郑明亮

（浙江理工大学 机械与控制学院，浙江 杭州 310018）

力学系统的运动依赖于所受作用力和所加的约束，一般约束带有控制参数、约束方程带有伺服约束的，以及受迫控制系统，都统称为可控力学系统[1]。力学系统的对称性和守恒量在数学和物理上都具有很重要的意义。可控力学系统作为约束力学系统的一个重要扩充，相对于约束力学系统的其他方面来说，人们对其研究的并不十分充分，但也一直在不停地发展中，很多学者致力于这方面的理论研究。国外，对可控力学系统的具体应用有学者Choi Seung-Bok[2]和Shinji Hara[3]等。国内梅凤翔教授在文献[4-6]中对带约束的可控力学系统的变分原理、运动方程和积分方法相关问题进行了比较全面的讨论。在对称性和守恒量方面，夏丽莉博士[7]给出了建立带有控制参数的各种约束动力学的基本方程，并全面研究了系统的Noether对称性、Lie对称性和Mei对称性理论。梅凤翔教授[8-9]利用代数方程和微分方程在无限小变换下的不变性，研究带有伺服约束的非完整系统的Lie对称性，给出守恒量的形式以及系统对称性摄动和绝热不变量。丁宁和方建会[10]研究了非完整可控力学的Mei对称性摄动导致的绝热不变量。李元成和夏丽莉[11-13]在相对论转动变质量可控力学系统的对称性方面取得了一些成果。现代工程力学系统要想更加精密与灵巧的发挥工作，必然要结合控制理论和技术，从而这在很大程度上刺激了对可控力学系统要开展更深入研究。因此，研究可控力学系统的对称性与守恒量就有十分重要的理论和现实意义。

可控非奇异力学系统的对称性和守恒量研究已经得到若干结果。但在Legendre变换下，奇异Lagrange系统过渡到相空间用Hamilton正则变量描述时，其正则变量之间存在固有约束，称之为约束Hamilton系统[14]。现实中许多重要的动力学系统都是约束Hamilton系统[15]模型，有关约束Hamilton系统的对称性和守恒量的研究也取得一定发展[16-21]。但目前来看，关于可控约束Hamilton系统变分问题及其对称性和守恒量的研究未曾有报道，基本处于起步阶段。文中将可控力学系统当作包含外在约束系统来研究，重点探讨了可控外在约束与奇异性导致的固有约束相容性和约束稳定性自身结构特点，根据全导数计算法则，进而建立可控约束Hamilton系统的Lie对称性理论。

1 可控约束Hamilton系统的运动方程

设力学系统的位形由 n 个广义坐标 qs（s=1，…，n）来确定，系统的 Lagrange 函数为 L（t，p，q）=T-V，对于可控力学系统，不失一般性系统的运动还受g个Chetaev型包含控制输入参数的外在一阶非完整约束

其中ur为控制参数，是时间的显示已知函数，系统的运动通过调节可控参数ur来控制。为方便，下文均采用Einstein求和约定。可控约束方程（1）加在虚位移δqs上的Chetaev条件为

由D'Alembert-Lagrange原理和通常的Lagrange乘子法可得系统运动的Routh方程为[22]

此约束也必须满足虚位移和等时变分的限制性条件

无论是正规系统或是奇异系统，正则Hamilton量均是正则变量p，q的函数[23]，对Hamilton函数取变分

于是利用广义动量定义式，联立（3）、（5）和（6）式，即可得

对于独立和非独立的qi，pi，只要合理选择拉氏乘子λj，同时假定可控外在约束（1）与内在固有约束（4）是约束相容的，即相互独立，则可控约束Hamilton系统的运动正则方程可表示为

这里，借鉴Dirac-Bergmann算法，需要说明一下关于约束乘子λj和μβ的求解。将Φj，fβ都作为初级约束，并统一记 φa=（Φa，fa）[a=max（r，b）]，约束的自恰性要求为

令 HT=H+λjΦj为总能量函数，利用泊松括号则（9）式即为如下代数方程

文中仅考虑约束是第二类约束情况，即det|{φi，φj}|φ=0≠0，不存在导致次级约束产生，那么所有Lagrange乘子λj，μβ可由约束自恰性条件（10）式和约束稳定性（1）、（4）式完全确定。

不同于通常的奇异系统的运动方程，需要说明的可控奇异力学系统的正则方程中约束乘子λj，μβ一般都是作为 t，qs，ps，ur，u˙r的函数以及 Hamilton 总函数也是控制参数的函数。

2 无限小变换和Lie对称性

引入时间，广义坐标和广义动量的无限小群变换

根据沿系统运动轨线任意力学量的全导数计算法则，无限小生成元向量和其一次扩展为

根据力学系统的Lie对称性定义，可控约束Hamilton系统的正则方程（8）在无限小变换（11）下的不变性归结为如下确定方程

称（13）式为无限小生成元的确定方程。

带可控参数的外在约束方程（1）以及内在固有约束方程（4）在无限小变换下保持不变性的确定方程为

称（14）式为无限小生成元的限制方程。

同时考虑到微分方程的导出过程，则因对无限小生成元还要施加另外的限制，则必须定义另外的确定方程。即称式（15）为无限小生成元的附加限制方程。

定义1如果无限小生成元ξ0，ξs，ηs只满足确定方程（13），则称相应的对称性为可控约束Hamilton系统相应的自由Hamilton系统的Lie对称性。

定义2如果无限小生成元 ξ0，ξs，ηs同时满足确定方程（13）和限制方程（14），则称相应的对称性为可控约束Hamilton系统的弱Lie对称性。

定义 3如果无限小生成元 ξ0，ξs，ηs同时满足确定方程（13）、限制方程（14）以及附加限制方程（15），则称相应的对称性为可控约束Hamilton系统的强Lie对称性。

3 结构方程与守恒量

对于约束力学系统，系统Lie对称性不一定直接导致守恒量。在特殊无限小变换下可直接导致Hojman型守恒量。下面的定理给出可控约束Hamilton系统的Lie对称性导致守恒量的条件以及守恒量的形式。

定理 1对于满足确定方程（13）的无限小生成元 ξ0，ξs，ηs，如果还存在规范函数 G=G（t，q，p，ur，u˙r）满足如下结构方程

则可控约束Hamilton系统存在如下形式的Lie对称性守恒量

由于方程（16）和（17）中还包含控制参数ur及其关于时间的导数u˙r，可以通过改变非完整可控外在约束（1）式中的参数ur得到不同形式的守恒量。

证明对（17）式关于时间求全导

结合结构方程（16），化简得

利用非保守可控约束Hamilton正则方程（8），得

定理2对于满足确定方程（13）和限制方程（14）的无限小生成元 ξ0，ξs，ηs，如果还存在规范函数 G=G（t，q，p，ur，u˙r）满足结构方程（16），则可控约束 Hamilton 系统存在如形式（17）的弱 Lie 对称性守恒量。

定理 3对于满足确定方程（13）、限制方程（14）和附加限制方程（15）的无限小生成元 ξ0，ξs，ηs，如果还存在规范函数 G=G（t，q，p，ur，u˙r）满足结构方程（16），则可控约束 Hamilton 系统存在如形式（17）的强 Lie 对称性守恒量。

很明显，定理2和定理3是定理1的更特殊情形，其定理1若成立，定理2和定理3自然成立，故定理2和定理3的证明与定理1一样。

4 算例

设系统的Lagrange函数为

其中非势广义力为

系统所受的可控非完整约束力为

其中u（t）为控制参数，u（t）是t的显示函数。试研究相空间中系统Lie对称性和守恒量。系统的广义动量和哈密顿函数为

系统Lagrange函数的Hess矩阵的秩为r=0，从而系统正则变量之间存在两个约束

根据Lagrange乘子计算式（10），得到

系统的运动正则方程为

Lie对称性的确定方程（13）给出

方程组有如下几组解

限制方程（14）给出

附加限制方程（15）给出

结构方程（16）给出与生成元相对应的规范函数分别为

因此，系统存在对应形如（17）式的守恒量

容易验证确定方程组只有第二组生成元才同时满足限制方程组和附加限制方程组。因此，该组无限小生成元对应可控约束Hamilton系统的强Lie对称性，第二组守恒量是系统的强Lie对称性导致的守恒量。

5 结语

对于可控约束Hamilton系统，在一定条件基础上如可控非完整约束中出现的q˙i可由正则动量和广义坐标ps，qs的完全替代，以及可控约束与固有内在约束相容（彼此独立），得到了系统相空间的正则运动方程，也得到了系统Lie、弱Lie、强Lie三种相对而言的对称性判据方程和导致的守恒量条件和表达式，文中实际上给出了可控约束Hamilton系统的一个积分理论。对于受完整可控的奇异力学系统以及非完整可控非奇异力学系统，文中的研究方法同样适用，会得到一些类似形式和结果。

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