模型固体理论计算ΔEc/ΔEv,差分步长Δz=0.1 nm.

将量子阱用作LD的有源区时,激射波长主要决定于导带第一子带c1到价带第一子带的跃迁能量.图2给出了kt=0,且固定为808 nm(Nd:YAG的抽运源)和793 nm(掺铥光纤激光器的抽运源)跃迁波长时,阱宽dQW和P组分x间的匹配关系,后文中分别称这种匹配关系的量子阱为793 nm QW和808 nm QW.在x固定的情况下,随着dQW的增加,由于向导带底移动,向价带顶移动,导致减小,为了在dQW增加时保证固定不变,需要通过增加阱中P的组分x来增加带隙Eg以进行补偿.即在跃迁波长固定的情况下,宽的阱宽与大的张应变量对应,这一点与GaAs衬底上的压应变InGaAs量子阱正好相反.在图2中同时给出了由力平衡模型[24]求得的GaAs1−xPx的临界层厚度与组分x的关系.由于在相同阱宽下,793 nm QW的x比808 nm QW的高,793 nm QW的阱宽极限应小于19 nm,而808 nm QW在20 nm以下的阱宽都满足临界厚度的要求.

图2 近800 nm QW的阱宽和组分间的关系Fig.2.Relationship between well width and P composition x for 800 nm QW.

图3给出的是kt=0时,808 nm QW的E1c与价带轻、重空穴第一、二子能级间的能量差,注意图中纵坐标的方向是向下为正.当阱宽为9.3 nm时,轻空穴第一子能级和重空穴第一子能级重合;当阱宽小于9.3 nm时,靠近价带顶的是当阱宽大于9.3 nm时,靠近价带顶的是另外,当阱宽大于9.3 nm时,随阱宽的增加,重空穴的第一、二子能级逐渐远离价带顶,而轻空穴的第二子级却逐渐靠近价带顶.相比而言,对于GaAs衬底上的压应变InGaAs量子阱,不论阱宽如何变化,永远是重空穴第一子带hh1最靠近价带顶.当dQW=16.3 nm时,重合,当dQW进一步增加到等于18.6 nm时,甚至与重合,而当dQW大于18.6 nm时,原本远离价带顶的比更靠近价带顶.

图3 808 nm QW导带第一子带到价带第一、二子带的能量差Fig.3.Transition energy from the conduction first subband to the valence first and second band for 808 nm QW.

图4给出了dQW分别为6,9.3,14,16.3,18.6和20 nm时,808 nm QW价带子带的能量色散关系,图中能量零点取为无应变体材料的价带顶.众所周知,张应变体材料的轻、重空穴带在带顶处的简并消除,且轻空穴带位于重空穴带之上,因此对于dQW=20 nm趋向于体材料的宽阱情形,轻空穴子带lh1和lh2都位于重空穴子带hh1之上,且kt=0时lh1带的能量为正,这是由于张应变引起的带隙收缩和轻空穴带的上移造成的.随着dQW的减小,量子尺寸效应逐渐增强,子带的数目逐渐减少.对于808 nm QW,dQW的减小需伴随阱中P组分x的同时减少,因此张应变作用逐渐减弱,808 nm QW随dQW的减小逐步向无应变量子阱过渡,体现为当dQW=6 nm,x=0.03204时,不但hh1子带位于lh1和lh2的子带之上,lh2子带甚至比hh3子带还要低.从图4可见,当kt=0时,与图3相对应,dQW=9.3 nm时,dQW=16.3 nm时,dQW=18.6 nm时,

图4 不同阱宽时808 nm QW的价带子带结构Fig.4.Valence subband structure of the 808 nm QW for different well widths.

图5 dQW=14 nm时808 nm QW前4个价带子带的波函数 (a)—(d)kt=0;(e)—(h)kt=0.1×2π/a0Fig.5.The envelope function of the top four valence subband for 808 nm QW with dQW=14 nm:(a)–(d)Corresponding to kt=0;(e)–(h)corresponding to kt=0.1 ×2π/a0.

图4中标注的各子带是轻空穴带还是重空穴带以及其子带序号是根据kt=0时的波函数确定的.图5(a)—(d)分别给出了量子阱厚度为14 nm,且kt=0时前4个价带子带的包络函数,波函数用进行了归一化,成为无量纲量.由和|glh|2的相对大小以及波函数的波节数,可以确定图5(a)和图5(d)分别与lh1和lh2对应,图5(b)和图5(c)分别与hh1和hh2对应.从图中同时看到,当kt=0时,轻空穴子带的波函数以glh分量为主,兼有少量的gso耦合分量,且ghh分量为零,而重空穴子带的波函数中都是ghh分量,glh和gso分量都为零.另外,lh和hh的第一子带波函数满足偶对称,lh和hh的第二子带波函数满足奇对称.图5(e)—(h)是kt=0.1×2π/a0时,14 nm阱宽808 nm QW前4个价带子带的波函数.显见,当kt远离布里渊区中心时,不但各子带波函数的对称性受到破坏,且hh,lh以及so带间的耦合变得加强,gso分量在各带中的比例不可忽略.

图6给出了14 nm阱宽时808 nm QW导带第1子带c1到价带前4个子带的跃迁动量矩阵元,其中动量矩阵元的值用体材料的|Mb|2进行了归一化(考虑导带有两个自旋方向后应给图中的值乘以2).在kt=0处,c1到lh1的TE和TM动量矩阵元分别为0.22|Mb|2和1.05|Mb|2,c1到hh1的TE和TM动量矩阵元分别为0.75|Mb|2和0,该结果与文献[20]一致.因此,c1到lh1的跃迁以TM模为主,且有更高的跃迁强度;c1到hh1的跃迁以TE模为主,且有更高的偏振选择比.在kt=0处,c1到lh2和hh2的跃迁是严格禁止的,体现为跃迁动量矩阵元为零.当kt远离布里渊区中心时,在c1—lh1的TM模和c1—hh1的TE模的跃迁强度降低的同时,由于波函数对称性的破坏,原本在kt=0时禁止的带间跃迁不再被满足.

图6 dQW=14 nm时808 nm QW导带第1子带到价带前4个子带的跃迁动量矩阵元 (a)TE模;(b)TM模Fig.6.The momentum-matrix elements from c1 to the top four valence subband for 808 nm QW with dQW=14 nm:(a)TE mode;(b)TM mode.

考虑将Al0.4Ga0.6As/GaAs1−xPx/Al0.4Ga0.6As量子阱用作808 nm LD的有源区,光限制层为Al0.9Ga0.1As材料,波导层的总厚度为1.4µm.在5—20 nm的阱宽范围内,根据传输矩阵法模拟得到基横模的有源区光限制因子与量子阱的厚度dQW间近似满足:

其中,dQW的单位是nm.LD的振幅阈值条件为

其中,gth是有源区的阈值增益,αi是腔损耗,L是腔长,r1和r2分别是两个腔面的反射系数.

在满足图2的阱宽-组分关系下,图7分别给出了腔长为1.5 mm(蓝实线)和3 mm(黑实线)时,808 nm LD的阈值增益与阱宽的关系,其中αi=1.1 cm−1,r1r2=30%.由于有源区的光限制因子随阱宽的增加而增大,因此阈值增益随阱宽的增加而减小.在图中同时给出了阈值条件下TE模和TM模的峰值增益,对于L=1.5 mm(3 mm)情形,当dQW=7.8 nm(8.2 nm)时,TE模和TM模的峰值增益相等;当dQW＜7.8 nm(8.2 nm)时,TE模的峰值增益比TM模的高,激射模以TE模为主;而当dQW＞7.8 nm(8.2 nm)时,TM模的峰值增益比TE模的高,激射模以TM模为主.另外,TE模和TM模的峰值增益相等时对应的7.8 nm(8.2 nm)阱宽,比图3中时的9.3 nm阱宽要小,这是由于c1到lh1的TM模的跃迁动量矩阵元比c1到hh1的TE模的大造成的.相应于图7的阈值条件,图8给出了腔长为1.5 mm时的阈值载流子浓度nth与阱宽的关系,随阱宽的增加,由于gth降低,相应的nth也减少.图中同时还给出了在阈值条件下导带第一子带上的载流子浓度n1和价带第一子带上的载流子浓度p1,随阱宽的增加,由于各子带间的能量差随阱宽减小而降低,载流子在高能量子带上的填充不可忽略,导致第一子带上的载流子数目与nth的比率随阱宽的增加而减小.

图7 808 nm LD阈值增益与阱宽的关系Fig.7.Relationship between threshold gain and the well width for 808 nm LD.

图8 808 nm LD阈值载流子浓度与阱宽的关系Fig.8.Relationship between threshold carrier concentration and the well width for 808 nm LD.

相应于图7的阈值条件,图9给出了腔长为1.5 mm且阱宽分别为5.5,7.8和12 nm时的阈值增益谱.尽管dQW=7.8 nm时TE模和TM模的峰值增益相等,二者对应的峰值波长并不相等.根据图3,此时hh1带比lh1带更靠近价带顶,由于TM模(c1—lh1)强的动量矩阵元对lh1带上低载流子浓度的补偿作用,TM模的峰值波长相对于TE模(c1—hh1)的峰值波长蓝移.当dQW=5.5 nm时,hh1带更靠近价带顶,TE模增益比TM模增益大,而当dQW=12 nm时,lh1带更靠近价带顶,TM模增益比TE模的大.

图9 不同阱宽808 nm LD的阈值增益谱Fig.9.Threshold optical gain of 808 nm LD with different well widths.

图10是在阈值处,1.5 mm腔长808 nm LD的复合率R与阱宽的关系,R包括自发辐射率Rsp和俄歇复合率RAug两部分,其中Ca=6×10−30cm6/s是俄歇复合系数.随阱宽的增加,由于nth降低(见图8),使得Rsp和RAug都减小.图10内插图是腔长为1.5 mm,阱宽分别为5.5,7.8和12 nm时,在阈值条件下LD的自发辐射谱.

图10 1.5 mm腔长808 nm LD阈值条件下的复合率与阱宽的关系Fig.10.Relationship between recombination rate and well width under threshold condition for 808 nm LD with L=1.5 mm.

图11 1.5 mm腔长808 nm LD阈值电流密度与阱宽的关系Fig.11.Relationship between threshold current density and well width for 808 nm LD with L=1.5 mm.

根据阈值载流子浓度nth求得复合率后,可进一步求得阈值电流密度,

其中,Jrad和JAug分别是阈值处的自发辐射和俄歇复合电流密度分量.图11是1.5 mm腔长808 nm LD阈值电流密度与阱宽的关系.在dQW=10.8 nm处有一Jth的极小值.dQW＞10.8 nm时,随dQW的增加,尽管复合率R减小,但dQW和R相乘的结果仍然是增加的,使得Jth随dQW的增加而增大,这是由于载流子填充高能量子带的概率增大造成的.而dQW＜10.8 nm时,随dQW的减小,R快速增大(图10),dQW和R相乘的结果是增加的,体现为Jth的增加,这是由于窄阱宽的低光限制因子造成的.dQW＜6.5 nm时窄阱宽作用虽然可以使Jth降低,但JAug的成分也在增加,且过高的阈值载流子浓度(图8)会增加载流子从阱区向垒区的逃逸概率.因此,从阈值电流密度角度考虑,dQW=10.8 nm(阱区相应的P组分x为0.09)是最优值.

5 结 论

对于外延生长在GaAs衬底上的张应变GaAs1−xPx量子阱,需通过组分x和阱宽的同时增加或减小以实现LD激射波长不变,大阱宽时最靠近价带顶的是lh1带,小阱宽时最靠近价带顶的是hh1带.将张应变GaAs1−xPx量子阱用作近800 nm LD的有源区时,大的阱宽有利于TM模激射,小的阱宽有利于TE模激射.对于波长固定为近800 nm的LD,存在一最佳的阱宽-阱组分组合,可使阈值电流密度最小,小阱宽时过低的有源区光限制因子使阈值电流密度增大,而大阱宽时则是载流子对高能量子带上的填充导致阈值电流密度升高.对于具体的GaAs1−xPx量子阱LD,应根据器件的结构参数(如腔长和光限因子等)和内部参数(如内损耗和腔面反射率等),对量子阱的结构参数进行优化设计.

[1]Ronen D,Yuri B,Shalom C,Genady K,Moshe L,Yaki O,Ophir P,Dan Y,Yoram K 2011Proc.SPIE8039 80390E

[2]Wang L J,Ning Y Q,Qin L,Tong C Z,Chen Y Y 2015Chin.J.Lumin.36 1(in Chinese)[王立军,宁永强,秦莉,佟存柱,陈泳屹2015发光学报36 1]

[3]Jiang X M,Zhong H Q,Yang H,Zhou Y,Liu Z M,Zhao C H,Yan J S,Ye B G,Su C K,Wu X L,Hou Y Q,Jiang W L,Liu J X,Wang Z,Lin J,Long J,Guo Z Y 2017Infra.Laser Eng.46 0206001(in Chinese)[姜雪梅,钟会清,杨辉,周艳,刘智明,赵仓焕,晏锦胜,叶丙刚,苏成康,吴秀丽,侯雨晴,姜万玲,刘键雄,王振,林锦,龙佳,郭周义2017红外与激光工程46 0206001]

[4]Degtyareva N S,Kondakov S A,Mikayelyan G T,Gorlachuk P V,Ladugin M A,Marmalyuk A A,Ryaboshtan Y L,Yarotskaya I V 2013Quantum Electron.43 509

[5]Fan Z W,Qiu J S,Tang X X,Bai Z A,Kang Z J,Ge W Q,Wang H C,Liu H,Liu Y L 2017Acta Phys.Sin.66 054205(in Chinese)[樊仲维,邱基斯,唐熊忻,白振岙,康治军,葛文琦,王昊成,刘昊,刘悦亮 2017物理学报 66 054205]

[6]Liu J,Liu C,Shi H X,Wang P 2016Acta Phys.Sin.65 194208(in Chinese)[刘江,刘晨,师红星,王璞 2016物理学报65 194208]

[7]Liu J,Liu C,Shi H X,Wang P 2016Acta Phys.Sin.65 194209(in Chinese)[刘江,刘晨,师红星,王璞 2016物理学报65 194209]

[8]Wang X F,Zhang J H,Gao Z Y,Xia G Q,Wu Z M 2017Acta Phys.Sin.66 114209(in Chinese)[王小发,张俊红,高子叶,夏光琼,吴正茂2017物理学报66 114209]

[9]PetroffP,Hartman R L 1973Appl.Phys.Lett.23 469[10]Li J J,Han J,Deng J,Zou D S,Shen G D 2006Chin.J.Laser33 1159(in Chinese)[李建军,韩军,邓军,邹德恕,沈光地2006中国激光33 1159]

[11]Wang Z F,Yang G W,Wu J Y,Song K C,Li X S,Song Y F 2016Acta Phys.Sin.65 164203(in Chinese)[王贞福,杨国文,吴建耀,宋克昌,李秀山,宋云菲 2016物理学报65 164203]

[12]Botez D 1999Proc.SPIE3628 1

[13]Klehr A,Wünsche H J,Liero A,Prziwarka T,Erbert G,Wenzel H,Knigge A 2017Semicond.Sci.Technol.32 045016

[14]Crump P,Wenzel H,Erbert G,Ressel P,Zorn M,Bugge F,Einfeldt S,Staske R,Zeimer U,Pietrzak A,Tränkle G 2008IEEE Photon.Technol.Lett.20 1378

[15]Paschke K,Einfeldt S,Fiebig C,Ginolas A,Häusler K,Ressel P,Sumpf B,Erbert G 2007Proc.SPIE6456 64560H

[16]Li P X,Jiang K,Zhang X,Tang Q M,Xia W,Li S Q,Ren Z X,Xu X G 2013Proc.SPIE8605 860510

[17]Wang Y,Yang Y,Qin L,Wang C,Yao D,Liu Y,Wang L J 2008Proc.SPIE7135 71350N

[18]Häusler K,Sumpf B,Erbert G,Tränkle G 2007Conference on Lasers and Electro-Optics-Paci fic RimSeoul,Republic of Korea,August 26–31,2007 p10020732

[19]Wenzel H,Erbert G,Bugge F,Knauer A,Maege J,Sebastian J,Staske R,Vogel K,Tränkle G 2000Proc.SPIE3947 32

[20]Chang C S,Chuang S L 1995IEEE J.Sel.Top.Quantum Electron.1 218

[21]Vurgaftman I,Meyer J R,Ram-Mohan L R 2001J.Appl.Phys.89 5815

[22]Chuang S L 1991Phys.Rev.B43 9649

[23]Chris G,van de Walle 1989Phys.Rev.B39 1871

[24]Matthews J W,Blakeslee A E 1974J.Cryst.Growth27 118