王东晓

(郑州航空工业管理学院 理学院，河南 郑州 450015)

整数阶混沌系统是我们熟悉的系统，而实际系统，很多是分数阶次的,有分数阶特性的对象，采用分数阶来描述,能够更好的揭示其行为和本质，分数阶混沌系统引起众多科研工作者的兴趣，分数阶系统的同步问题倍受关注，且已经取得了很多相关成果[1-4]。文献[5]同步了分数阶摩擦系统，文献[6]对时滞分数阶PD控制器设计问题加以研究，文献[7]则反馈同步了分数阶Van der pol-Duffling系统，文献[8]在有限时间内，保证了分数阶混沌系统的鲁棒镇定。而Froude摆系统是典型的二阶非自治系统，在特别的参数设置下系统呈现混沌态，Froude摆系统的同步问题引起了控制界的广泛关注，例如：文献[9]研究了外力激励下Froude摆系统产生混沌的机理问题，文献[10]研究了两个Froude摆系统的暂态阶梯混沌同步控制问题，文献[11]研究了Froude摆系统的全局有限时间同步问题，基于有限时间稳定性理论，有限时间内全局同步两个Froude摆系统。本文基于终端滑模控制研究了分数阶Froude摆系统的同步问题，以Lyapunov稳定性理论和分数阶微积分的相关理论为理论基础，得出了取得系统同步的充分条件。

1 主要结果

1.1 控制方案一

定义1[12]：Caputo分数阶导数定义为:

考虑如下一类分数阶Froude混沌系统：

(1)

当α=0.35,β=0.1,δ=1.0,f=0.42,ω=1.0,q=0.873时系统呈现混沌态。

系统(1)其对应的响应系统为：

(2)

定义系统误差e1=y1-x1,e2=y2-x2，对应误差系统为：

(3)

结合e2(t)→0，从而e1(t)→0

=-η|s(t)|<0

由Lyapunov稳定性理论，系统状态轨迹滑向滑模面，综上所述系统(3)在零点稳定，驱动系统(1)与响应系统(2)是滑模混沌同步的，定理得证。

1.2 控制方案二

Eα(z)=Eα,1(z),E1,1(z)=ez。

引理1[13]：若α<2,β∈∀R,πα/2<ρ

|Eα,β(z)||arg (z)|π),|z|>0。

引理2[14]：若V(t)是[0,)上的连续函数，满足DαV(t)-ηV(t)，则有：

V(t)V(t0)Eα(-η(t-t0)α),其中α∈(0,1),η>0为常数。

定理2：驱动系统(1)、响应系统(2)是混沌同步的，当选取如下控制器时。

证明：无妨设e1≥0,选取Lyapunov函数V(t)=|e1(t)|+|e2(t)|，求分数阶导数很容易得到：

由sign(e1(t))sign(e2(t))e2(t)=sign(e1(t))|e2(t)|,再e2(t)≠0,sign(e2(t))sign(e2(t))=1,得到：

根据引理2很容易得到：V(t)V(t0)Eα(-(t-t0)q)

V(t)=|e1(t)|+|e2(t)|,V(t0)=|e1(t0)|+|e2(t0)|

令z=-(t-t0)q,|arg (z)|=π，根据引理1，存在常数C使得：

‖V(t)‖

当t→时‖V(t)‖→0，有‖ei(t)‖(i=1,2)→0，驱动系统响应系统实现同步，定理得证。

1.3 控制方案三

针对误差系统(3)设计非奇异终端滑模面

(4)

定理3：当系统(3)在滑模面(4)上时,系统状态变量在有限时间内趋于稳定，轨迹达到平衡点。

由Lyapunov稳定性理论，定理得证。

同样的滑模面下，设计新型双幂次趋近律来设计控制律也可以实现系统同步。

定理4：设计如下控制器(5)

(k1|s|γ+k2|s|μ)sgn(s)

(5)

其中k1>0,k2>0,γ>1,0<μ<1，在上述控制器的控制下,系统(3)的状态轨迹能够达到滑模面上。

=-(k1|s|γ+1+k2|s|μ+1)<0

由Lyapunov稳定性理论，系统状态轨迹滑向滑模面，定理得证。

系统状态轨迹滑向滑模面后，在滑膜面上系统(3)在零点稳定，驱动系统(1)与响应系统(2)是滑模混沌同步的。

2 数值仿真

利用预估校正算法进行数值仿真。系统参数α=0.35,β=0.1,δ=1.0,f=0.42,ω=1.0,q=0.873时系统呈现混沌态。三种方案设计不同的初始值。

方案一系统初始值设置为：(x1(0),x2(0))=(-1.2,-1.1),(y1(0),y2(0))=(-1.2,-1.5)；

方案二系统初始值设置为：(x1(0),x2(0))=(5,3),(y1(0),y2(0))=(3,2)；

方案三系统初始值设置为：(x1(0),x2(0))=(0.2,1.0),(y1(0),y2(0))=(1.5,2)；

图1 方案一的误差曲线Fig.1 The system errors of case 1

方案一和方案二的误差曲线分别如图1和图2所示；方案三的误差曲线如图3所示，方案三中的滑模面参数取值r=1.5,λ=6,k1=10,k2=4,γ=2,μ=0.5,α=0.873。

从图1-3中可以看出，系统误差在初始时刻较远，随着时间的推移，控制器发挥作用一段时间后，误差渐趋于零，实现系统混沌同步。表明三种方案均是可行的，第一、三两种方案相较于第二种实现同步更加迅速。在我们做出数值仿真的过程中，当控制器不满足方案要求时，偶尔同样可以实现系统同步，这是因为我们所设计的控制方案是充分条件，而非充要条件。

3 结 论

本文研究了一类分数阶Froude混沌系统的同步控制问题，给出了三种同步方案，均可以实现系统同步；并基于Lyapunov稳定性理论，给出控制律设计过程和严格理论证明，理论结果和数值仿真表明，在所构造方案得出的控制器作用下，主从系统是混沌同步的。我们的设计方案有一定的普适性，对于其他混沌系统有很好的借鉴作用。数值仿真表明有效性和可行性。

图2 方案二的误差曲线

Fig.2 The system errors of case 2

图3 方案三的误差曲线

Fig.3 The system errors of case 3