北京市西城区康乐里小学 杨 宏

一、问题的提出

（一）问题的提出

“数概念”是指分数、负数、平均数等与“数”有密切关系的概念，是小学数学教学的重要组成部分，是学生进一步学习数的运算、与数有关的数学问题的基础，是培养学生数感、符号感的重要载体。

小学数概念是小学生正确进行列式、计算、判断、推理等教学活动的基础，是小学数学教学的一项重要内容，其主要任务是要使学生获得科学、完整的数概念。教材对小学各年级学生要求掌握的广度和深度是不一样的，正如列宁所说：“认识是思维对客体的永远的、没有止境的接近。”

（二）研究的意义

在日常教学中，许多教师不能把握概念本质，以致学生对数概念的理解和认识浅尝辄止、浮于表面。教师往往把一个新的概念和盘托出，让学生去记忆，然后借助大量的练习去加以巩固。这样，常常看似学生掌握较好，但理解不深，不会灵活运用。我们认为，教师要紧扣概念的本质，展示概念的形成过程，帮助学生全面理解、准确把握概念的实质。

二、研究内容

（一）自然数的产生和发展

自然数是最自然的数，自然数理论是整个数学的基础。自然数产生于计数（数数）。随着历史的发展，人类的进步，千百万次地重复计数，人们慢慢发现，在数各种集合中的事物时，数与被数物的特性无关。正是数字符号，为人们对自然数的认识起了重要的作用。有了数字符号，数学的抽象性特征也就开始展现出来了。

因此，从各种具体事物中抽象出数概念的本质，初步理解十进位位值制记数法是低年级数概念教学要关注的重点内容。

（二）数概念的特点

在所有数学概念中，离学生日常生活最近的是数概念和初等几何概念，绝大多数的数概念都可以在现实生活中找到模型。正因为大多数的数概念都贴近人类的生活源泉，因此，在数概念的教学中一般都可以借助于实际的情境和活动。

三、相关研究

（一）小学数学数概念的界定及确定依据

1.数概念的形成

从数系的角度看，数概念包括自然数、整数、有理数、实数和复数。但从学习心理的研究来看，主要集中在有理数，特别是自然数上，有关无理数和虚数的研究则寥寥无几（Zazkis & Sirotic，2004）。

2.数概念的认识有三个发展阶段

第一阶段（4～5岁）是对数概念无法理解的阶段，无法运用一对一的对应关系趋建构两组有同样数目的实物。第二阶段（5～6岁）是过渡时期，会运用一对一对应关系建构同等数，但对于一对一关系不是充分理解。第三阶段（6岁半以后）是对数概念能真正理解的阶段，儿童已能用各种方法建构同等性。

3.学生理解位值概念时的困难

位值是小学阶段一个比较难学的概念，涉及一系列复杂的想法及关系。对位值缺乏理解的学生在理解小数时有一段困难时期。

（二）小学数学教学中数概念本质的相关研究

为了减少位值概念的教学困难，一些教学辅助工具便应运而生，其中比较著名的是狄恩斯（Dienes，1971）的“狄氏多层算术积木”（Dienes Multibase Arithmetic Blocks）。除了用于手工操作的教学辅助工具外，近年来随着计算机辅助教学的兴起，研究人员还开发了许多用于位值概念教学的软件。

四、经历“数数过程”，抽象数概念本质的教学建议

（一）帮助学生从具体实物中抽象出数概念

《课程标准》中明确指出“数学教学是数学活动的教学。”现代教育理论主张让学生动手去“做”数学，而不是用耳朵“听”数学。因此，教学要留给学生足够的时间和空间，让每个学生都有参与活动的机会，使学生在动手中学习，在动手中思维，在思维中动手，让学生在动手、思维的过程中探索、创新。

（二）重视“数数”活动，让学生经历数概念的产生“过程”

例如，教学《1000以内数的认识》，让学生经历数的产生过程。学生在一年级学习认数时，也是分阶段学习的。而对于二年级的学生来说，虽然有了一定的认数基础，但是这些较大数对于学生来说是比较抽象的，通过于学生的课前调查，学生对于以前学过的一、十、百计数单位的关系和百以内数的组成掌握比较好，看到一个两位数能够准确的说出组成（ ）个十和（ ）个一，在按顺序数数上一个一个数没有问题，几个几个数就会出现问题。把离散的一个一个的抽象成聚合的以计数单位形式呈现的聚合的量。这也是数概念学习的一次飞跃。这也是学习万的一个基础。所以我认为需要利用多种直观而又形象的素材如小正方体、计数器、人民币等来帮助学生认识，支撑较大数概念的建立。

（三）为学生提供不同层次的学具来理解位值思想

例如：教学《11～20各数的认识》，通过比较体验，让学生真真实实地感受到把10根扎成一捆是最容易看出是多少根，并体会到10根扎成一捆这种方法的优越性，进而引发出要认识的新的计数单位‘十’。这样的活动，突破了10个一就是1个十的难点，从而使学生理解了数的意义，建立正确的数概念，也为培养数感奠定了扎实的基础。

用于现代社会生活信息交流的记数法是我们现在已习惯的10进位位值制记数法，又称十进位制。含义有二，其一是“十进制”，即用10个不同的数字，按照每满十数向上进一个单位（逢10进1）的原则进行书写，十个一进为一个十，十个十进为一个百，十个百进为一个千……；其二是“位值制”，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码“2”，放在个位上表示2，放在十位上表示20，放在百位上就表示200，等等。十进制与人类有10个指头有关，初学算术的儿童总是拿10个指头来帮助计算可能就是最好的证明。

这节课是在学生认识计数单位一的基础上认识新的计数单位十的第一节课, 学生对于数位的知识以及十进制概念更是第一次接触。因此,本节课重点要使学生初步建立十进概念。

总之，数学是一门逻辑性很强的学科，各个概念不是孤立存在，而是紧密联系着的，要很好地掌握数概念和运用数概念，必须了解数概念的本质和概念间的联系。