摘 要：波利亚（G. Polya）“怎样解题”表中的四个步骤：“理解问题——制订计划——执行计划——回顾”，其中“回顾”即解题后的反思，是其中一个极其重要而又容易被忽视的环节。本文侧重阐述解题后反思的课堂实践。

关键词：习题；呈现；反思；巩固

习题呈现：习题：在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，∠C=90°，PQ∥AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上，（1）、（2）略，（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求PQ的长。

习题解答：此题在作业中几乎无人问津，我把它放到课堂上进行讲解。让学生再次审题，根据自己的理解画出几何图形，并选择两位学生在黑板上画出。

两位学生画完后，有学生举手说：“这两种图形都正确，应该还有第三种，∠PQM可以是直角，因为△PQM没有指明哪个角是直角。”我对三位学生的表现大为赞赏，顺势引导学生对结论进一步分析，结合图形进行归纳，确定为二种情形：情形1，如上图①（∠PQM=90°或∠QPM=90°归为一类，PQ长相等）；情形2，如上图②（∠PMQ=90°为一类）。

通过商讨，我们找到了解答此题的两种方法。解题完毕后，我们一起对此题进行回顾反思，以便找寻原因，总结方法。

解后反思：

（一） 反思题意的理解、思考过程：反思对条件的理解，条件呈现较明确；反思对结论的理解，发现有：

1. △PQM为等腰直角三角形，没有指明哪个角是直角，结论的不确定性就会产生多种可能性；是此题无人问津的原因之一。

2. 几何图形没有呈现，由我们自己画图，由于几何图形的多样性就有产生多种几何图形的可能性；是此题无人问津的原因之二。

经过对题意的反思，我们明确了此题属于结论开放型题，做题时要注意多种可能情况的出现，思考要周密，严防遗漏其他可能情况，同时对多种可能情况进行归纳，确定最后情形。

（二） 反思解答过程

1. 反思知识的联系，避免解题的盲目性：通过对解答过程的反思，发现此题的图形呈现出相似三角形常见的基本图形——“A”形，运用了相似三角形的知识解决了问题。由此如果把题中的条件与知识间的联系搞清楚，以后碰到类似知识问题时，便可尝试使用此解法，以避免解题的盲目性，同时有利于提高自身的分析能力和归纳思维能力。

2. 反思解题的方法，促进思维的拓展：通过对解答方法的反思，发现此题的解法有两种（方法一：运用两次相似；方法二：运用相似三角形对应高线之比等于相似比），两种解法都适用于这两种情形。两种解法的知识上都运用了相似的知识点，方法中都运用了数形结合的思想，必要时添加了辅助线构造了相似的基本图形使解题更简便。这在促进学生思维拓展的同时也使学生明白一些解题技巧：

（1） 一题出现多种可能性时，解题方法能否通用，可尝试（此题得到体现）；

（2） 一题分为多个小题时，每小题间是否有联系，前小题结论或方法能否为后小题服务？解题方法能否借鉴、迁移呢？也可尝试（此题同样得到体现）。

通过反思，发现此题的解法有两种，比较难易，确定一种较简便的方法。也使学生明确：不少习题可有多种解法，因而解完一道题后，应周密地反思是否还有其他别的求解途径，以求最简捷的解法，使自己的思维空间得到拓展，防止思维定势，使自己解题的能力得到提升。

3. 反思解题的规律，促进能力的迁移

反思此题，我们有无解题规律可循呢？引导学生归纳出这样的规律：线平行可得三角形相似；相似三角形的对应高线之比等于相似比；结合题意添加必要的辅助线可构造三角形相似；图形中有没有相似的基本图形——“A”与“X”型可运用等等。经过这样反思，让学生领略其中的微妙，发现其中的规律，做到明一类，得一法，使这方法得到迁移来解决同一类型题目。

习题归一：

（三） 反思题目的演变，强化开拓探索

反思后，一位学生忽然站起来说：“老师，这题跟我们后面做过的同步练习P57的第3题是同一类题。”我们师生一起看书，看到此题为：如图①②Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，AC=3，BC=4，分别在两个三角形中画如图所示的正方形DEFG和正方形C′MNP。通过计算比较一下，哪个正方形的边长大？

有些学生用疑惑的眼光看着她，她继续说，“情形1添加一条垂线，过点Q作AB的垂线QE就行，情形2去掉一条线段QP就行。”

听完后，学生们豁然开朗，噢，原来如此。我们为此学生的回答大力鼓掌、赞赏。之后我们一起来分析了这两题间的联系，发现情形1与此图①纯属同一种题，情形2与此图②应说较接近同种题，因四边形CQMP不一定是正方形，但它们的解题方法是一致的。我们进一步探究它们间的联系，发现此类题可一般化，就如同页中的第2题，如图，有一块三角形的余料ABC，它的一边BC=120 mm，高AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，加工成的正方形零件的边长是多少？

通过分析发现这三道题可以从易到难，从浅到深演变；演变中探求到解题的一般方法：三角形相似，相似三角形的对应高线之比等于相似比，贯穿始终。也深深体会到做题的乐趣，体会到做完一道题后，教师要引导学生去探索、联想、创新，要开拓出一组新颖别致的习题，发挥典型习题在知识层面和能力层面的辐射功能，发挥学生的潜能，培养学生探索精神，培养思维的创造性和深刻性。

习题巩固：

我布置了一个任务：让每位学生交一道类似于刚才所讲的题目，以形成序列习题便于巩固练习。

通过对此题的反思，我们学生今后碰到此类型题时，就会轻松地解决。

自身收获：

（四） 反思教学过程，促进教师的成长

课后，反思了自己的教学过程，觉得自己在教学上基本体现了教师的主导地位和学生的主体地位，采取了学生独立自主、合作交流的教学手段，以培养学生的分析能力、合作能力、探究能力为目的。教学中也暴露出自己备课不充分，以题论题，没有把题进行拓展、引申，加以联系，缺少自我探索能力。反思自我教学过程，认识和找到自身教学的不足，适时积累经验，促进自我成长。

总之，教师在数学教学过程中不但要引导学生学习解题后的反思，更重要的讓学生逐步养成自我反思的习惯。而我们教师更加要做反思型教师，孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆。”通过反思，有助于总结经验教训，有助于拓开研究教学过程，有助于提高教学水平，从而形成适合于自己、有益于学生的教学方式和教学特点。陶西平（联合国教科文组织协会世界联合会副主席，国家总督学顾问）指出，教育需要在反思中创新，教师通过审视自己的教育习惯，寻找改革的切入点，又通过对自己教育习惯的理性思考，促进自身教育观念的转变，再在这一基础上建立新的习惯，实现教育的创新。

积跬步以至千里，深愿在各位教师对自己教学习惯的反思中，实现我们自身的教学创新。

参考文献：

[1] 方晓华.养成解题后反思的习惯培养学生良好的思维品质[J].中学教研，2004（6）.

[2] 曾护荣.浅谈解题后的反思[J].数学大世界，2005（5）.

[3] 鼎尖助学系列——同步练习[G].华师大数学八年级下.延边教育出版社出版，2015（10）.

[4] 范达江.波利亚的数学思考在解决中考题中的应用[S].中学数学教学参考，2016（1）.

[5] 袁虹.微课中“解后反思”的思考与实践[G].中学数学教学参考，2016（1）.

[6] 陶西平.教育需要在反思中创新[J].教育论坛，2016（12）.

作者简介：朱炜炜，中学高级教师，浙江省宁波市，浙江省象山县丹城实验初中。endprint