张仁华，陈莉红

（江西省赣州市赣州中学；江西省教育厅教学教材研究室）

概率是研究随机现象的科学.概率在日常生活和生产中有着广泛的应用.通过学习概率，可以加深学生对随机现象的认识，形成数据分析观念，学会做出合理决策，并且提高数学分析问题和解决问题的能力，以及数学的应用意识.历年的中考试题都比较重视对事件概率基础知识和基本模型的考查，以达到评价学生对随机现象的理解和认识水平.试题的呈现形式比较新颖，题型设计涉及填空题、选择题和解答题等常见题型，难度多以容易题目或中等难度题目为主，对于绝大多数学生来说，这部分内容是得高分的板块之一.正因如此，研究事件的概率部分的试题特点与解题方法十分有必要.

一、内容要求分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中明确规定了对事件概率的考查目标与内容要求：（1）考查学生对概率的意义的理解；（2）考查学生运用列举法或者树状图法求解概率问题的能力，并在这个过程中隐性地考查学生对等可能性的理解；（3）考查学生对频率与概率之间关系的理解和运用能力.

二、典型试题分析

综观2017年全国各地区中考试题，其依然重视对事件的概率知识的有关概念，计算简单事件的概率等核心知识的理解和应用的考查，大部分试题都呈现出下述相对集中的内在特点.

1.重视基础，考查学生对概率基础和本质的理解与掌握

例1（湖北·随州卷）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是________事件（从“必然”“随机”“不可能”中选一个）.

答案：随机.

例2（新疆·生产建设兵团卷）下列事件中，是必然事件的是（）.

（A）购买一张彩票，中奖

（B）通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰

（C）明天一定是晴天

（D）经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

答案：B.

例3（甘肃·天水卷）下列说法正确的是（）.

（A）不可能事件发生的概率为0

（C）概率很小的事件不可能发生

（D）投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次

答案：A.

【评析】以上三道例题都是结合实际问题考查学生对必然事件、不可能事件、随机事件概念的掌握情况，在教学过程中，这些概念虽然不要求学生死记硬背，但是需要学生准确理解；解决以上例题需要正确理解上述各类事件的概念，并能够结合具体的情境理解概率的本质与意义，这样的试题能够直接考查学生对概率基本概念的理解水平.

例4（浙江·舟山卷）红红和娜娜按如图1所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误的是（）.

图1

（B）红红胜或娜娜胜的概率相等

（D）娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样

解：红红和娜娜玩“锤子、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果如表1所示.

表1

由表1可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种：（锤子，锤子）、（剪刀，剪刀）、（布，布）.

【评析】此题的最大特点在于紧扣简单随机事件的概率计算这个基础知识，考查学生对概率问题本质的理解，在解题时要注意以下两个问题：一是审题要清楚，要准确地从图表中获取正确的信息.例如，第二次出的手势可能与第一次相同.否则会造成错误；二是列表要仔细有耐心，把所有可能结果通过列表或画树状图的方式列举出来，最后再把符合题意的结果求出，从而求出相关事件的概率.考查了学生对基础知识的掌握情况.

例5（江苏·盐城卷）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图2所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是_________；

（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，试用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.

图2

（2）画树状图如图3所示.

图3

因为共有4种等可能结果，其中正确的有1种，所以小丽回答正确的概率为

【评析】此题的特点也是紧扣简单随机事件的概率

解：（1）因为小明对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，计算这个基础知识，考查学生对概率本质的理解.与例4的区别在于此题中第二次试验的结果与第一次试验结果不会重复，即第二次选到的字与第一次选到的字不会重复，所以画树状图时第一次与第二次的结果不能重复出现相同的字，这是一个易错点，此题要求学生正确地用列表法或画树状图法列举出所有可能出现的结果，考查学生对概率的计算的理解水平.

2.重视技能，考查学生对概率背景与模型的联系与转化

例6 （湖南·郴州卷）从1，-1，0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是________.

解：列出如表2所示的表格.

_表__2_

由表2可知，所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，

例7 （四川·达州卷）从-1，2，3，-6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点(m,n)在函数图象上的概率是________.

解：画树状图如图4所示.

图4

因为共有12种等可能的结果，点()m,n恰好在反比例函数图象上的情况有(2,3),(-1,-6),(3,2),(-6,-1),

所以点(m,n)在函数图象上的概率为

例8（山东·聊城卷）如果任意选择一对有序整数(m,n),其中|m|≤1,|n|≤3,每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等实数根的概率是_________.

解：由题意可得m的可能取值为0，±1，n的可能取值为0，±1，±2，±3.

所以有序整数(m,n)的选取方法共有3×7=21（种）.

因为方程x2+nx+m=0有两个相等实数根，

所以需Δ=n2-4m=0，

即有(0,0),(1,2),(1,-2)三种可能.

所以关于x的方程x2+nx+m=0有两个相等实数根的概率是

例9（山东·日照卷）若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.

（1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”；

（2）用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率.

解：（1）根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15，25，35，45；

（2）画树状图如图5所示.

图5

因为共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，

例10（内蒙古·赤峰卷）小明向如图6所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点.如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（）.

图6

图7

【评析】以上五道例题以不同知识背景与概率模型考查事件的概率计算这个核心知识.例6从坐标轴上点的坐标与坐标轴上的实数对应的随机性，例7从反比例函数上点的坐标与实数对应的随机性，例8从一元二次方程根的判别式与实数对应的随机性，例9从两位数的数位的位置与实数对应的随机性，例10则从几何图形的面积与飞镖位置对应的随机性（几何概型）等不同的知识领域与模型来设置问题背景，考查了学生对知识间的相互联系的构建能力与对不同模型间的转化能力.

3.重视应用，考查学生运用概率解决问题的思维与意识

例11（湖南·长沙卷）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表（如表3、图8）.

_表__3_

图8

根据所给信息，解答以下问题：

（1）表中a的值为_________，b的值为________；

（2）计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率.

解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），

所以a==0.3,b=100× 0.45=45（人）.

（2）360 × 0.3=108°.

（3）将同一班级的甲、乙学生记为A，B，另外两学生记为C，D，列树状图如图9所示.

图9

因为共有12种等可能的情况，其中甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，

【评析】此题最大的特点是背景贴近学生的生活实际，将统计与概率结合在一起，考查了频数分布表与扇形统计图，也考查了通过列表法与树状图法计算概率，注重概率知识在解决实际问题中的作用，在求解过程中，需要学生具有出色的分析能力与综合应用能力.

例12（山东·青岛卷）小华和小军做摸球游戏：A袋装有编号为1，2，3的三个小球，B袋装有编号为4，5，6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同.从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由.

解：不公平，理由如下.

画树状图如图10所示.

图10

因为共有9种等可能的结果，其中数字的差为偶数的有4种情况，

所以P（小华胜）,P（小军胜）.

所以这个游戏对双方不公平.

【评析】此题要求在运用概率公式进行正确计算的基础上，还要对游戏的公平性进行判断.游戏的公平性就是指参与游戏各方获胜的概率应该是相等的.题目不仅是对学生运用概率知识的考查，也是对学生运用数据说理能力与进行科学决策能力的考查，更是对学生概率的综合与应用的思维及意识的培养.

4.重视实验，考查学生对概率的估算与预测的思想与素养

例13（江苏·宿迁卷）如图11，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2cm的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是________.

图11

解：因为经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，

所以可以认为小石子落在不规则区域的概率为0.25.

因为正方形的边长为2cm，所以其面积为4cm2.

设不规则部分的面积为S，则.解得S=1.

故答案为1.

例14（甘肃·兰州卷）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）.

（A）20（B）24

（C）28（D）30

答案：D.

例15（北京卷）如图12显示了用计算机模拟随

机投掷一枚图钉的某次实验的结果.

图12

下面有三个推断：

①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；

②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；

③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.

其中合理的是（）.

（A）①（B）②

（C）①②（D）①③

答案：B.

【评析】上述三道例题都考查了利用频率估计概率，要求学生理解随着试验次数的变化，频率也在变化，当试验次数充分大时，频率逐渐稳定在某一数值左右，这一数值就是概率值.特别是例15，还考查了学生通过图表获取信息、分析数据的能力.教师在平时学习过程中若能让学生多做数学试验，在试验过程中感受到概率与频率的关系，积累数学活动经验，那么学生的数学素养与学习兴趣一定会大大提高，这也是这类题型在教学中的引领价值，值得大家关注.

三、典型解法赏析

例16（湖北·恩施卷）小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸、妈妈相邻的概率是（）.

解：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，

则所有的可能性为（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA）.

故选D.

【评析】此题最大的特点是用列举法列举所有可能的结果时并不是用常规的列表法或画树状图法，而是直接列举法，应该说直接列举法也是列举法的一种，特别是在利用列表法或画树状图法不太好呈现所有可能的结果时，往往用直接列举法会相当有效.但是由于这种方法用得少，所以教师在平时的教学过程中加强对一些基本方法的解法归纳、总结是十分必要的.

例17（湖南·株洲卷）某次世界魔方大赛吸引了世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名爱好者同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图13是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图，求：

（1）A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）.

（2）若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数.

（3）若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）.

图13

解：（1）因为A区小于8秒的共有3+1=4（人），所以A区进入下一轮角逐的人数比例为

（3）因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，

所以(1×6+3×7+a×8+b×9+10×10 )÷30=8.8.

化简，得8a+9b=137.

因为1+3+a+b+10=30，即a+b=16，

【评析】此题的亮点在于题目结合统计与概率一起考查学生的信息获取能力与处理数据能力，是一道考查学生能力的综合题.值得一提的是，该题的第（3）小题，要求学生利用二元一次方程组求出相关人数，并且将概率的计算置于现实情境中，真正考查了学生对概率本质的理解.此题在题目的解法上不拘一格，较为新颖，对于事件的概率这部分知识来说，这种编拟方式值得关注.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］黄邦杰.2015年中考数学试题“事件的概率”专题解题评析［J］.中国数学教育（初中版），2016（3）：34-39.

［4］王瑾，景敏，刘丹，等.2014年中考数学试题“事件的概率”分类解析［J］.中国数学教育（初中版），2015（1/2）：114-123.

［5］陈莉红，邓武高.2014年中考数学试题分类解析：抽样与数据分析［J］.中国数学教育（初中版），2015（1/2）：98-113.

［6］张琼，薛红霞.2013年中考数学试题分类解析：统计与概率［J］.中国数学教育（初中版），2014（1/2）：83-102.