杨前华

（南京信息职业技术学院 通信学院，江苏 南京 210023）

0 引 言

随着无线通信应用的增多，人们对无线通信的需求不断提高。移动通信与互联网融合使人们希望在任何地点都有无缝﹑高速的网络接入。目前，4G网络速率已经达到了100 Mb/s，能支持实时视频通讯及多媒体业务，而MIMO多天线阵列是在有限的频带中实现最大的传输容量及速率的关键技术之一，但针对MIMO容量域的研究一直缺乏有效的理论分析方法。文献[1-2]首先研究了单用户高斯MIMO信道的容量，文献[2-3]研究了MIMO多接入信道（MAC）的容量域。虽然已证明，脏纸编码（DPC）是获取BC信道容量域的有效方法[4-6]，但直接计算BC信道的DPC容量域非常困难，原因在于DPC技术应用需要一个苛刻的前提——发送端具有完全非因果的关于信道的加性干扰（包括其他用户干扰）信息，则信道容量等于没有加性干扰的信道容量，或等效接收端获知干扰的信道容量（接收端具有可合作性）。

本文通过研究基础信息论，分析MIMO系统的容量域，建立了高斯广播信道与多接入信道的二元性，并使用DPC编码来确定MIMO广播信道速率域，以期为研究MIMO系统的最大容量提供理论支持。

1 广播信道与多址信道容量域

信道容量的概念最早由克劳德·香农在1948年的论文“数学通讯理论”中提出。信道容量被定义为在任意小的错误概率下可达到的最大通信速率。

1.1 离散无记忆信道

通信系统通常有一个信息的发送端与多个接收端。为了简化，本文用两个接收端来建立系统模型。两个用户的离散无记忆信道由有限集合(x, y, z)组成，每一个在Y×Z上的概率分布记为p( y, z|x)。

目前，许多广播信道容量域是未知的。但是，某些特殊类别的广播信道已经通过研究得到其容量域，其中退化广播信道是已知容量域的信道之一。退化广播信道的定义为：如果存在一个信道概率函数p(z|y)，使得p(z|x)=∑y∈Yp(y|x)p(z|y)，则该广播信道称为退化广播信道。

退化广播信道的容量域首先由Gallager发现。它等于满足式（1）﹑式（2）的所有(R1,R2)封闭集合的凸包。

多址接入信道由多个发送端与一个接收端组成。假设信道的两个发送端为(x1, x2)，接收端为y，其概率分布函数为p(y|x1, x2)。在文献[6-9]中，该多址接入信道的容量域等于满足式（3）﹑式（4）和式（5）中所有(R1, R2)封闭集合的凸包。

1.2 高斯信道

下面将通信系统仿真中典型的高斯信道作为模型，对高斯广播信道与高斯多址接入信道的容量域进行研究。

1.2.1 AWGN广播信道

假设在AWGN广播信道中，发送端同时发送复合信号x[i]到k个不同的接收端，其中i代表时间节点。每个接收端接收信号的信道响应为h，噪声为n[i]。设H=(h1,h2,…hk)，且信道响应H在所有时间都保持不变。理论上，接收端在广播信道中接收到的信号可以表示为如果发送端的平均功率为P，文献[10]中，Bergmans证明上述条件下的信道容量域CBC(h,P—)满足：

文献[11]中，该容量域可以通过DPC（Dirty-Paper Coding）编码方式达到。该编码方式采用发送端进行“预编码”的方式，针对某个接收端预先“减去”其他接收端信息后再进行编码，以减少信息间的干扰，达到系统的最大容量。

1.2.2 AWGN多址接入信道

与AWGN广播信道相反，AWGN多址接入信道的发送端同时发送信号Xi到接收端，其中j代表第j个接收端。每个发送端的信道响应为h，噪声为n[i]。设H=(h1,h2,…hk)且信道响应H在所有时间都保持不变。理论上，接收端在广播信道中接收到的信号可以表示为：

设每个发送端的平均功率为P，文献[7]中，上述条件下的AWGN多址接入信道容量域CMAC(h,P—)为：

1.2.3 衰落广播信道

在衰落广播信道中，信道响应hj[i]随时间的变化而改变。它的系统模型可以表示成：

它与上述AWGN广播信道的唯一区别，是衰落信道的响应hj[i]是时变的。假设发送端与接收端都有明确的CSI（Channel State Information），即每个接收端都能知道当前衰落的信道响应h[i]。

为了遍历该信道的容量，设功率策略PBC为发送端根据信道响应h映射的发送功率PjB(h)的策略。设FBC为满足所有功率策略的集合，即：

由文献[8]的定理1可知，上述信道的遍历功率域为：

其中CBC(H,PBC)为使用功率策略PBC时的容量域：

1.2.4 衰落多址接入信道

在衰落多址接入信道中，信道响应hj[i]随时间的变化而改变。它的系统模型可以表示为：

与上述衰落广播信道类似，设功率策略PMAC为发送端根据信道响应h映射的发送功率PjM(h)的策略。设FMAC为满足所有功率策略的集合，即：

由文献[8]中定理2.1可知，多址接入信道的遍历功率域为：

其中CMAC(H,PMAC)为使用功率策略PMAC时的容量域：

1.2.5 MIMO广播信道

MIMO广播信道的发送端与接收端都有多个天线单元。假设MIMO广播信道的发送端有M个发送天线，k个接收端分别有r1r2…rk个接收天线，如图1所示。

图1 MIMO广播信道模型

设X∈CM×1为发送端发送的信号集，Hk(i, j)为从发送端第j个天线到第k个接收端的第i个天线的信道响应；第k个接收端的高斯噪声为HX。设nk∈Crk×1﹑yk∈Crk×1为第k个接收端接收到的信号，则接收信号可以表示为：

与AWGN广播信道不同，MIMO广播信道不是一个标准的退化广播信道。所以，MIMO广播信道的容量域依然是未知的。

MIMO广播信道在限定条件下能达到的容量域最初在文献[9]中发现。文献[11]中通过使用DPC编码，将该区域扩展到更多的接收端与更多的天线上，并可应用到MIMO发送端的预编码规则上。

如果发送端首先为接收端1选择编码码字1，然后在已知码字1的基础上为接收端2选择编码码字2。当接收端2解码时，将不会有编码码字1所带来的干扰。在上述编码情况下，MIMO广播信道可实现的容量域为：

1.2.6 MIMO多址接入信道

MIMO多址接入信道的发送端与接收端同样都有多个天线单元。假设MIMO多址接入信道的第j个发送端有rj个发送天线，接收端分别有M个接收天线。如图2所示。

图2 MIMO多址接入信道模型

设Xk∈Crk×1为发送端k发送的信号，YMAC∈CM×1为接收到的信号，n∈CM×1为噪声。Hk∈CM×rk为第k个发送端到接收端的信道响应，则接收信号可以表示为：

其中矩阵H代表所有接收端的信道响应。

由文献[10-12]可得，MIMO多址接入信道的容量域CMAC(H1,…,Hk,P1,…,Pk)为：

2 广播信道与多址信道的二元性

研究广播信道与多址接入信道的联系具有许多重要意义。首先，建立这样的联系可为多用户的信息论提供理论依据。其次，研究能从信息论的角度提供新的研究思路与方向。基于本节研究的广播信道与多址接入信道的二元性，结合现有的MIMO多址接入信道的研究结果，能得出MIMO广播信道的和速率。而该信道和速率容量在以往的研究中从未被发现和证实。

下面在高斯广播信道与高斯多址接入信道的容量域推导结果的基础上，研究分析高斯广播信道与多址接入信道容量域的相互联系。

2.1 AWGN广播信道与多址接入信道

根据上述研究，多址接入信道的容量域等于该区域角点的凸包。所以，在总功率相同的情况下，每一个双多址接入信道容量域集合属于双广播 信道容量域，即：

由文献[11]中定理3.2得知，任意多址接入信道的速率域满足：

于是，在任意α＞0的情况下，可进一步推论出：

即恒定高斯多址接入信道的容量域等于所有信道定标下的双广播信道的交集。

2.2 衰落广播信道与多址接入信道

在广播信道与多址信道的二元性结论的基础上，下面将研究推广到平坦衰落广播信道与多址接入信道中。根据高斯信道模型，平坦衰落广播信道与多址接入信道可以分别表示为：

其中在广播信道与多址接入信道中的衰落h[i]是一样的。

不难发现，任何在多址接入信道容量域中的速度矢量都在双广播信道容量域中，即：

由文献[11]中定理3.2与式（30）可得出，在α＞0的情况下，有：

即衰落多址接入信道的遍历容量域等于所有信道定标下的双广播信道遍历容量域的交集。

2.3 MIMO广播信道与多址接入信道

根据第一节中的高斯信道模型，MIMO广播信道与多址接入信道可以分别表示成：

首先在多址接入信道中每个由连续解码所能达到的速度向量必定在双广播信道脏纸（dirty paper）域中。通过对脏纸域中凸包的计算，可以发现，对应于所有多址接入信道协方差矩阵的角点都在双MIMO广播信道的DP域中。通过文献[11]中描述的广播信道与多址接入信道的转换关系，可得：说明在限制功率为P的条件下MIMO广播信道的脏纸域等于在总限制功率为P的条件下MIMO多址接入信道的容量域。

3 MIMO广播信道的和速率

依据高斯广播信道与多接入信道的二元性结论，下面分析MIMO广播信道的和速率容量，并确定达到该和速率的编码方法。

3.1 MIMO广播信道系统模型

设MIMO广播信道的发送端由M个天线单元，k个接收端分别由r1,r2…,rk接收天线单元，则该MIMO广播信道可表示为：

设MIMO多址接入信道的k个发送端分别有r1,r2…,rk个天线单元，接收端分有M个接收天线单元，则该MIMO多址接入信道可表示为：

3.2 MIMO广播信道的和速率容量

通过文献[11]中4.2节中的证明，说明通过DPC编码可以达到MIMO广播信道的和速率容量。通过广播信道与多址接入信道的二元性可知，MIMO广播信道的和速率等于双MIMO多址接入信道的和速率容量。因此，MIMO广播信道和速率可以表示为：

4 仿真分析

假设系统中各用户位置独立随机分布。图3给出了不同信噪比条件下的MIMO广播信道和速率容量与双MIMO多址接入信道的和速率容量的对比结果。可以看出，两者的和容量都随着信噪比的增加成近乎线性增加，并基本吻合。图4给出了信噪比固定（10 dB）﹑不同MIMO天线配置（4×4﹑8×8两种条件）﹑不同用户数情况下的MIMO广播信道和速率与双MIMO多址接入信道的和速率容量的对比结果。结果表明，在同一MIMO天线配置﹑不同用户数条件下，两者获取的和容量都非常逼近。

图3 不同信噪比情况下的和容量对比

图4 不同天线配置情况下的和容量对比（SNR=10 dB）

5 结 语

本文首先研究了典型信道的容量，通过对典型信道容量的研究，发现广播信道与多址接入信道的二元性；通过MIMO多址接入信道的和速率容量域，计算MIMO广播信道的可达和速率容量域，并在此基础上使用DPC编码来获取MIMO广播信道容量域。仿真结果表明，同一MIMO天线配置﹑不同用户数条件下，两者获取的和容量近似。可见，该算法对MIMO广播信道容量域的研究提供了新思路与新方法。

[1] FOSCHINI G J,GANS M J.On Limits of Wireless Communications in a Fading Environment When Using Multiple Antennas[J].Wireless Personal Communicati on,1998,6(03):311-335.

[2] TELATAR E.Capacity of Multi-antenna Gaussian Channels[J].European Transaction on Telecommunication,1999,10(06):585-596.

[3] YU W,RH W,BOYDS.VC Water-filling fc Coassim ViC Tormultiple Access Channels[J].IEEE Trans. Inform.Theory,2004,50(01):145-152.

[4] CAIRE G,SHAM AI S.On the Achievable Throughput of a Multiantenna Gaussian Broadcast Channel[J].IEEE Trans Inform Theory,2003,49(07):1691-1706.

[5] VISHWANATH S,JINDAL N,GOLDSMITH A.Duality,Achievable Rates,and Sum-rate Capacity of MIMO Broadcast Channels[J].IEEE Trans Inform Theory,2003,49(10):2658-2668.

[6] Nihar J.Multi-User Communication Systems:Capacity,Duality,and Cooperation[Z].2004.

[7] Shannon C E.A Mathematical Theory of Communication[J].Bell System Technical Journal,1948(27):379-423,623-656.

[8] Gallager R.Capacity and Coding for Degraded Broadcast Channels[J].Problemy Peredachi Informatsii,1974(10):3-14.

[9] Liao H.Multiple Access Channels[D].Manoa Valley:University of Hawaii,1972.

[10] Bergmans P.A Simple Converse for Broadcast Channels with Additive White Gaussian Noise[J].IEEE Trans.Inform. Theory,1974(20):279-280.

[11] Yu W,Cioffi J.Trellis Precoding for the Broadcast Channel[C].In Proceedings of Global Commun.Conf.,2001:1344-1348.