在数学问题解决的过程中，有些问题是一类的，它们往往有共同的特征和属性.同学们学习“平面图形的认识（二）”常常会见到“M”形图的问题.在处理和解决这类问题时应该注意什么呢？

一、重温“经典”

例题 已知：如图1，直线AB∥CD，∠B、∠D、∠E有怎样的数量关系？并证明你的结论.

[图2][图1]

解：∠E =∠B+∠D.

结论是如何得出呢？

思路一：

如图2，过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，

∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，

∴∠D=∠FED，

∴∠BED =∠BEF+∠FED，

即∠BED =∠B+∠D.

思路二：

如图3，延长DE交AB于点F.

∵AB∥CD，∴∠D=∠BFE.

∵∠BED=∠BFE+∠B，

∴∠BED=∠D+∠B.

思路三：

如图4，连接BD.

∵AB∥CD，

∴∠ABD+∠BDC =180°，

∴∠ABE+∠EBD+∠BDE+∠CDE =180°.

∵∠BED+∠EBD+∠BDE =180°，

∴∠BED=∠ABE+∠CDE.

【解题反思】无论是作平行线还是延长线段或者是连接线段，其目的就是建立起角与角之间的关系.

二、百变“M”秀

变式1：将图1中的点E“拉”到直线BD的右边，如图5，∠B、∠D、∠E有怎样的数量关系？并证明你的结论.

[图5]

[图6]

解：∠B+∠D+∠E=360°.

如图6，延长DE交AB的延长线于点F.

∵AB∥CD，

∴∠D+∠F =180°，

∵∠BED=∠FBE+∠F，

∴∠ABE+∠BED+∠D =∠ABE+∠FBE+∠F+∠D=180°+180°=360°.

【说明】本题的解决方法与例題类似，方法不唯一，辅助线的添加除了上面的方法，也可过点E作EF∥AB，还可以连接BD.

变式2：将图1中的点E“拉”到直线CD的下面，如图7，∠B、∠D、∠E有怎样的数量关系？并证明你的结论.

图7

解：∠E=∠B-∠D.

∵AB∥CD，∴∠B=∠CFE.

∵∠E=∠CFE-∠D，∴∠E=∠B-∠D.

变式3：将图1中直线AB绕着点B逆时针旋转一定的角度交直线CD于点Q，如图8，∠B、∠D、∠BED、∠BQD之间有怎样的数量关系？说明你的理由.

[图8][图9]

解：∠BED=∠B+∠D+∠BQD.

如图9，连接QE，并延长QE至点G.

∵∠BEG=∠B+∠BQE，∠DEG=∠D+∠DQE，

∴∠BED=∠BEG+∠DEG=∠B+∠BQE+∠D+∠DQE=∠B+∠D+∠BQD.

三、慧眼识“M”

1.将两张长方形的纸片如图10所示摆放，使其中一张长方形纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则∠1+∠2=

°.

【分析】观察五边形AEHGD，这是如图1的经典的“M”型，∠1+∠2=∠H=90°.

2.某单位大门的栏杆如图11所示，AB垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= °.

【分析】观察“图形FEABCD”，因为CD平行于地面AE，这是图5经过变化后的“M”型，则∠EAB+∠ABC+∠BCD=360°，又AB垂直地面AE于A，所以∠EAB=90°，故∠ABC+∠BCD=360°-90°=270°.

3.已知，如图12，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C的度数.

【分析】本题如果隐去线段AB（如图13），就是图7经过变化的“M”型，则∠C=∠1-∠2=2∠2=2×25°=50°.

4.已知，如图14，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °.

【分析】在图14中，可以“分离”出一个由图8经过变化后的“M”型（如图15），显然∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∠AGB与∠CGF为对顶角，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGB+∠C+∠D+∠F=∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°（四边形CDFG的内角和为360°）.

学习数学离不开解题，但是解题不等于傻练，解题的过程中要注重理解，要注意分析、归纳和总结，学会解题反思，在解题的过程中提升理解数学的能力.

（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学，无锡市庞彦福名师工作室）