张书阳

（河南省许昌市第二中学）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中对图形与几何部分内容在结构上略有调整，分别是图形的性质、图形的变化、图形与坐标（原来是图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明）.这样的设置增强了图形与几何内容的条理性，进一步阐述了合情推理和演绎推理的关系，强调了几何证明表述方式的多样性.而图形与坐标作为图形的性质、图形的变化基础上的最后一部分，它借助平面直角坐标系架起了数与形的桥梁，而且加强了知识之间的相互联系.综观2017年全国各地区中考试卷，我们不难发现图形与坐标试题分布较广、梯度明显、与其他知识的融合度较高，尤其在与函数结合时综合程度与难度都有所加大.在一定程度上，图形本身的性质与变化应用是解题的关键，我们姑且把它称为执行；平面直角坐标系是解题的工具，其衍生出来的坐标是为了方便刻画、描述图形，我们把它称为解释.只有处理并应用好图形与坐标的双重关系——执行与解释，才能将代数与几何紧密结合起来，灵活运用解析法或几何法解决相关问题.

一、试题分析

图形与坐标具有极大的灵活性，常与几何图形、函数、方程等相结合，渗透在很多问题的解决过程中，具体考查内容为在坐标与图形位置中，重点考查用坐标刻画性质，由性质确定位置等；在坐标与图形运动中，重点考查坐标与图形的四种变换（平移、轴对称、旋转、相似），坐标与动点位置变化规律等.考查方式可为选择题、填空题和解答题，形式多样，分值较往年有所增加，并且在各类题型中多次出现在压轴题的位置，涉及数形结合、划归、转化、分类讨论、方程等思想.下面将结合2017年中考试卷中的典型题目，从难、易，以及综合程度分层进行解法剖析.

二、典型试题的归类与解法分析

1.基础类——几何图形与坐标位置确定的考查

例1（湖南·怀化卷）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()3,4,那么sinα的值是（）.

图1

此题是角度与坐标的结合，较为简单，考查的是用坐标刻画图形性质，先利用勾股定理计算出OA=5，再进一步通过构造含点A的直角三角形，作AB⊥Ox于点B，构造Rt△AOB，然后利用正弦的定义求解即可.

图2

例2（四川·南充卷）如图2，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（）.此题以等边三角形为背景，构建了在平面直角坐标系中，根据三角形性质确定未知顶点坐标的问题情境，考查的核心是用等边三角形的性质确定点坐标.所涉及的基本要素有直角坐标系、点坐标的几何意义、勾股定理、三角函数等基础知识.解题中，过点B作BC⊥AO于点C，根据等边三角形的三线合一的性质，或利用勾股定理，或借助锐角三角函数，即可得到OC和BC的长，进而求出点B的坐标．

例3（河南卷）我们知道：四边形具有不稳定性，如图3，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（）.

图3

此题把一个正方形放置在平面直角坐标系中，由四边形的不稳定性展开，将其转化为平行四边形，涉及的主要知识有平面直角坐标系、点的坐标、正方形及平行四边形的性质、变化过程中的变与不变等.从“推”的过程中发现不变的量：AD′=AD=2，AO=AB=1;变化的量为∠D′AB和∠BC′D′由90°变为60°.接下来，可以根据勾股定理，得到OD′=-OA2=或者利用30°角或60°角，依据三角函数解决问题.

此题是依据正方形性质的应用问题，符合《标准》中提出的给定正方形，会选择合适的坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形的基本要求.解决问题的核心是做好重要转换：将线段长度（正方形的边长）转换为平行四边形的顶点坐标.通过问题解决，较好地考查了学生对点坐标的理解和数形转换能力.此题所承载的知识和方法内涵丰富、形式新颖，具有代表性，关注知识的衔接和交会，注重考查学生综合运用知识的能力，其评价功能思想深刻、意义深远.

综上，2017年图形与坐标相关基础题目的考查点基本处于坐标与图形位置部分，属于初步的静态设置，突出表现为以下两个方面：（1）运用图形性质，用坐标刻画图形位置；（2）将图形的位置坐标化，进而借助数量关系研究与图形性质的相关问题，其中执行与解释的双重关系显而易见.

2.变换类——坐标与图形变换的考查

例4（宁夏卷）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(5,1).

图4

（1）把△ABC平移后，其中点A移到点A1(4,5),画出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．

此题考查的是图形平移与旋转变换后引起的点或图形的运动变化.

理解平移的性质与规律是解答第（1）小题的关键，由点A的变化A(2,3)到A1(4,5),得出图形平移规律——右2上2，此时有两种解题方法：第一种方法为根据平移规律，将三个关键点均做右2上2的变化，确定平移后的各对应点，连线即可；第二种方法为根据平移规律，先分别求出B(1,1),C(5,1)平移后的对应点为B1(3,3),C1(7,3),进而在坐标系中描点、连线，即可得出△A1B1C1.

理解旋转的概念与性质是解答第（2）小题的关键，在变化过程中，要注意对旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）的准确把握.在旋转变化过程中只需要旋转A1B1和A1C1即可.教师在教学中应着重讲明在网格中如何利用网格对角线确定旋转角度，不能让学生简单的凭直觉处理，可以借助全等等方法做简单证明，加以理解.另外，若学生出现对旋转方向判断错误的情况，要从细节入手，教会学生审题，并准确解题.

例5（广西·北部湾经济区卷）如图5，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-1,-2),B(-2,-4),C(-4,-1).

（1）把△ABC向上平移3个单位长度后得到△A1B1C1，试画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

（2）已知点A与点A2(2,1)关于直线l成轴对称，试画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式．

此题涉及平移变换和轴对称变换，正确掌握变换规律是解题的关键，其主要考查了作图—轴对称变换，待定系数法求一次函数解析式，作图—平移变换等基础知识.与例4不同的是，此题给出了平移规律，即向上平移3个单位长度，进而确定△A1B1C1的位置.关于图形位置的确定，可以借助网格直接作图，也可以先由变化规律得出关键点平移后的新坐标，再连线作图.建议两种方法并用，加以验证，避免大意失误，再次特别强调看清方向.

例6（吉林·长春卷）如图6，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2,1),(6,1), ∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为_________．

图6

此题把一个等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，借助直角三角形的性质，确定顶点A的坐标为(4,3).接下来考查了学生对中心对称性质的理解和应用，为了确定点A的对称点，需要明确对称中心，具体做法为设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，.所以AB的解析式为y=x-1.当y=0时，x=1，即AB与x轴的交点坐标为P(1,0).求出A(4,3)关于P(1,0)的对称点A′的坐标，有两种思路，具体如下.

思路1：过点A，A′作Rt△AEP和Rt△A′FP，结合成中心对称的点的坐标规律得出全等，得出对应线段相等A′F=AE=3，PF=PE=3，进而得出A′(-2,-3);

思路2：直接借助中点坐标公式求得A′(-2,-3).

对比两种思路，建议教师在教学工作中倾向于对通式、通法的讲解，少一些技巧或公式的灌输，这样可以锻炼学生在变化的题目中灵活应变，且能以不变应万变，提高学习数学的兴趣与探索观.

例7（四川·凉山卷）如图7，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(-1,2),B(2,1),C(4,5).

图7

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积.

此题考查了坐标与图形变换中的位似.涉及到的基础知识是以坐标原点为位似中心的两个图形各顶点坐标的变化规律.求解的基本技能是放大后图形各顶点的横坐标和纵坐标都是原图形各顶点坐标的倍数.这与《标准》指出的在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的基本要求是一致的.

此题解题的关键点在于图形作位似变换后引起点或图形顶点坐标的变化规律，再利用面积比等于相似比的平方，进而求得△A2B2C2的面积为28.

综上，此部分题目处于坐标与图形运动部分，属于初步的动态设置，以图形变换为素材，以平面直角坐标系为背景，依托网格图，探究图形变换中关键点变化所引起的对应点坐标的变化规律，或者通过用坐标描述图形变换规律，揭示数量与位置不变的本质特征与内在联系是2017年全国各地区中考试题的亮点所在，要分清因图形的位置变化而导致点的坐标变化，变中有不变就是所有点运动规律的一致性，平移中的同加同减，旋转中的保距、保角，对称中点的坐标符号的相反，相似中的同伸、同缩，这些不变是解题之本.

3.规律类——坐标与动点位置变化规律

例8（山东·东营卷）如图8，在平面直角坐标系中，直线l:与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，……，则点A2017的横坐标是________．

图8

此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、学生对等边三角形性质的运用，以及其识图、推理和计算能力.解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，这是对图形摆放规律的理解和运用，对学生的思维能力要求较高.先借助一次函数图象上点的坐标特征求出B1(1,0),得出第一个等边三角形的边长为1是此题的突破口之一.关于A2017的横坐标解法思路如下.

思路1：依摆放规律可知，△OA1B1，△A1B2A2，△A2B2A3，…都是等边三角形，各等边三角形之间均为含30°的直角三角形△A1B1B2，△A2B2B3，…，借助30°角所对的直角边是斜边的一半，把各等边三角形联系起来△OA1B1∽△A1B2A2∽△A2B2A3∽…，且相似比为1∶2∶4∶…，结合等边三角形的性质，得出点A1横坐标为△OA1B1边长的,点A2横坐标为+△A1B2A2边长的,点A3横坐标为+△A2B2A3边长的,即,……，以此类推，进而发现各个点横坐标的变化规律，得到点An的横坐标为,所以点A2017的横坐标是

思路2：如果不能快速判断出各等边三角形之间三角形的性质，则可以从直线l上关键点的坐标入手求得.由图8中的平行条件可以得到，点A1，B2的纵坐标相等，均为△OA1B的高，即,已知点B2的纵坐标，代,同样可以找到各个等边三角形边长的数量关系，进而求解.

坐标变化是图形变化的本质反映，坐标变化的核心是变化规律和对应关系，当动点在确定的基本几何图形上运动时，自然会由此产生几何图形的运动变化，动点坐标与图形特征之间的对应关系便自然生成.经过从特殊到一般的程序化计算，探索图形的相关性质，使得代数推理运算与几何图形直观相得益彰.

例9（山东·聊城卷）如图9，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为()1,0,以点O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以点O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以点O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4，……，按此做法进行下去，其中的长为_______．入直线l的解析式，可以求得其横坐标为

图9

在图形与坐标中，圆出现的频率比较低，此题设计新颖，是2017年中考中不可多得的将圆与坐标进行综合的规律题.涉及的知识点有一次函数图象上点的坐标特征，以及圆弧长的计算.解决此题之前，要理清思路，不要被图形本身的复杂吓住，确定要计算的长度，需要从简单入手…,要求弧长，首先要回忆弧长公式,其与圆心角和半径有关.直线l与x轴的夹角为45°，恰是各弧所对的圆周角，所以圆心角n=90°，可得为圆的周长，找出各圆半径间的规律，也是此题求解的关键点.记各圆半径分别为r1，r2，r3，…，可方便确定出r1=1，r2=2，r3=4，r4=8，…，依此类推，rn=2n-1.

此题综合性很强，有一定的思维含量，对学生推理、计算，以及综合分析问题并解决问题的能力有极高的要求.对动点与图形运动变化之间对应关系的考查也比较深刻.

综上，2017年中考试题在图形与坐标部分的难度略有增加，很大程度上是由于规律类题目的产生.此类题目的入口是动点坐标，确定运动中的点的坐标对思维能力要求较高，常常需要大脑中的模拟操作或逻辑推理，这些过程有时候只可意会，却难以言传，究其本质是由于坐标变化是图形变化的本质反映，以及坐标变化的核心是变化规律和对应关系的数学内涵，解题过程中要注重在坐标系中探索图形变化后，点的坐标与图形之间的对应规律，通过坐标（代数式、方程和函数等）表达变化规律和对应关系.

4.综合类——图形与坐标与函数等融合的考查

（1）与一次函数融合.

例10（四川·达州卷）如图10，探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通过构造直角三角形利用图10（1）得到结论：P1P2=,他还利用图10（2）证明了线段P1P2的中点P(x,y)的坐标公式：

（1）试帮助小明写出中点坐标公式的证明过程.

运用：（2）①已知点M(2,-1),N(-3,5),则线段MN长度为_________；

②直接写出以点A(2,2),B(-2,0),C(3,-1),D为顶点的平行四边形，顶点D的坐标为________.

拓展：（3） 如图10（3），点P(2,n)在函数y=的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，试在OL，x轴上分别找出点E，F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

图10

针对图形与坐标部分，考查与一次函数融合的解答题在2017年中考试卷中并不多见，此题以一次函数为背景，将平行四边形位置的确定放置在平面直角坐标系中进行.

第（2）小题中的第②问，探索四个点构成平行四边形的问题情境：当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为(0,1),设D(x,y), 则x+3=0，y+(-1)=2,解得x=-3，y=3.所以此时点D的坐标为(-3,3);当AC为对角线时，同理可求得点D的坐标为(7,1);当BC为对角线时，同理可求得点D的坐标为(-1,-3),故点D坐标为(-3,3)或(7,1)或(-1,-3).

第（3）小题中，确定出点E，F的位置，求得点P的坐标是解题的关键．

此题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间距离公式、轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质等知识，考查知识点较多，综合性较强，计算量和难度较大．此题还着重考查了学生的材料阅读能力和数学语言转换能力，另外中点坐标公式虽然是高中的几何内容，但是在初中进行使用的情况也是极为常见的，也借此题提醒大家复习中要注意初、高中知识的衔接，在思想方法上保持一致，但是也不能拔高要求，更不能要求学生盲目地死记公式，要增强学生探索、推理的兴趣与能力，进而使其深刻理解点的坐标是将数与形有机结合的重要工具.

（2）与反比例函数融合.

例11（湖北·荆州市）如图11，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=,则BN的长为________．

图11

鉴于反比例函数中k的特殊意义，在图形与坐标中，与反比例函数融合的题目比较多.虽然难度与其他函数相比较弱，但是灵活性却是其他函数不能及的.此题以反比例函数图象为背景，结合了矩形等基本几何图形，更加突出了以图形的性质和图形的变化等数学核心内容为载体.熟知反比例函数图象上点的坐标特点及k的几何意义是解答此类题的关键.解题思路如下.

根据旋转的性质得矩形OABC与矩形ODEF全等，因此两者面积相等.由AB=DE，OD=OA，利用矩形的面积公式，得到AB·BC=32.则DE·OD=32.接着利用正切的定义，得到tan.所以DE·2DE=32.解得DE=4.于是得到AB=OC=4，OA=8.同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2.则M(-2,4).易得反比例函数解析式为,然后确定点N的坐标，最后计算BN的长．

此题涉及的知识点有反比例函数性质、矩形性质、旋转不变性、锐角三角函数等，综合性强、新颖灵活、形式多样、内涵丰富，对数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验等方面的考查，落实了《标准》对图形与坐标的基本要求．

（3）与二次函数融合.

例12（贵州·黔东南卷）如图12，⊙M的圆心M(-1,2),⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l的解析式为,与x轴交于点B，以点M为顶点的抛物线经过x轴上的点D()2,0和点

图12

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线l是⊙M的切线；

（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为点E，PF∥Oy，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，说明理由．

此题构思巧妙，以二次函数为背景，考查了圆、直角三角形、相似的性质，以及两直线垂直问题，利用待定系数法求函数的解析式等知识.在问题解决的过程中，点的坐标与图形间的相互转换贯穿始终.

第（1）小题比较基础，利用待定系数法求二次函数解析式学生很容易解答，其中根据点C，O的特殊性，以“交点式”最为简单：设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x+4),将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式为

第（2）小题，依据切线判定方法之“连半径，证垂直”，要证明直线l是⊙M的切线，则需要证明MA⊥l.解题思路有两种.

思路1：证明垂足位置组成∠MAB的两个角之和等于90°即可.

如图13，连接AM，过点M作MG⊥AO，垂足为点G.

易知A(0,4),B(8,0).

所以OA=4，OB=8．

因为M(-1,2),A(0,4),

所以MG=1，AG=2．

所以tan∠MAG=tan∠ABO=

图13

所以∠MAG=∠ABO．

因为∠OAB+∠ABO=90°，

所以∠MAG+ ∠OAB=90°，即∠MAB=90°．

所以l是⊙M的切线．

思路2：要证明MA⊥l，可直接从函数角度考虑，即MA和l所在直线的斜率之积为-1即可.

因为M(-1,2),A(0,4),易知MA解析式为y=2x+4.

已知直线l解析式为.显然，两直线的斜率

结论得证.

思路2属于解析几何内容，使学生更能深刻领悟坐标的核心是变化规律和对应关系，也使学生深刻体会到用函数工具解决问题的重要思维方式.

第（3）小题以函数为工具，解决三角形面积问题，诠释了坐标变化是图形变化的本质反映，以及坐标变化的核心是变化规律和对应关系的数学内涵.先证明∠FPE=∠FBD，则PF∶PE∶EF=5∶2∶1.则△PEF的面积为.设点P的坐标为,则.然后可得到PF与m的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．

此题由易到难，紧紧围绕坐标的意义以及坐标与图形关系，其核心是坐标与图形性质、图形变换之间的对应关系.尤其是第（3）小题，利用数形结合的思想有助于理解题意、解决问题，此题稍显复杂，有一定计算量，对学生思维的严谨性和计算的准确性都有较高的要求.

综上，对图形与坐标知识领域的考查主要以平面直角坐标系为载体，架起了数与形之间的桥梁，运用坐标描述图形的位置与运动，把数与形紧密地联系在一起，不仅关注对数学基础知识、基本技能的考查，同时也关注对基本数学思想方法和基本活动经验的考查.在中考中，这部分内容常与函数、方程、不等式和四边形等相结合构成压轴题.如何慢慢攻克难关？在复习中，教师要针对这部分内容进行知识梳理，帮助学生理清知识之间的联系，形成完整的知识体系.注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握，注重对学生思维能力的培养，进而提高其综合解决问题的能力，最终增强其应用意识.

三、创新题解法分析，错解针对性解读

例13（四川·眉山卷）在如图14所示的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是(-4,6),(-1,4).

（1）在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（3）在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小，并写出点P的坐标．

图14

此题的创新点在于已知图形，根据点的坐标特点，确定坐标系，体现了图形与坐标的相辅相成，落实了《标准》对于图形与坐标的要求.

第（1）小题不难，然而学生在解题中出现网格数量数错，没有进行再验证，以及平面直角坐标系不规范（如无方向、箭头）等错误.建议教师对于此部分内容的教学要注意帮助学生梳理图形、坐标的本身属性，并明确各部分所承载的知识点.

第（2）小题是作图，图形做了轴对称变换，要注意对轴对称概念的理解，学生试卷中呈现出关于x轴对称，却画成关于y轴对称等错误，这体现了学生审题不准，材料阅读能力与信心不足等问题，教师在复习过程中要多加引导.

第（3）小题是轴对称的应用——最短路径问题.稍有难度，要有模型概念，复习中要注意引导学生一看到最短路径，快速反应出“两定点，一动点”模型，在教学中笔者把它简称为“两点一线”模型，其中两点在线的同侧，解决方法为一作对称二连线.借助网格图，会更容易解决对称和计算.

例14（广西·北部湾经济区卷）如图15，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1:y=x2()x≥0和抛物线C2:()x≥0交于A，B两点，过点A作CD∥Ox分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥Ox分别与y轴和抛物线C1交于点E，F.则的值为 （）.

图15

此题图象复杂且集中，设计灵活，给人一定的震慑感.解决突破点有两个.

（1）利用直线AB和两条与x轴平行的直线CD，EF，由它们的特殊性，得到相等的横坐标或纵坐标，把两个二次函数图象紧密联系起来：因为点A在C1上，所以可设A(a,a2),则,D(2a,a2).

（2）△OFB和△ADE面积可以利用图形面积公式表示出来，相关的底和高根据点的坐标关系逐一得出：

此题要求学生灵活把握二次函数图象上点坐标的特征，在解题中，有些学生对概念理解不清，导致解题思路上有障碍，若理清思路，沉着应对，能大胆设元，抓住图形与坐标的本质关联，即可以顺利求解，并且能从中感受到环环相扣、迎刃而解的成功体验.

例15（广东·广州卷）如图16，平面直角坐标系中O是原点，▱OABC的顶点A，C的坐标分别是(8,0),(3,4),点D，E把线段OB三等分，延长CD，CE分别交OA，AB于点F，G，连接FG，则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是.其中正确的结论是_________（填写所有正确结论的序号）．

图16

此题深刻反映了平面直角坐标系的“母版”作用，即借助平面直角坐标系中点的坐标规律明确了在▱OABC中，OA=CB=8，OC=AB=5，解法的本质是通过对坐标的解释与表达实现对平行四边形和相似三角形的综合运用.此题涉及知识点多，计算量大，但是连贯性很强，面对不断出现的新情境、新问题，要锻炼学生做到不慌不乱、有条有理、沉着应对，这样的心理品质将使其终生受益.解法简析如下.

①由平行四边形性质易得△CDB∽△FDO，相似比为2∶1，可得CB∶OF=2∶1，所以①正确.

②不易直接求出，可以用排除法，要有一定的几何直观，由平行四边形邻边为5和8可知∠AOB≠∠EBG.所以②不正确，也可以放置不管，在后面的判断过程中明确答案.

③要求四边形DEGF的面积，计算量相当大，要有必胜的信念.

思路1：此四边形是梯形，可以直接由面积公式求得.简要思路流程如下：如图16，在Rt△OHB中，由勾股定理得出在△OAB中，由勾股定理和方程，求底边OB上的高为.由相似比得梯形DEGF的高为.由三等分及相似得.所以求得梯形DEGF的面积为·.所以③正确，同时验证了④错误；

思路2：此四边形是△CFG的一部分，且有DE∥FG，面积可以用相似解决.把该梯形面积转化为研究△CFG的面积.由①知，F为OA的中点.同理得，G是AB的中点，易得.如图17，过点C作CQ⊥AB于点Q，

图17

因为S▱OABC=OA·OH=AB·CQ,即4×8=5×CQ,所以·CQ=,所以S△CFG=12,

一方面，此题作为填空题中的压轴题，综合性强、思维量大，本身就是难点；另一方面，将几何问题放置在坐标系中综合了代数问题，使得问题更为复杂.而对知识迁移的度把握不到位，往往是学生解题的困难所在.对于这些难点的突破，要有扎实的“四基”，要有丰富的解题经验，要善于将动态问题分类成多个静态问题，要善于从复杂的图形中分离出基本图形，结合基本结论逐一破解，还要善于将代数与几何相结合，灵活运用几何法或解析法分析问题、解决问题.

四、复习建议

结合2017年典型试题的归类与分析、学生的典型解法，以及学生答题过程中出现的问题，侧重具体教学给出复习建议，针对以上学习困难点，结合图形与坐标知识体系，制定以下复习策略.

1.坐标与图形位置方面

复习时，建议先以直角坐标系为背景求多边形的顶点坐标；通过让学生用数刻画形，以及用形直观地描述数，辩证地体会、理解以数促形、以形得数的数形结合思想.

2.坐标与图形运动方面

（1）教学中，要让学生经历图形平移、轴对称变化前后各对应点之间坐标变化规律的探索过程，并通过探索，发现并总结规律，从而体会从特殊到一般的思想.

（2）引导学生从数量关系的角度用坐标刻画平移、轴对称，把数和形紧密地结合在一起，渗透用数量关系刻画空间形式的意识.

（3）图形与坐标是解析法的一个重要内容，也是初、高中衔接的一个素材，在能力层次上应前后衔接，在思想方法上应保持一致，教学中不宜将高中知识生硬地添加到初中教学中.

3.图形与坐标总复习的思考

坐标与图形就是把基本几何图形变化“搬”到直角坐标系中，通过图形中关键点的坐标表示，赋予图形以数的特征，用数来刻画形，用形来直观地表示数，实现图形的执行权和坐标的解释权.复习过程中，要注重引导学生在经历借助平面直角坐标系这一数学工具研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，更好地理解与掌握图形的性质、图形的变化的基础知识，进一步发展空间观念，逐步形成数形结合思想，为用代数方法解决几何问题提供条件，形成代数运算与几何特征的和谐自然、完美统一．

具体做法如下.

（1）运用信息技术（几何画板软件、3Dmax）或教具，展示图形的运动过程，让学生观察变化规律（形动引起量的变或不变），体会变中不变的思想，进而培养几何直观.

（2）引导学生自己画图分析，通过多种途径和方法使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路的益处.无论是计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维上产生的.

（3）数形结合首先是对知识、技能融会贯通时的认识和理解.然后逐渐发展成一种对数与形的化归与转化意识，这种对数学的认识和运用能力，是形成正确数学态度的关键.

（4）坐标是工具，图形本身才是研究之本，让学生掌握一些基本图形，不断地运用这些图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，培养模型思想（包含函数模型）、化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想是教学的主要目标.

（5）复习案的编写要有针对性、层次性，关注学生的差异，循序渐进，培养学生的探究欲望，感受数学的成功感.

特别需要强调的是，《标准》实施后，现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度均有所降低，而由于受高考的限制，高中数学难度并没有同幅降低，这反而加大了初、高中数学教材的难度差距.因此，开展初、高中数学知识衔接的研究尤为重要，迫切需要初中数学教师的积极参与，对初、高中数学知识的衔接教学做进一步的探讨和调控.近年来，也不乏见到由高中知识细致打磨而成的中考试题，这并不是在提醒我们要提前教学高中知识，而是在提醒我们在数学教学过程中要立足于培养学生的阅读、分析、观察、猜想、计算和运用数学思想解决问题的能力.

综观2017年全国各地区中考试卷，注重将三角形、四边形、圆等几何图形放置在直角坐标系中，探索图形平移后关键点的坐标表示，通过问题解决，理解图形的形状、大小和位置关系能够从坐标来反映的最基本的观点，进而领悟到图形位置与图形性质之间的联系，有利于帮助学生体会图形与坐标最本质、最核心的内涵，以期待更好的实现坐标与图形的有机结合，帮助学生更加深刻地理解坐标与图形性质之间的联系，进而有效落实《标准》关于图形与坐标内容的基本要求.

尤为重要的是，以运动中的点的坐标为载体，可以有效地在探索规律和图形变换中培养学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和创新能力，提升数学建模、数学运算、数据分析等数学素养，积累数学活动经验.其所承载的知识和方法内涵丰富，对学生数学能力的提升也是思想深刻、意义深远的.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］李兴梅.2015年中考数学试题“图形与坐标”专题解题评析［J］.中国数学教育（初中版），2016（1/2）：112-126.

［4］张晋华，薛红霞.2014年中考数学试题“图形与坐标”分类解析［J］.中国数学教育（初中版），2015（1/2）：86-97.

［5］李兴梅.注重基础关注技能突出经验强化思想：2016年中考“图形的性质”专题解题评析［J］.中国数学教育（初中版），2017（1/2）：84-104.