☉江苏省苏州市吴江平望中学 沈亚平

“最近发展区”理论要求我们立足于学生的认知基础来设计教学，引导学生按部就班地完成数学的学习.在教学中，笔者发现通过学生初中已有的二次函数认知基础，能够高效促进很多高中数学知识的建构，这样的教学能帮助学生完善认知体系，实现能力提升.

一、结合二次函数的解析式，进行函数概念教学

学生在初中阶段已经学习过函数，在高中阶段他们还要结合集合与映射对函数进行重新定义，即用映射的观点来说明函数.教学中我们可以将二次函数作为学生的认知桥梁，重新认识函数的概念.

我们用映射来理解二次函数，即一个集合A到另外一个集合B的映射f：A→B，使得B中的每一个元素y=ax2+bx+c（a≠0）都与A中的元素x存在对应关系，记作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.其中“ax2+bx+c”就是对应法则，也表示定义域中的每一个元素在值域中的象，这样的说明能够为学生在认识函数概念时提供一个相对较为明确的认识，而且在学生对函数值的表示有所认识之后，我们还可以引导学生研究以下问题：

例1已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

上述问题在处理时，可以将f（x+1）理解为自变量等于“x+1”的函数值.

变式：已知f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

在对应法则f下，定义域中的元素“x+1”的象就是“x2-4x+1”，要反过来求元素“x”的象，其问题的本质就是求解对应法则，以下介绍两种做法：

（1）将所提供的表达式写成关于“x+1”的多项式；

（2）代换处理：设t=x+1，则x=t-1，因此有f（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6.

通过以上问题的分析，学生将对函数概念形成全新的认识，这其中也渗透着化归和转化的数学研究思想.

二、结合一元二次方程，引导学生进行模块化思维

学生对于一元二次方程的学习较为离散，为了帮助学生更好地掌握对应知识，并形成模块化认识，我们可以这样来进行教学.

现有一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通过配方可

探究一：如何通过系数来推断方程根的个数？（研究根的判别式）

探究二：如何从方程的根来探求方程系数的特点？（回忆韦达定理）

探究三：怎样结合一元二次方程与二次函数来研究一元二次不等式？

探究三的处理可以结合一个具体的二次函数来进行，比如，有二次函数y=x2+2x-3，我们让学生画出对应的图像，并指导学生观察函数图像上y=0时所对应的x取值分别为1和-3；当y＜0时，则-3＜x＜1.通过以上的分析和处理，学生将逐渐了解初高中数学之间的关联，同时这也帮助学生找到了数学学习的方法，他们由此认识到不等式应该是等式的一种延展，而且解不等式与解等式还存在一定的差别.比如，学生会轻松解得x2+2x-3=0的两个根是1和-3，但是在处理不等式x2+2x-3＜0时，他们会错误地解出x＜-3或x＞1，这时我们就有必要让学生知道在处理不等式问题时函数图像的重要性，数形结合的思想在此得到渗透.

通过以上问题的处理，我们以一元二次方程为结点，引导学生结合对二次函数的认识来搭建相应的知识网络，通过学生模块化的思维将相关知识进行了系统化的整理，这样的处理有助于学生将已有认知融会贯通.而且学生还将更加清晰地把握问题的结构和本质，并由此形成问题解决的办法和策略，这样的处理可以让他们深度领会知识之间的关联，进而让他们体会到数学知识发展的脉络.

三、研究二次函数的单调性，发展学生的知识迁移能力

对于函数的单调性，学生在初中阶段实际上是有所认识的，只不过没有进行严谨的数学训练而已.到了高中阶段，学生要建构单调性的概念，并从多个角度对单调性进行认识，这样的处理有助于学生强化对已有认识的理解，而且配合新学概念，他们的认识还将更加深刻而严谨，当然新旧知识的融合还将训练学生的知识迁移能力，学生也将由此感受到初高中数学学习的紧密关系.

关于二次函数（fx）=ax2+bx+c（a≠0），学生在初中阶段已经认识到，当a＞0时，在其对称轴x=-的右侧，y将跟随x的增加而增加，我们可以据此引导学生建立增函数的定义：如果对于某定义域内的某个区间D上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时，有（fx1）＜（fx2），这表明函数在该区间D上为增函数.

二次函数（fx）=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，其单调增区间为 [-，+∞ ）；当a＜0时，其单调增区间为 （-∞ ，-].由此可见，二次函数的单调性与a的取值情形以及对称轴有关，这里包含着分类讨论的思想.教师可以通过下面的问题来训练学生的思维迁移能力.

例2求二次函数f（x）=x2-12x+3的对称轴和单调区间.

变式一：已知二次函数f（x）=x2+4ax+2在区间（-∞，6）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，请确定a的取值.

变式二：已知二次函数f（x）=x2+4ax+2在区间［2，4］上为单调函数，请确定a的取值.

学生通过上述问题的处理，将结合初中已学知识来同化高中数学的新内容，这也将在一定程度上激活学生的求知欲望，同时学生原有的固定且单一的数学思维也将由此而发生进化，他们将逐渐适应放散且动态的高中数学思维，而且他们也将更加深刻地体会到高中数学的独有魅力.

四、分析二次函数的最值，引导学生发展多维思考能力

相比于初中阶段，高中数学更加复杂且灵活，而且高中数学问题的处理尤其需要学生展开多维思考，从而对问题形成更加全面且深入的认识.

初中生已经对二次函数的最值有所认识，对一个二次函数（fx）=ax2+bx+c（a≠0）来讲，学生知道当函数有最值

探究一：围绕初中函数最值的认识来研究高中某变化函数的最值.

例3 已知二次函数y=x2-2x-2，x∈R，求该函数的最值.

变式一：已知二次函数y=x2-2x-2，请分别确定当x∈［-2，0］，x∈［0，2］时函数的最小值和最大值.

变式二：已知二次函数y=x2-ax-2，求函数在x∈［0，2］上的最小值和最大值.

探究二：从二次函数最值出发研究恒成立问题.

设（fx）=ax2+bx+c（a≠0），（fx）＞0在全集R上恒成立

例4已知f（x）=x2+2（a-2）x+4.

（1）若对于一切x∈R，f（x）＞0恒成立，请确定a的取值范围.（最值）

（2）若对于一切x∈［-3，1］，f（x）＞0恒成立，请确定a的取值范围.（最值）

（3）若对于一切x∈［1，2］，f（x）＞0恒成立，请确定a的取值范围.（参数分离）

（4）若对任意a∈［-1，1］，f（x）＞0恒成立，请确定实数x的取值范围.（换元）

学生通过上述问题的处理和比较，将总结出基本的解题策略，他们会逐步地由初中单一的知识体系过渡到高中多维的知识体系，并在对比中发现更快的解题策略.以上问题大多与二次函数有关，但是由于题设的变化，问题的内涵已经有所调整，因此学生在问题的处理中需要灵活地进行应对.

综上所述，教师要让学生认识到高中阶段的学习其实是初中数学的有效延伸和拓展，从学生熟悉的二次函数出发来创设情境引导学生建构高中数学学习，这样的处理将充分利用学生的基础，将学生的认知发展和智慧提升导向更高的层次.

1.朱松林.变式延伸从最近发展区开始［J］.中学数学月刊，2013（1）.

2.李红婷.数学问题解决教学设计及其实施策略［J］.数学通报，2007（6）.F