王丹阳 毋晓迪

(1.河南师范大学数学与信息科学学院，河南 新乡 453007； 2.广西民族大学理学院，广西 南宁 530000)

一、数学模型

数学模型也就是根据实际问题和研究对象的特点，为了描述和研究客观现象的运动变化规律，运用数学抽象、概括等方法而形成的，用以反映其内部因素之间的空间形式与数量关系的数学结构表达式，包括数学公式、逻辑准则、具体算法和数学概念。数学学科是从生活中发展而来的，生活中的很多问题都能用数学知识来解决，其中数学模型就是从生活中抽象而来的，是把生活问题数学化，从数学的角度来解决问题。从数学模型的定义中可以看出，数学公式、概念、定理都属于数学模型，通过数学模型，可以使抽象复杂的数学问题变得具体形象，有利于问题的解决，因此，数学模型可以看做是沟通现实生活与数学学科的一座桥梁。

二、数学模型思想在初中的运用

数学模型思想是数学基本思想之一，数学模型思想的本质就是把实际问题转化为数学问题，用数学知识来解决实际问题。在初中教学中，数学模型思想已经占据着重要的部分，我们不难发现，一元一次方程、一元二次方程、概率初步、二元一次方程组等等都涉及到了数学模型思想，《标准》中也10次提到了数学建模、模型思想，由此可知，模型思想在初中教育阶段的重要性，《标准》也从课堂教学、设计试题、课程安排等方面对模型思想的学习提出了不同的要求，主要目的是让学生循序渐进地从体会、感知、经历到建立，最终能够达到“问题情境——建立模型——求解验证”的要求。

三、建立数学模型的步骤

(一)模型准备

要建立有关实际问题的数学模型，首先要对实际问题有深入的认识，收集影响结果的有关数据，找到相关变量，收集相关变量影响结果的数据。

(二)模型假设

要建立有关实际问题的模型，不仅要收集数据，收集数据之后，还要对数据进行整理分析，对实际问题满足的实际的模型进行假设，假设数学模型的过程，就是把实际问题转化为数学问题的过程，这个过程需要操作者具有一定的知识经验，因为模型假设出错，可能会事倍功半。

(三)模型构成

模型构成是指进行模型假设之后，通过对因果变量的分析，找出的因果变量之间的关系，在实际问题中还需要考虑自变量的取值范围，以及不同范围的自变量，对应的数学模型是否相同。

(四)模型求解

建立数学模型之后还需要对所建立的数学模型进行求解，给出数学模型可能出现的结果。

(五)模型分析

数学模型的建立并不是一蹴而就的，需要对所建立的数学发模型进行分析，看所建立的数学模型是否符合实际情况，是否存在误差，误差严重时还需要对数学模型进行修改。

(六)模型检验

模型检验是将对所建立的数学模型应用于实际，看实验结果是否符合所建立的模型，检验模型的实用性和合理性。

四、运用数学模型思想的原则

数学模型思想并没有直接以文字的形式表示出来，它往往是隐藏在数学知识中的，也就是说学生要想掌握数学模型思想，就必须先掌握基本的数学知识、数学技能，在掌握数学知识、数学技能的过程中，循序渐进地提高自己的数学建模能力。针对初中生的学习特点，在对初中生进行数学模型教学时要遵循以下几个原则：

(一)数学化原则

数学模型思想是通过把现实问题转化数学问题来解决要研究的问题的，其本质就是把现实问题转化为数学问题，然后通过数学的思想方法来分析和解决问题，我们可以看出，在这个过程中，最关键的一步就是转化，也就是数学化的过程，因此，要想使学生掌握数学模型思想，就必须培养学生数学化的能力，要培养学生从数学的角度去分析解决问题，让学生体会到数学与生活的密切联系。

(二)过程性原则

数学模型教学并不是简单地告诉学生什么是数学模型，更重要的是让学生经历数学建模的过程，这样不仅可以激发学生的好奇心和求知欲，还可以让学生参与到发现问题、分析问题、解决问题的过程中，在参与的过程中促进学生不断地思考，加深学生对所学知识的理解。例如，在《多边形的内角和》这节课中，教师教学的重点应该是引导学生探索多边形内角和公式的推导过程，而不是简单地告诉学生多边形内角和的公式，这样一来学生对多边形内角和的公式会有一个更加深刻的印象，与此同时，学生还能潜移默化地掌握其中蕴含的数学思想。

(三)“最近发展区”原则

教的目的是为了学，教师是学生学习活动的引导者，教师在教学活动中需要充分考虑学生的实际情况和学习习惯，以及学生的“最近发展区”，结合学生所学知识和生活经验，创设问题情境，调动学生的学习兴趣，激发学生学习的积极性，让学生学会发现问题，解决问题，培养学生独立思考的能力。例如，在进行一元二次方程的教学中，教师可以充分利用学生所学的一元一次方程，通过概念的对比，找到一元一次方程与一元二次方程的之间的联系，让学生知道这里的“元”指的是未知数，一元就是有一个未知数，“次”指的是未知数的次数，一元一次方程就是有一个未知数，并且未知数的次数是一次，一元二次方程就是有两个未知数，并且未知数的最高次数为二，通过两个概念的对比，学生能够更加熟练地掌握一元一次方程和一元二次方程的概念，也为以后要学的二元一次方程打下了基础。

(四)针对性原则

对于初中生来说整个初中阶段，是他们认知发展的重要阶段，不同发展阶段的学生要有根据他们认知发展的水平采用不同的教学策略，循序渐渐地进行，切不可无视学生认知发展的差异性，对不同年级的学生采用相同的方法。初一的学生，刚从小学过渡到初中阶段，这个年级的学生，具体形象思维仍占据重要地位，教师在教学过程中，可以借助直观教具，或者创设与实际生活密切相关的实际情景，让学生更加容易理解所学的知识。初二和初三的学生，抽象思维已经有所发展，在教学中可以充分利用学生所学的知识经验，进行启发式教学，培养学生发现问题，解决问题的能力。

五、数学模型思想的策略

(一)教学准备策略

1.深入挖掘教材

课堂教学中用到的教材是课程标准的具体化，要实现教学目标，提高教学质量，教师吃需透教材，深入挖掘其隐含的数学思想，只有让学生了解并掌握其中蕴含的数学思想，才能培养学生的数学思维，此外，教师还应该研究教材编写的逻辑顺序以及编写的意图，敢于挑战权威。这样一来不仅可以提高教师的研究意识和能力，更重要的是，分析教材之后，教师对课程标准、教学目标会有更加深刻的认识，这样在教学中教师就会有更加明确地教学方向。

2.设计高效的教学活动

现在我国大部分学校仍然是以教师的讲和学生的听为主导的教学模式，其模式虽然提高了教学效率，但不利于学生创造性的发展。每个数学知识都是经过探索验证得到的，在教学中教师要根据班级学生的具体情况，设计一些高效的教学活动，让学生参与到教学活动中来，经历知识的发生发展过程，学生自己动手，自己发现问题、解决问题，学生亲自参与到这些教学活动中来，他们对要掌握的数学知识会有更加深切的体会，学生的模型思想也能得到发展。要想设计高效的教学活动就需要教师联系生活实际，将教学内容与生活实际联系起来，激发学生的学习兴趣，同时，教师还可以向其他教师进行讨论，取长补短，找到适合自己学生的教学活动。

(二)实施策略

1.创设情景，激发兴趣

“兴趣是最好的老师”，学生只有对所学的知识感兴趣，才会全身心地投入到学习活动中去，因此，在教学中，教师要创设情景，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与到教学活动中来，但是怎样创设问题情景才能激发学生的学习兴趣，对教师来说不是一件容易的事情，一方面，需要教师深入了解学生，多和学生交流沟通，发现学生们的兴趣爱好，另一方面，教师要多了解一些教育理论，理论联系实际，根据实际情况，采用合适的教学方法。

2.让学生经历模型建构的全过程

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾经说过“学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西去发现或创造”。学生从课堂上学到的知识很容易忘记，但是那些自己亲身经历后得到的知识经验往往记忆深刻，所以在进行数学模型教学时，要让学生经历模型建构的全过程，经历模型的假设、检验、确定的过程，只有这样，学生才能深刻理解所学的知识，知道知识的由来以及应用，还可以培养学生的动手能力，培养学生的建模思想和数学思维，数学思想是数学的灵魂，学生熟练掌握了数学思想对他们以后的学习会有很大的帮助。

3.模型思想的深化

教师要培养学生的应用意识，让学生学会将所学的知识应用于实际生活之中，在应用的过程中，发现问题、解决问题，这样，不仅可以让学生对所学的知识有更加深刻的理解，还可以培养学生的模型思想，激发学生的学习兴趣。

4.建立知识间的联系，形成系统的知识网络

在初中，学生已经接触过的数学模型有：方程模型、函数模型、概率模型、不等式模型、几何模型等等，但是，学生只是对这些模型有一些简单的认识，对于每个模型的具体特点并没有过多地了解，显然也无法形成系统的知识网络，这些就需要教师在教学中，引导学生去思考总结，总结知识间的联系，归纳不同模型的特点以及学习方法，让学生形成系统的知识网络，提高学习的效率。

六、数学模型思想的要求

《标准》中指出，在进行有关数学模型思想的教学时，要注重学生已有的知识经验，让学生自己从实际生活中抽象出数学问题，能够自己建立模型，解决问题。数学模型的建立是学生将所学的知识应用实际，将自身的经验与外部世界建立联系的过程，模型思想能够增强学生的数学应用意识，引导学生关心社会，与时俱进。在数学课堂上，教师要增强数学符号、空间观念，模型意识、数据分析观念、模型意识的教学，培养学生的数学模型思想。

参考文献：

[1]孔凡哲.有关模型思想若干问题的分析与解读[J].中学数学教学参考，2015(1-2).

[2]朱爱明，王积贤.基于初中数学教学环节中数学模型思想的渗透——以人教版数学八年级下册为例[J].中学数学(初中版)，2015.6.