杨小飞 郭建霞

【摘要】本文分析了大学数学课程中级数内容的重要性，比较了级数敛散性的各类判别方法。针对存在的问题，分析了泰勒公式在判定数项级数敛散性方面的作用，提出了使用泰勒公式判别的方法，并举例说明用泰勒公式判定各类级数敛散性的方法。

【关键词】泰勒公式 级数 敛散性

【基金项目】河南科技学院教育教学改革研究项目“新乡高校数学专业学生学习现状分析及对策研究”（2016PUYB24）

【中图分类号】O173.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）35-0123-02

【Abstract】This article analyses particularly the importance of series in the University mathematics curriculum ，it contrasts various types of the decision methods. Deal with the problems ，it analyses the decision method of Taylor Formula on convergence of series，whats more ，it cites how to use Taylor Formula.

引言

大学数学课程中，级数部分是该课程知识体系中重要的组成部分。数学专业的后续课程，如《复变函数论》等都和级数有密切的关系，对于工科的学生来讲，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控和电子产品的制造等领域，因此级数和这些内容的相应的课程紧密相关。作为函数项级数基础的数项级数部分自然尤为重要。判断数项级数敛散性是学习级数的重要环节，关系到后面各类函数项级数的学习。数项级数敛散性的判断如果掌握了一些特定的技巧，则可以帮助我们巧妙地解决这个问题。关于数项级数敛散性的判断，有一些基本方法，如：敛散性的定义、级数收敛的必要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，这些方法针对一些特定形式的級数敛散性判断都非常有效，该部分在文献[4]中有详细讲解，这里不再赘述。但是，这里存在的普遍问题是，以上方法只是针对一些特定形式的数项级数能够确定其敛散性，对于一般级数的问题，需要探索新的方法，比如对于交错级数，只有级数满足Leibniz定理[4]的两个条件时，才能判断它是收敛的，显然这个方法有一定的局限性。

泰勒公式是高等数学课程中一个功能强大的工具，我们熟知的在近似计算、误差估计、极限计算等方面都有广泛的使用[3]。用泰勒公式判定级数的敛散性在一些文章已有所提及[5]，但这些论证没有深入挖掘它的奇妙之处及具体使用方法。

综上，用泰勒公式判断数项级数的敛散性，通常是把级数的一般项整理成关于的函数形式，利用泰勒公式将其展开，经整理通常可以得到形如的一项（有时相差一常系数或者形如的系数），结合比较审敛法和p-级数敛散性的结论就可以判断原级数的敛散性。使用泰勒公式判定级数的敛散性时，首先用级数收敛的必要条件：数项级数收敛一般项必趋向于零。其逆否命题是：若级数的一般项不趋向于零，则该级数必发散。考虑该必要条件，排除因一般项极限非零的发散级数。

参考文献：

[1]吉米多维奇. 数学分析习题集题解（四） [M]，山东科学技术出版社. 2001.71-84.

[2]郭运瑞，陈付贵主编.高等数学（下）[M].北京：人民出版社.2008.118-120

[3]同济大学数学系.高等数学（上）[M].北京：高等教育出版社，2009.139-145.

[4]同济大学数学系.高等数学（下）[M].北京：高等教育出版社，2009.256-269.

[5]谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[]].高等数学研究，2010（5）：11-12.

[6]刘玉莲，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义[M]。北京：高等教育出版社，2003.21-23.

作者简介：

杨小飞（1979-），女，河南新乡人，讲师，主要研究方向为偏微分方程。