王艳兰，梁忠民，蒋晓蕾，王 军，李彬权

(河海大学水文水资源学院，江苏南京210098)

0 引 言

洪水预报是防汛调度的重要决策依据。但洪水预报过程中存在着众多不确定性因素，导致洪水预报结果的不确定性[1- 2]。为此，提供洪水概率预报，不仅可以估计发生超过某一量级洪水的概率、提供置信区间以评估洪水预报的可靠度；而且还可以类似于确定性模型的定值预报，提供分位数预报(如均值或中位数)，为防洪调度提供更丰富的预报信息，以提高洪水预报能力。

在水文不确定性分析及洪水概率预报中，贝叶斯理论得到较多研究与应用[3-5]。美国学者Krzysztofowicz等[4]提出的贝叶斯预报系统(Bayesian Forecasting System，BFS)，在确定性预报的基础上耦合贝叶斯方法实现概率预报。其中，水文不确定性处理器[5](Hydrologic Uncertainty Processor，HUP)是BFS的重要组成部分。它对实测及预报流量过程经过亚高斯正态分位数转化后的系列进行了线性-正态假设，进而推求出预报量后验分布的解析表达。王善序[6]系统地介绍了BFS方法体系，认为其能综合考虑各种随机因素对水文预报的影响，能与任意的水文模型进行耦合；同时，也指出该法只适用于线性-正态假设条件。张宇等[7]在新安江模型预报结果的基础上，采用HUP实现概率预报，并认为不同量级洪水概率预报后验分布的Cv不同，Cv一般随流量增大而减小，因此有利于洪峰的概率预报。邢贞相等[8]采用BP神经网络构建先验分布和似然函数，能较好地模拟水文过程的非线性特征，并用MCMC方法求解得到概率预报结果。此法虽可以描述水文过程的非线性特征，但仍需进行正态假定。为此，刘章君等[9]构建了Copula-BFS模型，利用Copula函数描述流量先验分布及似然函数并推导了解析表达式，通过数值方法求解后验分布，不需要进行线性-正态假设。近年来，一些研究表明，不同流量量级的预报不确定性存在差异，Todini等[10]提出了模型条件处理器(Model Conditional Processor，MCP)，采用截断正态联合分布(Truncated Normal Joint Distributions，TNDs)[11]表征不同流量量级时预报值与实测值的关系，其本质亦是一种贝叶斯方法。

本文以嘉陵江(射洪—小河坝断面)为研究区域，采用MCP方法进行概率预报研究。选择新安江模型作为确定性模型以提供初始预报结果，根据实测及初始预报数据，估计不同量级预报变量的条件概率分布，实现概率预报。

1 方法原理

MCP是基于洪水测量信息与确定性模型预报信息的联合概率分布，通过非参数变换技术，将预测不确定性投影至正态空间中，在Bayes理论框架下，可以推求预报量的条件概率分布函数。同时，通过点绘初始预报值与实测值的分位数关系图，发现高流量的离散程度较低流量更低，点据更集中，为此采用截断正态分布(TNDs)的方法来描述不同量级洪水预报误差的差异，最终推求得不同量级预报水位或流量的条件概率分布，并将其求得的分位数反变换到原始空间以实现洪水概率预报。

1.1 MCP原理

(1)

(2)

(3)

其均值和方差为

(4)

在正态空间里估计得到预报量的条件概率密度函数后，再通过逆变换得到其任一分位数在原始空间中对应的变量值。即，预报流量值。

1.2 分段联合正态分布

在MCP方法[10]中，引入截断正态分布(TNDs)以处理预报误差的异方差性问题，在正态空间通过点绘实测系列和初始预报系列转换值的关系图可知，高流量和低流量的离散程度是不同的，且存在较为明显的分界点；因此可分段考虑。即，假设在正态空间的联合分布不是唯一的，可以将联合分布分为两个(或多个)TNDs。

(5)

(6)

式中，m和s是非截断分布的均值和标准差。

(7)

(8)

(9)

均值和方差为

(10)

根据上述推求的条件概率密度函数及其分布特征，即可实现洪水的概率预报。

表1 新安江模型确定性预报精度统计

2 应用实例

射洪-小河坝区间流域位于嘉陵江支流的涪江流域，小河坝是其出口控制站。该区间流域面积5 846 km2，河道长185 km，流域如图1所示。本文首先采用新安江模型得到小河坝站的确定性洪水预报结果，再采用MCP方法推求以该确定性预报为条件的预报量的概率分布，实现小河坝站的洪水概率预报。

图1 射洪—小河坝区间流域示意

2.1 基于新安江模型的确定性预报

新安江模型[12]是一个分散式的概念性水文模型，已广泛应用于我国湿润和半湿润地区的洪水预报。本次选用1980年～2003年的降雨、蒸发和流量资料进行模型的率定与验证，其中使用最近的6年资料进行了日模型的率定，选取了较大的8场洪水进行次洪模型率定，采用2001年和2003年的2场洪水进行模型验证。计算步长Δt=6 h，洪水预报精度统计结果见表1。

从表1可知，洪峰和洪量误差均在20%以内，率定期和验证期的确定性系数均大于0.8，表明新安江模型具有较高的预报精度。

2.2 MCP方法应用

表2 y和的对数威布尔分布参数估计值

图经验点分布与相应的对数威布尔分布

率定与检验洪号置信度90%的预报区间覆盖率CR/%离散度DI实测洪峰/m3·s-1Q50洪峰预报/m3·s-1Q50洪峰误差/%Q50确定性系数率定19800625[5390，9500]80770655650613986609819820705[5270，9270]76620565530599584009819850904[6290，11200]963006776007176-55809919870716[7060，12600]97960557740806441809919950809[8570，15400]7931065103009808-47709319970813[6330，11200]794905074807225-34109919980817[13600，25000]60000461880015651-167509519990814[3350，5750]905706446903790-1918083验证20010816[7150，12800]648605682708168-12309520030827[6960，12400]876706277007954330095

2.3 结果分析

将前述10场洪水的新安江模型预报结果与实测值作为MCP模型的输入，实现洪水概率预报，并采用熊立华等[15]提出的区间覆盖率与离散度两个指标对预报的可靠度进行评估(区间覆盖率越大、离散度越小说明模型预报的可靠度越高，即不确定性越小)。从表4可以看出，MCP提供的置信度90%的预报区间，平均覆盖率达80%以上，离散度平均低于0.6；如果以概率分布的中位数作为定值预报结果，其精度整体高于新安江模型。图5和图6为其中两场洪水(19850904、20030827)新安江模型、MCP模型预报结果与实测流量的对比图，其中，MCP的结果是以50%分位数和90%置信区间表示。

表3 正态空间中分位数回归方程结果

图3 η和 的散点

图4 η和 的分位数回归关系

MCP通过预报流量的条件概率密度函数，所以可以提供具有一定置信度的区间预报，对确定性预报结果的可靠度进行评估；同时，也可以采用分布的某一分位数(如中位数)作为定值预报结果，丰富了洪水预报信息。本例中，采用中位数作定值预报，与初始的新安江模型预报结果相比，其确定性系数、洪峰误差都整体有所提高。究其原因，是由于MCP模型考虑了不同量级洪水预报误差的差异，将其分段处理；而且，预报量的条件概率密度函数是利用贝叶斯理论推导得到，后验分布所具有的信息耦合功能，一定程度上对预报产生了修正效果，从而提高了洪水预报精度。

图5 19850904号次洪均值预报及90%置信区间预报

图6 20030827号次洪均值预报及90%置信区间预报

3 结 语

(1)不同量级洪水，其预报误差分布规律不同。MCP模型现将预报误差按流量大小分级，再采用截断正态分布估计各量级下的误差分布函数，最终推求以确定性预报为条件的预报量的概率密度函数，从而实现洪水的概率预报。

(2)MCP模型提供的概率预报具有较好的预报效果，即较大的区间覆盖度和较小的预报离散度。以MCP模型提供的中位数预报作为定值预报，与新安江模型的预报相比，其预报精度整体上有进一步的提升。

(3)MCP模型对确定性预报模型不需附加任何限定，即可与任意的确定性模型相耦合以实现洪水概率预报。但为公式推导方便，对流量系列进行了正态分位数变换和反变换处理，一定程度上可能引入估计误差，有待进一步研究。

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