江梓弘，陈晓鹏，周 林,2，贺玉成,2

（1.华侨大学厦门市移动多媒体通信重点实验室，福建 厦门 361021；2.西安电子科技大学综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西 西安 710000）

0 引 言

低密度奇偶校验（Low Density Parity Check，LDPC）码在1962年被首次提出。Gallager在他的文章中定义了LDPC码的概念[1-2]，指出它具有稀疏的校验矩阵结构和优异的性能表现，引起了广泛研究。XiaoYu Hu等人提出了PEG（Progressive Edge Growth）算法用于随机构造LDPC码[3]，在给定码长、码率和度分布的前提下，通过逐条增加边，获得更大的围长和较少的短环。之后，Tao Tian等人对PEG算法中边的选取方式进行改进，提出了ACE（Approximate Cycle Extrinsic Message Degree）算法[4]。结构化构造法是工程中实用的构造方法。L.Djurdjevic等人发明了一种利用RS码构造QCLDPC码的方法，这种码具有优异的瀑布区性能和很低的错误平层[5]。Shu Lin团队通过有限域方法构造了一系列具有准循环（Quasi-Cyclic，QC）特性的LDPC码[6-7]——QC-LDPC码，能够有效避免短环，具有较好的性能表现，且其校验矩阵拥有准循环的特性，在实际应用中具有很大优势[8]。

编码调制技术方面，1992年Zehavi提出了比特交织编码调制（Bit-Interleaved Coded Modulation，BICM）[9]，用于改善衰落信道下的性能表现。该方案中，信息序列在经过编码后进入一比特交织器，之后再进行调制。这样可以分别设计编码器和调制器，灵活性大。同时，由于引入了编码分集增益，使得汉明距离尽量最大化，明显改善了衰落信道下的性能。1998年，Caire等人[10]推导证明了BICM系统抗干扰能力主要是由星座中最小欧氏空间调和均值、最小近邻数以及汉明距离决定的，并完善了BICM系统的理论框架。

1999年，Li等人在BICM的基础上，在解调器和译码器之间引入联合软信息迭代，提出了比特交织迭代译码编码调制（Bit-Interleaved Coded Modulation with Interleaved Decoding，BICM-ID）系统[11]，大大改善了系统性能。BICM-ID系统在AWGN、Rayleigh衰落信道下都具有优异的抗干扰能力。理论和实践均表明，将具有强大纠错能力的LDPC码与抗干扰特性强的BICM-ID系统结合，是一种可逼近信道容量的高效编码调制方案。

本文基于有限域构造法，在一定的约束条件下，通过选取两个有限域子集构造QC-LDPC码的基矩阵，保证其Tanner图中的围长至少为6或8，并设计了一种简单有效的掩模矩阵构造法，在矩阵维数较小的情况下，能够获得较大的围长和更少的短环，从而构造出性能优异的QC-LDPC码。然后，将构造的QC-LDPC码与BICM-ID系统相结合，对比文献[12]，给出本文构造的各种码在AWGN信道、Rayleigh衰落信道下的误比特率性能，并简单讨论分析解调器和译码器迭代次数对本文系统性能的影响。

1 基于有限域子集的QC-LDPC码构造法

1.1 基矩阵的构造

本文基于文献[13]中的两个定理，利用有限域来构造QC-LDPC码。

定理1：如果矩阵B是QC-LDPC码的基矩阵，且它的校验矩阵H是通过基矩阵B循环移位展开获得的，则该校验矩阵H相应的Tanner图围长最小为6的充分必要条件，是基矩阵B中任取一个2×2大小的子矩阵都是非奇异的或至少包含一个零元素。该约束记为2×2-SM约束。

定理2：如果矩阵B是QC-LDPC码的基矩阵，且它的校验矩阵H是通过基矩阵B循环移位展开获得的，则该校验矩阵H相应的Tanner图围长最小为8的充分必要条件，是基矩阵GF(q)中任取一个2×2或者3×3大小的子矩阵的行列展开式中没有两个相同的非零项。该约束记为3×3-SM约束。

根据上面两个定理，本文利用两个有限域元素的子集来构造QC-LDPC码。在有限域GF(q)设α为本原元。当两个整数k0和n0满足1≤k0，n0＜q时，令 S1={αi0,αi1,…,αik0-1}、S2={αj0,αj1,…,αjk0-1}为 GF(q)中的两个元素的子集，其中i,j∈{-1,0,1,…,q-2}，且i0＜i1＜…＜ik0-1，j0＜j1＜…＜jn0-1。于是，可构造如下形式的基矩阵B：

将子集S1和S2中的元素分别带入式（1），可得到完整的基矩阵B：

根据上述两个定理，该基矩阵显然满足行列约束条件，则构造出来的码Tanner图围长最少是6。

1.2 掩模矩阵的改进

由有限域构造的QC-LDPC码拥有高度的准循环结构，但因为其中的全零矩阵较少、稀疏性不够，得到的码性能不够优异。为了改善这种情况，采用掩模技术将基矩阵中的一部分非零元素置为0，从而提高校验矩阵稀疏性。传统方法中通常使用PEG生成掩模矩阵。该方法在矩阵较大时能得到较好的性能，但当掩模矩阵较小时，最终得到的码性能往往不佳。针对PEG算法存在的这个缺点，本文根据3×3-SM约束，改进了一种掩模矩阵构造的方法，保证矩阵中任意3×3子矩阵至少有一个零项，使最后得到的码围长至少为8。在掩模矩阵维数较小的情况下，本方法能够很容易地得到具有大围长且性能较好的码。

对于有限域GF(q)中的某个基矩阵B(k0,n0)=[Bi,j]0≤i＜k0,0≤j＜n0， 设 有 维 数 相 同 的 矩 阵D(k0,n0)=[di,j]0≤i＜k0,0≤j＜n0，且 D(k0,n0)中的元素只有 0或1。定义如下的运算规则：

当 di,j=1时，di,j×Bi,j=Bi,j； 当 di,j=0时，di,j×Bi,j=0（全零矩阵）。定义D(k0,n0)为掩模矩阵；M(k0,n0)为掩模生成矩阵。经过这种掩模技术得到的矩阵M(k0,n0)密度较之前的基矩阵B(k0,n0)降低了很多，从而保证了稀疏性。

令两个矩阵y1和y2结构如下：

若基矩阵B(k0,n0)满足k0和n0都是4的整数倍，则可以构造如下形式的掩模矩阵D(k0,n0)：

观察掩模矩阵D(k0,n0)易知，经过掩模后生成的矩阵M(k0,n0)的任意3×3大小的子块，最少包含一个零元素，符合3×3-SM约束。因此，它的Tanner图的围长最少是8。

矩阵M(k0,n0)中的每个元素都能够扩展成(q-1)×(q-1)大小的循环置换矩阵A，每个循环置换矩阵A的移位值就是该元素的幂次。将基矩阵B中的所有元素用相应的循环置换矩阵替换，最终便得到校验矩阵H。

2 QC-LDPC码在比特交织迭代译码编码调制系统中的应用

2.1 BICM-ID编码调制系统

BICM-ID系统的基本组成部分如图1所示，由LDPC编码器、交织器、映射器、解映射器、解交织器和LDPC译码器等组成。

图1 BICM-ID系统

将二进制信息序列u=(u0,u1,…,uK-1)输入LDPC编码器中，编码后输出码字序列 b´=(b´0,b´1,…,b´N-1)。将输出的码字序列送入比特交织器进行交织，得到序列 b=(b0,b1,…,bN-1)。将序列 b=(b0,b1,…,bN-1)通过映射器映射到调制信号星座图上，得到信号序列s。调制后的信号s通过信道时会存在一些噪声影响，因此最后接收端获得的信息y为：

其中，ρ为Rayleigh衰落的衰落因子，且E(ρ2)=1；n是复高斯白噪声，它的平均值为0，方差是σ2=N0/2ES；ES是信道符号能量，N0是单边噪声功率谱密度。在AWGN信道中，ρ=1。

接收端收到受到噪声干扰的信号y后，进行一系列处理，得到最终的译码判决结果u-。接收端的解映射器和译码器间采用联合迭代的方式译码。解映射器通过接收信号y和先验对数似然比，计算解映射器的比特级对数似然比外信息序列，其再经过解交织器后得到序列LDa作为译码器输入；译码器译码后输出外信息序列LDe，经交织后反馈回解映射器，作为下一次迭代的先验对数似然比LMa，然后重新变为先验信息送进解调器开始下一轮的迭代更新，以增加信息来源的可靠性。初次迭代时，LMa=0。通过反向交织器，译码器和解调器之间的信息在每一轮迭代时进行传递，增加外赋信息的准确性，从而最终降低错误概率。

2.2 解调译码方法

软信息迭代更新在解调和译码两个模块之间进行。假设进行第t次外部迭代时，对每个比特其先验信息是相互独立的。若从信道接收到的信号符号为yk，c表示对应比特序列，L表示比特序列的长度，则解调器的外赋信息可由式（7）计算得到：

译码器采用BP译码算法，具体步骤如下：

（1）初始化。初次迭代次数k=1，对全部的变量节点vn，计算初始的信道LLR值Lch,n；设是某个校验节点cm输出的，令Lch,n。

（2）计算校验节点。对校验节点集合B(m)中的某个cm，变量节点vn输出信息。

（3）计算变量节点。在第k次迭代中，vn更新后验LLR值和cm输出。

把该序列和校验矩阵的转置HT做乘法，获得伴随式Sk。若Sk=0，则译码正确，直接输出判决后的序列；若Sk≠0，则译码不正确，迭代次数加1，开始新一轮的迭代，直到Sk=0。若达到预先设定的迭代次数时Sk≠0，则译码失败。

2.3 仿真结果

本文搭建BICM-ID系统模型，采用本文构造的（1 524，762）和（4 088，2 044）QC-LDPC码作为信道编码，与文献[12]中由PEG算法构造的（5 310，2 655）非规则LDPC码进行性能对比，结果如图2所示。本仿真在AWGN信道下进行，LDPC译码器最大内迭代次数设为20次，外迭代次数设为1次，调制方式为16-QAM和64-QAM，星座图均采用Gray映射，LDPC译码器采用标准和积译码算法。

图2 AWGN信道下误码率曲线对比

如图2所示，本文构造的QC-LDPC码误码率性能表现更加优异，（1 524，762）和（4 088，2 044）QC-LDPC码对比（5 310，2 655）非规则LDPC码，在16-QAM调制下，当误码率达到10-4时，前者性能改善约3 dB，后者性能改善约4 dB；在64-QAM调制下，当误码率达到10-5时，前者性能改善约3.2 dB，后者性能改善约4.5 dB。

采用本文构造的（1 524，762）和（4 088，2 044）两种QC-LDPC码，结合QPSK、16-QAM和64-QAM三种调制方式，在Rayleigh衰落信道下进行仿真。LDPC译码器最大内迭代次数设为10次，外迭代次数设为5次，采用和积译码算法，其性能表现如图3所示。可以看出，在Rayleigh衰落信道下，本文构造的QC-LDPC码有着优异的BER性能，且随着码长的增加，其抗衰落性能有更大的改善。

图3 Rayleigh衰落信道下不同调制方式的误码率曲线对比

采用本文构造（1 524，762）和（4 088，2 044）两种QC-LDPC码，结合16-QAM调制方式，在Rayleigh衰落信道下进行仿真。LDPC译码器最大内迭代次数分别设为10次和30次，外迭代次数分别设为1次、5次，采用和积译码算法，其性能表现如图4所示。可以看出，码长和码率不变的情况下，最大内迭代次数不变，随着外迭代次数的增加，误码率性能提高。同理，外迭代次数不变，随着最大内迭代次数的增加，误码率性能提高。究其原因，在于增加LDPC码译码的内部迭代次数，使得LDPC码的译码算法产生的外信息可靠性提高，从而有效减少了错误传播，且通过增加解调器与LDPC码之间信息交换进行的外部迭代次数，能够进一步提高系统性能。

图4 Rayleigh衰落信道下不同迭代次数的误码率曲线对比

3 结 语

本文在有限域基础上，设计了一种基于有限域子集的QC-LDPC码构造方法，同时针对PEG算法在构造维数较小的掩模矩阵时最终获得的码性能不好的缺陷，改进了一种简单有效的掩模矩阵构造法。在BICM-ID系统的基础上，结合几种调制方式，得到了不同码长的QC-LDPC码在不同信道下的误码率曲线。仿真结果表明，本文构造的QC-LDPC码在AWGN信道和Rayleigh衰落信道下的误码率性能表现优异。它在AWGN信道下通过不同调制方式，表现的误码率性能均优于传统方法。当误码率达到10-5时，最大性能改善达4.5 dB。此外，QC-LDPC码的校验矩阵拥有准循环特性，在实际应用中具有明显优势。

[1] Gallager R G.Low-density Parity-check Codes[J].IEE Trans. Inform. Theory,1962(08):21-28.

[2] Gallager R G.Low-Density Parity-Check Codes[D].Cambridge MA:MIT Press,1963.

[3] Hu X Y,Eleftheriou E,Arnold D M.Progressive Edge-growth Tanner Graphs[C].Proc. IEEE Globecom,2001:995-1001.

[4] Tian T,Jones C,Villasenor J D.Selective Avoidance of Cycles in Irregular LDPC Code Construction[J].IEEE Trans. Commun.,2004:1242-1247.

[5] Djurdjevic J X,Abdel-Ghaffar K.A Class of Low-density Parity-check Codes Constructed Based on Reed-Solomon Codes with Two Information Symbols[J].IEEE Commun. Lett.,2003,7(07):317-319.

[6] Lan L,Zeng L Q,Tai Y Y.Construction of Quasi-cyclic LDPC Codes for AWGN and Binary Erasure Channels:A Finite Field Approach[J].IEEE Trans. Inform.Theory,2007,53(07):2429-2458.

[7] Kou Y,Lin S,Fossorier M P C.Low-density Parity-check Codes Based on Finite Geometries:A Rediscovery and New Results[J].IEEE Trans. Inform. Theory,2001(47):2711-2736.

[8] Xu H,Feng D,Luo R.Construction of Quasi-Cyclic LDPC Codes via Masking with Successive Cycle Elimination[J].IEEE Commun.Lett.,2016,20(12):2370-2373.

[9] Zehavi E.8-PSK Trellis Codes for a Rayleigh Channel[J].IEEE Trans. Commun.,1992,40(05):873-884.

[10] Caire G,Taricco G,Biglieri E.Bit-interleaved Coded Modulation[J].IEEE Trans. Inform. Theory,1998,44(03):927-946.

[11] Li X,Ritcey J A.Bit-interleaved Coded Modulation with Iterative Decoding[C].Proc. IEEE International Conference on Communications(ICC),1999(02):858-863.

[12] 顾品标,吴乐男.迭代译码的LDPC-BICM方案在中短波信道中性能分析[J].信号处理,2014,30(01):30-36.GU Pin-biao,WU Le-nan.The Performance of Iterative Decoding Schemes based LDPC-BICM in MF and HF Channels[J].Journal of Signal Processing,2014,30(01):30-36.

[13] Li J,Lin S,Abdel-Ghaffar K.Algebraic Quasi-cyclic LDPC Codes:Construction,Low Error-floor,Large Girth and a Reduced-complexity Decoding Scheme[J].IEEE Trans. Commun.,2014,62(08):2626-2637.