缪鑫

我国古代哲学名著《老子》中有这样一段话：“有无相生，难易相成，长短相形，高下相倾，音声相和，前后相随.”意思是说：有与无，难与易，长与短，高与低，音与声，前与后，所有这些对立的双方，都是相互依存着的，没有甲方就没有乙方，反之亦然.同学们在数学学习的过程中是否也发现“难”与“易”是相对的，难可以转化为易，易也可变化为难，它们是相辅相成的呢？计算的难与易，试题的难与易，学习内容的难与易等等……下面以不等式为例和同学们交流数学中的“难”与“易”.

一、题目条件（或结论）的难与易

在学习基本不等式时，经常会遇到题目条件（或结论）给出的形式很复杂的情况，难以下手.其实我们只要仔细地观察条件（或结论）中式子的结构，进行适当变形，就可以发现问题的突破口.

例1 若a，b，c>0，且a²+2ab+2ac+4bc=12，求a+b+c的最小值.分析一条件a²+2ab+2ac+4bc=12比较复杂，要求的a+b+c比較简单，表面看上去没有联系，但我们仔细观察a²+2ab+2ac+4bc，发现是可以因式分解的.因此我们将条件变形为（a+2b）（a+2c） =12，而（a+2b）+（a+2c）=2（a+b+c），运用基本不等式即可解决.

解a²+2ab+2ac+4bc=a（a+2b）+2c（a+2b）=（a+2b）（a+2c）=12.

分析二条件中的项是二次的，结论是一次的，那么我们考虑将结论变为二次形式：（a+b+c）²，研究它与条件的关系，也可以快速找到解决的办法，

解 （a+b+c）²=a²+b²+C2²+2ab+2ac+2bc=（a²+2ab+2bc+2ac）+b²+c²≥（a²+2ab+2bc+2ac）+2bc=a2+2ab+2ac+4bc=12.（当且仅当b=c（时取等号）

解题，就是在条件和结论之间架起桥梁.所谓“难”题，实际上就是不能在短时间内迅速发现条件和结论的关系，在不等式中，我们往往需要对条件或结论中的式子进行变形.如何变就是解题的关键，也是从“难”到“易”的转化.因此我们要紧密联系条件和结论，不能一味地揪住条件（或结论）不放，应该仔细观察各个关系式的结构，瞄准目标，适当变形，转换成与条件（或结论）接近的结构，“有的”变形.

二、题目内容的难与易

在不等式中有的题目条件相同，要求的结论看似也差不多，但处理的方法却大相径庭，难易相差悬殊，因此我们要仔细读题，找准解题的关键点.例2 已知函数f（x）=log₂（²-2kx+k）.

（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数k的取值范围；

（2）若函数f（x）的值域为R，求实数k的取值范围.

分析 这两个小题的载体都是同一个函数，是由对数函数和二次函数复合的函数.第一小题已知定义域为R，实质就是不等式x²-2kx+k>0恒成立，而第二小题已知值域为R，应该转化为二次函数t=x²2kx+k取遍大于O的一切实数.

解（1）因为函数f（x）的定义域为R，所以不等式x²-2kx+k>0对一切实数恒成立.

所以△=4k²-24x=k<0，解得0

（2）令t=x²-2kx+k，

则由函数y=log²t的值域为R可知t应取遍大于O的一切实数，

即函数t=x²-2kx+k的图象与x轴有交点，

所以以△=4k²-24x=k<0≥0，解得k≤0或k≥1.

很多时候，对相近知识的熟悉程度会影响解题的难度.很多同学对恒成立问题掌握比较透彻，因此处理定义域为R的问题时得心应手，但对复合函数的值域掌握不太牢固，所以感觉比较困难.

三、解题心理的难与易

认知心理学指出，根据皮亚杰的研究，认知的本质就是适应，即儿童的认知是在已有图式的基础上，通过同化、顺应和平衡，不断从低级向高级发展的，也就是说我们解决问题的心理适应都是从易到难.因此在解决难题时可以根据条件将它分解成若干个容易解决的问题，或者解决完一个简单问题后，可以进行解题后的反思，将容易题通过条件的变式变化为复杂问题.

例3 设为实数，函数峰f（x）=2x²+（c-a）/x-a/，当x>a时，求不等式f（x）≥1的解集.

分析 本题是2009年江苏高考卷的第20题的第3问，应该是一道难题.但我们仔细分析可以发现，本题实际上就是解一元二次不等式在给定区间的解集，而我们可以先不考虑定义域，解一元二次不等式在定义域为R上的解集，然后再讨论解集端点和区间端点的大小.

略解 由x∈（a，+∞）时，f（x）≥1得3x²-2ax+a²-1≥0，令g（x）=3x²2ax+a²-1，△=4a²-12（a²-1）=12-8a².