刘文 李锐 张晋红 林腾蛟 杨云

摘 要：针对势能法计算斜齿轮时变啮合刚度精度不足问题，提出一种刚度修正算法. 考虑端面重合度大于或小于轴向重合度两种情况下单齿接触线长度的不同表达形式，建立齿根圆与基圆不重合时的变截面悬臂梁模型，采用切片法和积分思想推导并计算了斜齿轮啮合刚度，通过与ISO算法和有限元法对比分析，验证了该修正算法的可行性. 在此基础上，探讨了螺旋角、模数、齿数、齿宽和压力角等参数对啮合刚度的影响. 计算与分析表明，啮入段的相对时间与端面重合度和轴向重合度大小及比重有关；齿轮基本参数的变化引起重合度和单齿啮合刚度的改变，进而影响综合啮合刚度波动值和均值；当端面重合度或轴向重合度在整数附近时，啮合刚度波动值较小，而总重合度在整数附近时，啮合刚度波动值较大. 与传统势能法相比，修正算法提高了斜齿轮时变啮合刚度的计算精度，在斜齿轮刚度激励的准确计算方面具有较强的实用性.

关键词：势能法；斜齿轮；时变啮合刚度；重合度

中图分类号：TH132.41文献标志码：A

Abstract： Due to the inaccuracy of potential energy method in calculation of timevarying mesh stiffness of helical gears， a stiffness correction algorithm was proposed. Considering the different expressions for the length of contact lines of single tooth on two kinds of situations in which the transverse contact ratio is greater or less than the overlap ratio， a nonuniform cantilever beam model was established when root circle and base circle misaligned， and then the mesh stiffness of helical gears was derived and calculated by using sliceintegral method. By comparing with ISO standard and finite element method， the feasibility of the proposed correction algorithm was verified. Meanwhile， a parametric study was conducted to investigate the effects of various parameters， such as helix angle， normal module， tooth number， face width and normal pressure angle on the behavior of mesh stiffness. The calculation and analysis indicate that the relative time of the engagingin section is related to the proportion values of transverse contact ratio and overlap ratio. Variation of gear parameters affects the fluctuation value of total mesh stiffness and average mesh stiffness by changing the contact ratios and single mesh stiffness. In addition， the fluctuation is little when the transverse contact ratio or overlap ratio is close to an integer， while it fluctuates more intensively when the total contact ratio is close to an integer. Compared with the traditional potential energy method， the precision of correction algorithm in calculating timevarying mesh stiffness of helical gears is obviously improved. It has relatively better practicability in the accurate calculation of stiffness excitation of helical gears.

Key words：potential energy method； helical gears； timevarying mesh stiffness； contact ratios

齒轮传动是机械系统中应用最广泛的运动和动力传递形式，对系统的动态特性有很大的影响.随着对机械系统性能要求的提高，齿轮传动正朝着大功率、高转速、低噪声的方向发展，而啮合刚度的时变特性是齿轮系统产生振动噪声的主要源头，它的准确计算是齿轮系统动力学分析的重要基础[1].

在齿轮系统的啮合刚度方面，国内外学者进行了许多研究. 齿轮啮合刚度由轮齿的弹性变形求得，其计算主要有材料力学法、弹性力学法、石川公式法和有限元法等. 根据研究对象不同，又分为直齿轮和斜齿轮. 对于直齿轮，文献[2-4]运用势能法对直齿轮时变啮合刚度进行了计算，并分析了齿根裂纹对啮合刚度的影响；文献[5]基于有限元法分析了两种算法对直齿轮啮合刚度的影响；文献[6]提出一种基于石川公式的直齿轮啮合刚度改进算法；文献[7]基于有限元法和弹性接触理论提出了一种线性规划法计算啮合刚度的方法，并分析了齿轮结构参数和基本参数对啮合刚度的影响；文献[8-9]基于势能法将齿根简化为圆弧和直线，推导并计算了直齿轮啮合刚度，提高了其计算精度.

对于斜齿轮，文献[10]提出了求解理想圆柱齿轮和斜齿轮时变啮合刚度的近似方程；文献[11]建立斜齿轮参数化数值模型并运用有限元法计算其时变啮合刚度；文献[12]将有限元法和弹性接触理论相结合来计算斜齿轮的啮合刚度；文献[13]提出了考虑安装误差时斜齿轮啮合刚度的有限元计算方法；文献[14]基于有限元法分析了不同齿轮参数对斜齿轮啮合刚度的影响规律；文献[15]运用累积积分势能法推导了斜齿轮的时变刚度，并分析了模数、齿数和齿宽的影响；文献[16]运用累积积分势能法研究了齿面剥落和局部破损对斜齿轮时变啮合强度的影响；文献[17-18]通过计算齿轮时变啮合刚度，并结合其他参数，预估了齿轮系统的振动特性和辐射噪声.

以上文献取得了大量研究成果，但对于斜齿轮啮合刚度的求解，ISO标准只能计算平均啮合刚度或齿轮单齿啮合刚度的最大值，有限元法计算量较大且结构参数改变需花费大量时间重新建模，石川公式难以考虑精确渐开线齿廓. 势能法不仅可以考虑精确渐开线齿廓而且能够快速、准确求得斜齿轮的时变啮合刚度，目前基于势能法求解斜齿轮的啮合刚度虽有少量研究[15-16]，但其忽略了齿根圆与基圆不重合的问题，导致计算结果存在较大误差，同时对斜齿轮啮合刚度的影响因素研究较少.

本文在文献[3-4，8-9，15-16]研究成果的基础上，以斜齿轮副为研究对象，运用切片法和积分思想，提出了一种考虑齿根圆与基圆不重合时斜齿轮啮合刚度的修正算法，进一步提高了计算精度，使斜齿轮的时变啮合刚度求解更加准确. 此外，分析探讨了螺旋角、模数、齿数、齿宽、压力角的变化对斜齿轮啮合刚度的影响以及啮合刚度波动值与重合度之间的关系，为齿轮系统减振降噪设计提供了一定的理论基础.

1 斜齿轮时变啮合刚度计算原理

对于直齿轮来说，在不考虑重合度的情况下，每个轮齿可看作是一个变截面的悬臂梁，在齿面载荷的作用下发生变形. 如图1所示为直齿轮轮齿变截面悬臂梁模型.

综上所述，将各部分刚度按并联方式组合即可得到一对齿轮副的啮合刚度，表示为：

斜齿轮由于存在螺旋角，其啮合刚度计算与直齿轮有区别，但可以利用切片法和积分的思想，将其沿齿宽方向切分成若干片很薄的轮齿，每一部分可认为是直齿轮，通过计算各部分的啮合刚度，最后积分即可得到斜齿轮的啮合刚度. 斜齿轮的悬臂梁模型如图3所示.

2 斜齿轮时变啮合刚度修正算法

将轮齿简化为基圆上的悬臂梁模型不够精确，因为轮齿起始于齿根圆，当两者不重合时，啮合刚度将产生误差，因此有必要对斜齿轮啮合刚度算法进行修正，同时对单齿接触线长度两种表达形式下啮合刚度表达式中相关参数的不同进行详细补充.

2.1 时变接触线长度

在一个单齿啮合周期内，斜齿轮在啮合平面上的时变接触线长度有两种表达形式，如图4所示.

2.2 基圆半径大于齿根圆半径时的啮合刚度

基圆半径大于齿根圆半径时，未修正的算法在求解啮合刚度时，将轮齿简化为基圆上的悬臂梁，相当于减小了悬臂梁的长度，未考虑基圆与齿根圆之间轮齿部分的变形，将导致啮合刚度值偏大. 修正后的轮齿变截面悬臂梁二维模型如图5所示.

2.3 基圆半径小于齿根圆半径时的啮合刚度

基圆半径小于齿根圆半径时，未修正的算法在求解啮合刚度时，将轮齿简化为基圆上的悬臂梁，增加了悬臂梁的长度，多计算了基圆与齿根圆之间轮齿部分的变形，将导致啮合刚度值偏小，需要在原啮合刚度公式基础上改变积分的上限. 修正后的轮齿变截面悬臂梁二维模型如图6所示.

2.4 啮合刚度修正算法验证

采用ISO 6336-1-2006算法、有限元法、文献[15]及本文的修正方法对两组传动比为1的斜齿轮副（一组齿数为20，模数为3 mm，螺旋角为15°，齿宽为30 mm，转速为1 000 r/min，另一组齿数为60，其它参数相同）的啮合刚度进行对比分析.

表2和表3为各方法计算的单齿啮合刚度最大值C'和啮合刚度平均值Cγm与ISO算法计算值误差对比，图7和图8为各方法计算的齿轮啮合刚度曲线，图中横坐标T为无量纲时间，T=t/tε，t为时间，tε为单齿啮合时间.

表2和图7为基圆半径大于齿根圆半径时（齿数为20）啮合刚度计算结果，可以看出，本文和有限元法计算结果与ISO算法最接近，单齿啮合刚度误差分别为1.11%和1.66%，啮合刚度平均值误差分别为3.64%和4.66%，文献[15]因為没有考虑基圆与齿根圆之间的变形，导致啮合刚度偏大，单齿啮合刚度和啮合刚度平均值误差分别为11.1%和13.4%.

表3和图8为基圆半径小于齿根圆半径时（齿数为60）啮合刚度计算结果，可以看出，本文和有限元法计算结果与ISO算法最接近，单齿啮合刚度误差分别为1.84%和0.46%，啮合刚度平均值误差分别为2.12%和3.48%，文献[15]因为多计算了基圆与齿根圆之间的变形，导致啮合刚度偏小，单齿啮合刚度和啮合刚度平均值误差分别为19.8%和19.7%.

3 斜齿轮基本参数对啮合刚度的影响

斜齿轮的基本参数主要包括模数、齿数、螺旋角、齿宽、压力角等，为揭示各参数对啮合刚度的影响，以表4中的参数为基准，通过改变基本参数开展研究.

3.1 螺旋角

将表4中斜齿轮副的螺旋角分别设为6°、9°、12°、15°、18°和21°，其他参数保持不变，不同螺旋角时斜齿轮的重合度如表5所示，对应的单齿与综合啮合刚度曲线如图9所示（图中虚线为单齿啮合刚度，实线为综合啮合刚度）. 可以看出，螺旋角增大使端面重合度减小，轴向重合度增大，总重合度增

大；齿轮副由两齿/三齿交替啮合逐渐过渡到三齿/四齿交替啮合，且多齿啮合区的啮合刚度不一定大于少齿啮合区的啮合刚度.

此外，螺旋角较小时，端面重合度大于轴向重合度，螺旋角增大使轴向重合度在总重合度中的比重逐渐增加，啮入段的相对时间增加；随着螺旋角继续增大，当螺旋角增加至端面重合度小于轴向重合度，啮入段的相对时间将减少. 同时，螺旋角增大对啮合刚度均值和波动值ΔCγ影响较小，啮合刚度均值基本不发生变化. 结合表5和图9可看出，当轴向重合度靠近整数时，啮合刚度的波动值较小.

为明确重合度和啮合刚度波动值之间的关系，令螺旋角从0°每间隔1°变化到35°，对应的啮合刚度波动值曲线如图10所示.

由图10可以看出，随着螺旋角的增大，啮合刚度波动值并非单调下降. 当螺旋角为15°和30°时，啮合刚度波动值均处于极小值位置，此时对应的轴向重合度恰好在整数附近. 与此同时，当螺旋角为3°和22°时，啮合刚度波动值均处于极大值位置，此时总重合度恰好在整数附近. 而对于直齿轮而言，端面重合度在整数附近时，啮合刚度波动值较小[1]. 因此可以得出，当端面重合度或轴向重合度接近整数时，斜啮合刚度将具有较小的波动值，当总重合度接近整数时，斜啮合刚度将具有较大的波动值.

传统观点认为重合度越大，齿轮系统运转越平稳，其实这一观点值得商榷. 系统运转稳定性与啮合刚度波动值有直接联系，因此工程实践中可考虑将轴向重合度调整至整数附近以降低系统的振动.

3.2 模数和齿数

在设计初期，齿轮系统和齿轮箱的大体尺寸就已确定，因此在改变齿数的同时，也应相应改变模数以保证中心距不变. 将齿数从30每间隔10变化到80，相应的模数从6.67 mm变化至2.5 mm，对应的单齿啮合刚度如图11所示，啮合刚度波动值和均值如图12所示. 齿数增加使端面重合度和轴向重合度增大，但轴向重合度在总重合度中的比重增加，因此啮入段的相对时间增加；但单齿啮合刚度最大值未发生明显变化，同时由于总重合度增加，导致啮合刚度均值略有增加；轴向重合度在整数附近时（z=50，εβ=1.030），啮合刚度波动值较小，总重合度在整数附近时（z=70，εγ=3.155），啮合刚度波动值较大.

3.3 齿宽

齿宽增加时不影响齿轮副端面重合度，而使轴向重合度增加，因此啮入段的相对时间增加. 齿宽增加使轮齿接触变形、弯曲变形、剪切变形、轴向压缩变形和基体变形减小，从而使单齿啮合刚度增加. 将齿宽从30 mm每隔10 mm增加至80 mm，对应的单齿啮合刚度如图13所示. 重合度与单齿啮合刚度增加使啮合刚度均值接近線性规律增加，轴向重合度在整数附近时（B=50，εβ=1.030），啮合刚度波动值较小，如图14所示.

3.4 压力角

当压力角增大时，齿顶变薄而齿根变厚，齿面曲率半径会增大，从而提高轮齿的齿面接触强度和齿根弯曲强度. 不同压力角的单齿啮合刚度如图15所示，由图15可以看出压力角增加使轮齿接触变形和弯曲变形减小，从而使单齿啮合刚度最大值增加；同时轴向重合度在总重合度中的比重增加，因此啮入段的相对时间增加. 将齿轮的法面压力角从15°每间隔1°变化至25°，对应的啮合刚度波动值和均值如图16所示. 由图16可以看出，虽然单齿啮合刚度有所增加，但是总重合度减小，因此啮合刚度均值随着压力角的增加并非呈现单调减小趋势，同时压力角的变化不影响轴向重合度，所以啮合刚度波动值未发生明显变化，均处于较小的位置.

4 结 论

1） 基于势能法提出了一种考虑齿根圆与基圆不重合时的斜齿轮时变啮合刚度修正方法，通过与ISO算法和有限元法的对比分析，验证了该修正算法的可行性，提升了斜齿轮啮合刚度的计算精度.

2） 分析探讨了螺旋角、模数、齿数、齿宽、压力角的变化对斜齿轮啮合刚度的影响. 啮入段的相对时间与端面重合度和轴向重合度大小及比重有关；齿轮副的重合度和单齿啮合刚度随齿轮参数的变化而改变，进而影响综合啮合刚度的波动值和均值. 计算与分析结果可为斜齿轮传动参数的优化选取提供参考.

3） 重合度是影响啮合刚度波动值的重要因素. 当端面重合度或轴向重合度在整数附近时，啮合刚度波动值较小，而总重合度在整数附近时，啮合刚度波动值较大. 在设计中应合理搭配齿轮参数，一方面应保证较大的重合度，使更多的齿同时受载，同时需确保啮合刚度的波动值较小，从而降低系统的振动.

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