陈卓

摘要：文章结合立体几何答题经验阐述了空间向量法解题的基本过程和技巧，并对立体几何两种解题方法的对比，简述了各自有各自的优缺点，最后通过将问题的深入拓展，思考图形等在计算机程序的实现过程，发现空间向量能为计算机表示立体图形带来极大的便利，是图形在计算机表示的基础。

关键词：空间向量；立体几何；计算机程序

1.引言

高中立体几何题目的解答通常有两种思路，一种是通过经典的几何关系法作答，另外一种是通过建立空间三维直角坐标进行答题，也就是通常所说的空间向量法解题，当一旦掌握空间向量法解立体几何，发现可以带来很大的简便性。但有时也会碰到一些问题，如短时间内难以建立合适的空间直角坐标系，这时解题思路又不得不采用传统的几何关系法。可见立体几何的这两种方法是相辅相成的，传统几何关系解题是立体几何的基础和关键，空间向量法是对传统几何方法的扩充，给解题的快速性和准确性提供保障，当然采用空间向量解题也有更多的实际意义。

因此，本文主要从高中立体几何的传统几何关系和空间向量法解题思路出发，通过分析空间向量解题的一般思路和步骤，总结空间向量法解立体几何的优势，更深一步通过查找资料，总结分析发现计算机图形处理程序基本也都是基于坐标描述实现的。最后，以此课题论文的分析入手，拓展自己对计算机程序方面的认知学习。

2.空间向量法解立体几何经验分享

空間向量法解题的可行性，相信大家在解题过程中肯定有所体会，下面以本人的一些解题经验对空间向量法解题过程进行必要的阐述和分享。

首先，对于规则图形，如正方体、长方体、圆锥、球体等基本可以实现直角坐标系的建立，另外遇到几何体内有三线两两垂直，那也可以建立空间直角坐标系，如只有两线垂直，则需要通过几何关系查找是否存在第三条直线（此时可能需要另作辅助线）垂直于两垂线所在的平面来拓展建立空间直角坐标系的可能，在建立空间直角坐标系的时候，尽量让图形对称，难以对称的尽量让几何体位移三维坐标的第一象限，也就是o-xyz都是正方向的象限，这样各个定点坐标值都是正的，降低计算错误的可能性。

其次，一旦建立空间直角坐标系后，接下来需要通过几何关系写出各点的三维坐标值，遇到不确定的可以先不写或者通过设未知数来相应定点的三维坐标，并根据题目计算一些关键直线的方向向量，和一些面的法向量。

最后，结合题目要求证明相应的关系或者进行求解，除了上述经验外，还有两点经验分享，在求解线的方向向量或者是面的法向量时，当出现分数或小数，要乘以公因子使得向量各项均为整数，这其实并没有改变向量方向性，仅仅是改变了向量的长度或者说向量的模，这为后续计算大大降低复杂度，因为在向量计算和关系计算时往往是计算向量与向量的关系，很少涉及模的计算；另外一个经验就是如果题目需要计算点到面的距离时，一般在几何关系里面，都是通过做高或者通过等体积法求解，但是当建立了空间直角坐标系后，这时可以借鉴解析几何中点到直线的距离公式来拓展点到面的距离，这时平面方程可以用待定系数法进行计算，即设Ax+By+Cz+D=0，三点确定一个面，将面的三个点代入面的方程，计算A、B、C、D的关系几何得到面的方程，然后利用平面外某点，设为（x0，y0，z0）到平面的距离可以用

来进行求解，该式子就是简单地把点到直线的距离进行了扩展，很容易记住且经常便于使用。

3.空间向量法解立体几何的特点分析

在解立体几何时对作的辅助线一定要证明，而且很多复杂的逻辑用于总是难以表述，甚至有些立体感不好的总感觉力不从心。而通过采用空间向量来证明线线垂直平行、线面垂直平行、以及求解复杂度更难的线面夹角和二面角问题时，可以避开传统的几何法，即通常所谓的“一作、二证明、三应用”的逻辑思路。而通过建立空间直角坐标系用空间向量法解题，就相当于用向量描述立体几何中的点、线、面及内部复杂的几何关系，通过对向量的平行垂直条件关系可以将复杂的立体几何问题转化为简单的数学运算，正如2所说的，这不仅可以提高解题的快速性，尤其是很多几何关系在短时间内的确难以获得，还可以提高答题的准确性，这主要基于向量运算的简便性以及内部几何关系数学化后的计算简化。

但经常过渡依赖采用空间向量法解立体几何问题后，发现传统几何法能解决问题的能力逐渐消失，老师也对引入向量方法求解立体几何问题产生了一些担忧，他们普遍认为这会削弱通过立体几何内容来对学生空间想象能力的培养，其理由是空间向量法相比于传统几何法解题，向量法更多的是体现逻辑关系和算法及步骤的实施，更多的缺乏了对立体几何中点、线、面关系的思考、想象与分析，对学生进入大学学习有关专业是不利的，如难以适应建筑、机械等对空间想象力要求较高的专业。同样对于我们学生来说，从得分角度看，虽然空间向量方法解题可以带来快速性和准确性，但是前提是要能快速建立空间直角坐标系，如果不能短时间建立坐标系，而且这时又对几何方法不熟悉或者淡忘的情况下，也许就难以解答立体几何题目，从空间想象能力方面看，过渡依赖空间向量法解题，正如老师们所担忧的一样，难以建立空间思维，这种同学相互交流及个人反思后也有体会，当采用空间向量法解立即几何后，解答完后感觉自己貌似不是做立体几何题目一样，而是进行一些简单的逻辑关系，只是按照一定程序步骤机械执行。

反过来思考，任何事务都有两面性，采用传统几何方法接立体几何有助于空间想象能力的培养和空间思维的建立，而采用空间向量法解立体几何虽然逻辑关系简单、计算步骤程序化，但是结合对计算机程序的了解，感觉空间向量法的解题思维特别适合计算机程序的实现。

4.空间向量在计算机程序中的表示思考

正如3的分析，采用空间向量法解立体几何时，解题的思维逻辑关系简单且计算过程相对程序化，反思过来，正是该方法的简单，正是基于此特点便可以通过计算机来实现。通过对相关资料的查阅发现，如笔记本自带的画图软件，还有工程上使用的CAD软件等在作图的时候鼠标上显示的就是对应坐标，更近一步发现，计算机中在实际的图形运用上，原始图形采用的都是坐标系，当然常用坐标系有高中阶段掌握了的平面直角坐标系、三维直角坐标系和极坐标系，也有还没有接触过的球坐标系和圆柱坐标系。就空间直角坐标分析，对于空间的点只要用一个坐标三个值来表示，空间上的线只要用一个向量三个值表示，空间上的面也是只要2所述的A、B、C、D四个值来表示，可见这非常适合计算机程序的编写与实现，而如果采用传统的几何关系描述，在目前的计算机及程序上恐怕难以实现。

5.结论

无论采用传统几何方法还是采用空间向量法解立体几何题目，均有各自的特点，但是个人还是认为两者都要学习了解，而且两种方法都要掌握扎实，尤其是传统几何法思路，其毕竟是立体几何点、线、面关系的基础，学习过程中也要结合各自的优势来进行灵活运用。最后，本人通过咨询、查找资料分析，将向量法解立体几何问题拓展到计算机程序的实现问题，认为高中阶段学习掌握向量法解立体几何题目有一定的必要性和学习意义，除了能带来答题的快速性和准确性之外，也有助于计算机解决问题思路的理解，以及为今后进一步学习计算机等信息类专业奠定一些基础。

参考文献：

[1]李鹏，单墫.对立体几何教学应用向量法的思考[J].数学通报，2008，7：27-28.

[2]李大永.浅议空间向量在立体几何中应用”的教学价值[J].数学通报，2015，6：26-29.

[3]潘虹.浅谈空间向量方法在立体几何中的应用[J].读与写杂志，2013（2）：234.

[4]孙平.掌握空间向量神器决战高考立体难题—例析空间向量在立体几何中的应用[J].数学教学研，2017（3）：57-62.