☉江苏省常州市北郊高级中学 包静怡

在高三数学复习中，学生对于线性规划掌握的程度往往不尽如人意.究其原因，很多学生对于线性规划的认知仅仅停留在一个非常表象的层面，即看到题目中出现线性约束条件（二元一次不等式组），才会想到用线性规划来解题.如果题目条件中没有出现约束条件，或者给出的约束条件形式不够常规，又或者换成了函数、数列等其他的背景，学生在解题中都容易出现问题.

下面我们通过对几个典例的研究，从而看清线性规划的“真面目”.

一、题目中有约束条件，但是背景融入了其他数学知识

例1设f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（-2）的取值范围为_______.

例2 等差数列｛an｝中，已知首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn.若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求数列｛an｝的通项公式.

解析：由题意可得到关于a1，d的不等式组N*，则d=-1.代入不等式组得到10＜a1≤12，a1∈N*，则a1=11或12.所以an=12-n或an=13-n.

通过这两个例题，我们发现其实不在于题目给出的背景是什么数学知识，只要可以从中抽离出约束条件及目标函数，就可以转化为线性规划解决.

二、题目中没有约束条件，需要寻求约束条件

例3若函数（fx）=x2+ax+2b在区间（0，1）和（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是_________

解析：若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内组对应的平面区域，如图1，因为，则z的几何意义为区域内的点到点D（1，2）的斜率，根据线性规划知识可得范围为

图1

本题给出的条件是二次函数的根的分布问题，可等价转化成二元一次不等式组，也就是线性规划的约束条件，而所求的分式可以转化为斜率型目标函数研究.

例4定义在R上的奇函数y=f（x）为减函数，若m，n满足f（m2-2m）+f（2n-n2）≥0，则值范围为______.

解析：由于函数为奇函数且为减函数，故由f（m2-2m）+f（2n-n2）≥0得f（m2-2m）≥f（n2-2n），即m2-2m≤n2-2n，（m+n-2）（m-n）≤0，画出可行域，如图2所示，由图可知

图2

本题利用函数的单调性与奇偶性，将不等式的问题转化为线性规划问题来求解，同样需要通过转化将约束条件找出.

这组例题考查的是学生转化思想的熟练运用，题中没有明显的二元不等式组出现，而是藏在各种背景的数学知识中，要运用等价转化将约束条件寻找出来，就成为一个线性规划问题了.

三、题目中有约束条件，但约束条件不常规

1.约束条件非线性

例5 在平面直角坐标系xOy中，A（-12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若≤20，则点P的横坐标的取值范围是_______.

本题结合直线与圆、平面向量的知识，可以用线性规划知识解决.在研究过程中发现，动点所在区域并不是我们一般常规的线性约束条件所得到的边界直线围成的一块区域，而是一段圆弧.我们都知道，目标函数非线性的还有斜率型和距离型这两种常规类型，但是约束条件非线性的情况相对来说学生没有那么熟悉，只要弄清楚动点的运动轨迹，其实仍然可以运用线性规划的方法解决.

2.约束条件为多元问题

例6 已知△ABC的三边分别是a，b，c，2a＞b+c，2c＜

例7 已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是____________.

作出（x，y）所在平面区域，如图3所示.设y=ex上切点为则切线方程为，将原点代入得x0=1，求出y=ex的切线的斜率为e，即的最小值为e.

图3

此题表面上是关于不等式的基本问题，可是深入分析发现简单的不等式性质不够用.构造关于的不等式组，将三元一次不等式组化成二元，这样就可以化归为线性规划问题进行解决.本题综合性较强，既有多元变量需要处理，约束条件也有非线性的情况出现，对学生转化与化归思想运用的要求相当高.

线性规划的本质是代数问题几何化，利用图像解决二元变量取值范围问题，其核心思想是数形结合.在高考题中多与函数、不等式、平面向量等知识结合，以考查学生的综合运用能力.只要我们认清其本质，不管其背景如何，与哪些数学知识综合，有没有明确给出约束条件，约束条件是否线性，变量是二元还是三元，熟练运用转化与化归思想，线性规划作为求解二元变量取值范围的基本手段之一，都是我们解决这类问题的利器.F