摘要：在高中阶段的学习中，数学既是重点，也是难点。与其他科目的题目相比，数学题目的抽象性更大，在解题中难度较大。在解析几何的学习方面，很多同学都不能从枯燥的题目描述中探寻出解题的正确思路，以至于解题较慢、正确率较低。数形结合策略是一种高中数学的解题技巧，在解题中对其进行有效的运用，必能提升解题效率。

关键词：高中数学 解题技巧 数形结合

长期以来，高中数学都是家长、教师以及学生关注的学科之一，而高中也是学生学习的重要阶段。高中数学中的知识点十分复杂，在学习中难免会遇到难以理解的现象，尤其是解析几何内容十分抽象，理解起来难度大，在做题中突破点很难在第一时间找到[1]。这就需要我们掌握一定的解题技巧，其中数形结合策略是处理解析几何题目的重要方式，它能够降低解题难度，提高解题准确性。

一、数形结合解题理论

（一）数形结合解题方法释义

一方面，解析几何属于数学几何学中一个小分支，是通过代数方式对几何对象的性质、关系进行研究，所以也有人将解析几何称作为坐标几何。解析几何包括了平面几何与立体几何两个部分，平面几何属于二维空间解析几何；立体解析几何则属于三维空间解析几何，其相对来说比平面解析几何更加复杂，抽象性也更强。

另一方面，数形结合指的是对已知条件中的数、形逐个对应，然后通过直观明了的几何图形、已知条件关系图等，将抽象、繁杂、枯燥的数学语言通过图形描述出来，同时把图形的形象性思维与抽象的题目进行结合，利用数字解析图形，利用图形帮助数字解析，實现将复杂问题转变为浅显易懂的问题，将抽象的问题具体处理，达到解题途径优化的效果。

（二）数形结合解题思路

我们在遇到解析几何题目时，审题后必须找出题目中蕴含的条件，同时对条件和问题之间的对应关系进行详细探查，将数形逐一的对应，并找出解题的思路。在实际解题过程中，如果能够对数形结合方式进行熟练掌握，做到举一反三，则在遇到解析几何题目时就能够顺理成章的解决。

当然，为了熟练掌握这一思路，必须弄清以下几个方面的内容：第一，明确函数及图像之间的关系；第二，利用三角函数、复数等条件建立起相关几何图像；第三，分析题目中的代数方程式、等式等表述出来的对应关系；第四，理清实数和数轴中的点的对应关系；第五，理清曲线和方程之间的关系。

二、在高中数学几何题解析中数形结合运用分析

（一）对几何中圆类问题的解析

圆类问题在高中数学解析几何中所占比例较大，也是解析几何类题目中难度较大的一种，引入数形结合的方式，能够帮助我们将圆类问题迅速解答。通常情况下，几何圆类问题包含了圆和直线之间的关系、圆和圆之间的位置关系，当然还包括了圆的标准方程[2]。对于这几类题目进行解答，一般是通过建立直角坐标系，将题目中的相关数量关系在坐标图中表述出来，能够直观的看到图形位置关系，以便于迅速的找出解题思路。

我们在具体解题中，必须根据题目中给出的数学语言，这些数学语言包括数学符号、公式、概念、等式等，详细分析这些数学语言，并将其有效的转化成几何图像，同时将已知的条件在图像中进行标注，这就更加直观的看到条件与条件之间、条件与问题之间的关系，以图像的特征探寻未知的数量关系，实现解答数学题目的目的。这种方式不仅能够有效的提升解题效率，正确性也能够大大提升[3]。当然，我们必须将详细、确切的解题步骤书写出来，方能够得分，为了保证能够顺利解答，则必须掌握以数解形，还需要用数学语言、数学符号将图形图像中的数量关系表达出来，同时用几何图形加以分析。

例如，已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r>0）关于直线x+y+2=0对称。过点P作两条直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由。

解：由于圆C过点P（1，1），且与圆心为M（-2，-2）关于直线x+y+2=0对称.故C（0，0）（M关于直线的对称点）。同时，建立直线坐标，过P作PQ垂直于x轴，交圆于（1，-1），设pc与圆交与R（-1，-1），则弧RQ=弧QP。又由题倾斜角互补，所以角APQ=角BPQ，故弧AQ=弧BQ，由以上两个等式相减得到弧RA=弧PB，即对应的圆周角RPA=PAB，即两直线平行。

再如，在圆的方程求解过程中。已知圆C过点P（1，1），且与圆M（x+2）2+（y+2）2=r2 （r>0）关于直线x+y+2=0对称，求圆c的方程。

分析：该题也可以用数形结合的方式求解，充分利用图像的对称性。

解：P点关于x+y+2=0的对称点为：（-1，-3），由题意可知这个点在圆M上，代入方程求出r2=1+1=2，也就是说圆C的半径r2=2，M点（-2，-2）关于x+y+2=0的对称点为原点，也是C点

所以圆C的方程为：x2+y2=2。

（二）在高中数学几何不等式问题中运用数形结合策略

几何不等式问题属于我们在数学学习中的常见题型，为了能有效的化解问题中的不等式，我们通常将不等式问题进行相关的化解，将其转化为曲线方程，之后通过直角坐标系，将曲线方程在直角坐标系中描绘出来，对图像进行详细的观察，并对图形中的相关交集进行计算，得出不等式解集。对几何不等式问题的解答，我们必须学会怎样进行不等式简化，而实现简化不等式，需要认真利用不等式化简公式，避免在化简过程中发生错误，之后就可以得到曲线方程，以便于在直角坐标系中画出正确的曲线图像，最终得到答案[4]。

此类问题往往会在求解过程中遇到困难，如何学习正确的掌握属性转化思想，不仅需要依靠老师在课程中的讲授，更需要从众多的练习题中，提炼出在问题中的相关条件，同时将已知条件用图形的形式表达出来，简化解答几何题目的难度，在做题中更加得心应手。

例如：设二次函数f（x）=（m+1） x2-mx+m-1，若不等式f（x）小于0，解集为空，求实数m的取值范围。

若不等式f（x）小于0，解集为空

则f（x）≥0恒成立，得：（m+1）x2-mx+m-1≥0 恒成立

即：f（x）的最小值≥0，也就是该函数图象都在x轴的上方，且函数的开口向上。根据图形的特点，就能够得出以下不等式：

三、结语

通过上述分析可知，数形结合是一种有效的数学思想，在高中数学解题中时常用到。作为一名高中生，如何把握运用数形结合思想的时机，怎样才能真正的用好这一思想方法，这些都是必须要思考的问题。具体来说，必须要勤加练习，同时详细的思考，分析问题，正确的看待数学问题，把握使用各种数学思想的时机，才能方得始终。

参考文献：

[1]吕思祥.高中数学解题技巧之数形结合策略[J].数学大世界旬刊，2016，（08）：57-59.

[2]郭佳慧.数形结合在高中数学解题中的应用策略分析[J].赢未来，2016，（02）：99-102.

[3]李庆荣.高中数学几何解题技巧之数形结合策略的分析[J].速度旬刊.2016，（01）：302-303.

[4]王东江.高中数学教学中数形结合的技巧性与训练策略[J].数理化解题研究.2017，（08）：61-63.

（作者简介：王一冉，石家庄市第二中学，高中学历，研究方向，数学方向。）