孙瑞洁+武海辉

【摘要】本文根据方程的特点，利用变量代换、积分因子法、常数变易法、凑微分等基本方法对几个含复杂多项式的一阶微分方程进行求解并分析.

【关键词】变量代换；积分因子法；常数变易法；一阶微分方程

【基金项目】安康学院自然科学基金项目（2017AYQN09）.

在对“常微分方程”第二章的学习中，我们在教师的讲解下学会了求解一阶微分方程的基本方法，如，变量代换、凑微分等.下面将利用所学知识解决几个含复杂“多项式”的一阶微分方程.

方程1 解方程4xydx+（2x2+5xy-1）dy=0.

法一 ∵dMdY=4x≠dNdx=4x+5y，

∴此方程不为恰当方程.

又∵M与N都为多项式，∴设积分因子为μ=xmyn.

方程两边同时乘μ，即可得

4xm+1yn+1dx+（2xm+2yn+5xm+1yn-1）dy=0.（1）

（1）为恰当方程的充要条件为dM1dY=dN1dx，

其中M1=4xm+1yn+1，N1=2xm+2yn+5xm+1yn-1，

即可得

4（n+1）xm+1yn=2（m+2）xm+1yn+5（m+1）xmyn-14（n+1）=2（m+2），5（m+1）=0 n=-12，m=-1，

∴μ=x-1y-12，

∴（1）式可化为4y12dx+（2xy-12+5y-32）dy=0.

化简得y12dx+4xdy12-10dy-12=0，

凑微分得d4xy12-10dy-12=0.

故原方程的通解为4xy12-10y-12=0.

分析 通过观察给出方程的形式，判断其不是恰当方程，然后根据其对应的M與N的形式，设对应的积分因子并转换为恰当方程求解.

法二 原式可变形为dydx=-4xy2x2+5xy-1.

将x与y地位对换，即可得

dxdy=2x2+5xy-1-4xy=-x2y-54y2.（2）

显然（2）为非齐次线性方程，

其中p（y）=-12y，q（y）=-54y2.

（2）式对应的齐次方程的解为x=ce∫-12ydy=cy-12.

设x=c（y）y-12为原方程的解，代入即可得

c′（y）·y-12-12y-32·c（y）=12∫-54y-32·c（y）-54y2，

则c（y）=∫-54y-32dy=52y-12+c.

故原方程的通解为x=y-1252y-12+c，其中c为任意常数.

法三 对（2）式直接用通解公式求解.即可得

x=e∫p（y）dy[∫q（y）e∫-p（y）dydy+c]

=e∫-12ydy∫-54y2e∫-12ydydy+c

=y-12-54∫y-32dy+c=y-1252y-12+c.

故原方程的通解为

x=y-1252y-12+c，其中c为任意常数.

分析 观察分子、分母，将其颠倒，转换为一阶线性微分方程，利用常数变异法或通解公式求解.

方程2 解方程xdydx-y=2x2y（y2-x2）.

解 令u=x2y，则y=ux2，

则dudx=2xy+x2dydx=2ux+x2·dydx，

代入原方程，得1xdudx-2ux-ux2=2uu2x4-x2，

整理得dudx=3x-2x3u+2x3u3.（3）

显然，由（3）式可看出：此方程为n=3的贝努利方程.

令z=u-2，dzdx=-2u3dudx，

代入（3）式得dzdx=-23x-2x3z-4x3.

应用一阶非齐次微分方程的求解公式，即可得

z=e-∫23x-2x3 dx∫-4x3e∫23x-2x3 dxdx+c.

把z=u-2，u=x2y代入，可得原方程的通解为

x2-y2=cy2ex4，其中c为任意常数.

分析 通过合适的变量代换，转换为贝努利方程进行求解.

方程3 dydx=4x3-2xy3+2x3x2y2-6y5+3y2.

解 原方程可变形为3y2dy2xdx=2x2-y3+1x2-2y2+1，

令u=y3，v=x2，则dudv=2v-u+1v-2u+1，

即可得（v-2u+1）du-（2v-u+1）dv=0，

化简得（vdu+udv）-2udu+1du-2vdv-1dv=0，

分项组合得d（uv-u2-v2+u-v）=0，

将u=y3，v=x2代入，

即可得原方程的通解为y3x2-y6-x4+y3-x2=c，其中c为任意常数.

分析 通过合适的变量代换，分项组合进行求解.

【参考文献】

[1]王高雄.常微分辅导及习题精解：第三版[M].延吉：延边大学出版社，2011.

[2]李必文，赵临龙，张明波.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.endprint