葛敏辉　赵阳霞

[摘 要]“分数除法”是小学生比较难理解的一个学习内容，因此分析教材的编写对于探索教学方法是十分有意义的。以“分数除法”这一课为切入点，从“理解计算意义、深入研究算理、概括计算法则、形成计算技能”四个维度来分析台湾部编版教材“分数除法”的编写，为进一步研究分数除法的计算教学提供新的思路。

[关键词]台湾部编版教材；分数除法；理解算理；分析

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0009-03

台湾部编版教材是台湾最有影响力的教材之一，市场占有率达到65%。它是根据《国民中小学九年一贯课程纲要》编写的，它把“分数除法”安排在五年级和六年级两个年级（即第10册和第11册）进行教学。本文以“分数除法”这一课为切入点，从“理解计算意义、深入研究算理、概括计算法则、形成计算技能”四个维度来分析教材的编写。

一、如何理解分数除法计算的意义？

《台湾九年一贯数学课程暂行纲要》之“分数教学目标”中，五年级的“分数除以整数”的教学要求是“能在测量情境中，理解分数之整数相除的意涵”，六年级的“分数除以整数”的教学要求是“能理解除数为分数的意义及计算方法，并解决生活中的问题”，均力求让学生在解决具体问题的情境中理解运算的意义。

台湾部编版教材为帮助学生理解运算意义，在五年级的“分数除以整数”处建立了两个模型：一是借助学生熟悉的“分物”情境来类比迁移，建立平均分模型；二是建立求倍数模型（A是B的几倍？），即除法中包含除的模型。六年级的“分数除以整数”的复习课以及“除数为分数的分数除法”中都运用到这两个模型。在模型中，让学生理解分数除法与整数除法的意义相同——都是已知两个乘数的积和其中一个乘数求另一个乘数的运算。

例如：

验算的目的是进一步让学生体会乘除的互逆关系以及理解分数除法的意义。

台湾部编版教材在处理分数除法意义的理解上有以下特点：

（1）引导学生通过类比迁移理解分数除法意义。分数除法与整数除法意义相同，因此在分数除法的例题上选择建立平均分模型和包含除模型，概念上注重打通知识间的联系，通过类比迁移加深学生对概念的理解。

（2）选材关注学生的已有经验。“分物”是除法运算的一个联结因素，在熟悉的问题情境下，学生借助实际经验和已有知识就能更好地理解运算意义。

二、如何理解分数除法的计算算理？

计算教学中的算理教学非常重要，为了让学生真正理解算理，不同的编写者往往有不同的侧重点。

1.分数除以整数如何理解算理？

运算理解有四种类型：直观理解、程序理解、抽象理解和形式理解。直观理解就是用直观图形来说明运算结果的合理性；程序理解，通俗来说就是会计算；抽象理解就是用语言、算式说明结果的合理性；形式理解是用已知规则、规律基于逻辑推理证实运算结果的合理性。

台湾部编版教材在处理分数除以整数的算理理解上属于抽象理解，主要借助三重意义：除法的意义、分数的意义、分数乘法的意义来理解。例如，

根据除法的意义列出算式“÷3”，根据分数和分数乘法的意义列出算式“”，这两个算式表示的意义相同，所以可以转化。

理解分数除以整数的算理应包含两个层次：第一层，理解分数除以整数需要的概念支撑（除法的意义、分数的意义、分数乘法的意义），这是第二层转化必备的基础；第二层，理解为什么要把除法转化为乘法。

台湾部编版教材在处理分数除以整数部分直接给出分子与整数不能整除的情况。例题中虽有借助直观模型，但这里的直观线段图是为理解抽象意义服务的。

2.除数为分数的分数除法如何理解算理？

除数为分数的分数除法的算理是小学阶段学生公认的难以理解的学习内容，台湾部编版教材采用通分法来说明算理：从分母相同的分数除法开始研究，进而探索分母不同的分数除法。实际上早在2000年前的《九章算术》中就有通分方法记载。

同分母分数除法算理演绎过程：

同分母分数除法的算理理解上属于直观理解：借助线段图，通过数形结合让学生理解“分母相同的情况下求倍数实际上可以化成整数的包含除的关系”。例题中的提示语是引导图示中要揭示的思维过程。四则运算本质是相同计数单位的个数的运算。同分母分数计数单位相同，把分数除法转化为分子相除的整数除法。

下面是异分母分数除法算理的演绎过程。

教材中先出示引导语：

异分母分数除法主要借助同分母加减法和同分母分数除法的迁移，第一步，通分，把不同的分数单位化成相同的分数单位后再计算，第二步，转化为整数除法包含除的关系。这里所需的“知识包”包含：整数除法的知识，分数的基本性质和通分（台湾部编版教材叫“扩分”）。因此，异分母分数除法的算理是先通分再化归到“同分母分数的除法”。

从上面的分析可以看出，台湾部编版教材在引导学生理解计算算理方面的特点：

（1）注重学生已有的认知基础。建构主义学习理论认为新知识的学习都是在学生已有的知识经验基础上进行的，让已有的知识经验为新知识的学习建立支架，将新知识纳入已有的认知结构。“通分法”使得分数除法和整数除法在意义上达到一致，更能体现概念的一致性，而且“通分法”和分数加减法的计算方法类似，学生容易进行正向迁移。

（2）完整展现思考过程。无论是抽象理解算理还是直观理解算理，教材都用语言和图示揭示了完整的思维过程，目的是让学生经历分数除法的探究过程，清晰理解算理，领悟分数除法运算的本质。

三、如何形成计算法则？

算理和算法是运算能力的一体两翼，尤其在小学数学中，两者相辅相成，不可偏廢。

1.分数除以整数的计算法则如何形成？endprint

分数除以整数是用抽象意义说明÷3与×意义相同，所以把除法转化为乘法计算。台湾部编版教材将“倒数”安排在六年级的“分数的除法”之后，所以没有抽象出计算法则，只是在例题中用引导语做相关提示。

先用两个例题建立模型，对于第三个例题，教材已没有算法提示而是直接把“除以整数”变成“乘整数的倒数”。

2.同分母分数的除法计算法则如何形成？

在两道例题基础上概括出了同分母分数除法的计算法则，在法则下面又举例帮助学生巩固和理解。

紧跟计算法则的“动动脑”，为学生最终掌握“颠倒相乘”的计算法则做思维铺垫。

3.异分母分数的除法计算法则如何形成？

异分母分数除法算理与同分母分数除法相同，但是由于通分（台湾部编版教材叫“扩分”）比较复杂，在异分母分数中选择了“颠倒相乘”这个较为简便的计算方法。

在分数除法计算中，“颠倒相乘”已是公认的最简便的计算方法。因此，异分母分数的除法计算法则的形成应包含以下几个过程。

第一步，在同分母分数的除法中引导学生，分散难点。在进行分母是乘法算式的同分母分数除法时，不用计算分母，直接将分子相除。

第二步，异分母分数相除时，把分母通分成第一步乘法算式即可，這样就能化成分子算式相除的形式。

第三步，在学生理解算理的基础上，从异分母分数除法中另辟蹊径，最终从异分母分数除法转化到同分母分数除法，再转化成“颠倒相乘”的方式。

引导框中的思路也可以这么理解：借助同分母分数除法转化成“颠倒相乘”，在讲解例题后再引导学生发现计算法则。

从以上分析可以看出，台湾部编版教材在概括计算法则的过程中有以下特点：

（1）注重学生探索发现的过程。计算法则的概括多是提示性的而不是总结性的，是在例题的基础上引导学生发现。

（2）层层递进，适当分散难点。在教学“异分母分数的除法”中遇到的难点也同样分散在“同分母分数除法”中，在探究计算法则的过程中每一步都环环相扣、层层递进。

四、计算技能是如何形成的？

在分数除法的算法总结中，引导学生最终掌握“颠倒相乘”的计算法则，为了巩固这一法则，形成计算技能，台湾部编版教材安排了相应的例题，目的是增加带分数除法的内容，以及沟通整个分数除法的运算关系。例题有三种不同的形式：带分数除以分数，分数除以整数，分数除以带分数。

紧跟着例题的练习题又包含了带分数除以带分数、同分母分数相除、带分数除以整数、整数除以带分数，目的是让学生掌握带分数除法的同时达到“颠倒相乘”计算技能“自动化”。

一个完整的分数除法计算教学的过程包含：让学生理解分数除法的意义，并深入研究算理，在这个基础上获得系统条理的计算方法，概括出计算法则，最后通过练习达到计算技能的“自动化”。

本文是基于对台湾部编版教材有关“分数除法”计算教学的编写的研究学习后的一点分析，希望对进一步研究分数除法的计算教学和探寻学生的理解路径能有一定的促进作用。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 马立平.小学数学的掌握和教学[M].李士锜，吴颖康，译.上海：华东师范大学出版社，2016.

[2] 王琳.海峡两岸小学数学教科书的比较分析——以大陆“人教版”和台湾“部编版”分数部分为例[D].天津：天津师范大学，2012.

[3] 王利.中新两国小学数学教材“分数”内容的比较研究[D].重庆：西南大学，2014.

[4] 巩子坤.有理数运算的理解水平及其教育学的策略研究[D].重庆：西南大学2006.

（责编 金 铃）endprint