李 娟( 山东理工大学 数学与统计学院，山东 淄博 255049)

在编码理论中，子域子码是一类重要的线性码.常见的子域子码有：Hamming 码，Goppa 码等. Delsarte[1]给出有限域上子域子码与迹码的关系. 然而, 对于一般线性码，子域子码与迹码的计算较复杂.Gao 等人[2]利用线性递归序列与循环码的关系，给出有限域上循环码的子域子码与迹码的生成多项式. 编码学家Hammons 等人[3]发现一些性能良好的非线性码可以看做四元环Z4上一些循环码的二元Gray象. 近几年，有限非链环上的纠错码理论的研究也吸引了编码学者的关注. Jitman 等人[4]给出有限非链环Fpk+uFpk+…+um-1Fpk上码长为ps的常循环码的结构. Yildiz 和Karadenniz[5]研究了环F2+uF2+vF2+uvF2上的线性码和循环码. 高健等人[6]中给出环Fp[v]/上线性码的Gray 映射及其应用. 本文给出有限非链环R=Fq[v]/上循环码的迹码与子环子码的生成元.

1 环Fq[v]/上的线性码

设R=Fq[v]/，其中q=pl，p是素数且正整数m-1整除p-1, 则

R={a0+a1v+…+am-1vm-1|ai∈Fq,i=0,1,…,m-1}.

另外，由于m-1|(p-1)，则多项式vm-v=(v-k0)(v-k1)…(v-km-1)，其中k0,k1,…,km-1∈Fq,k0=0.

R=e0R⊕e1R⊕…⊕em-1R=e0Fq⊕e1Fq⊕…⊕em-1Fq，

且

R≅Fq[v]/×Fq[v]/×…×Fq[v]/≅Fq×Fq×…×Fq.

因此，环R中任意元素r可唯一表示为

r=e0r0+e1r1+…+em-1rm-1.

其中ri∈Fq,i=0,1,…,m-1.

令R=Fp[v]/, 显然，R是R的一个子环.而且R是R的l次伽罗瓦扩张，等价于R=R[x]/，其中f(x)是有限域Fp上l次不可约多项式. 下面定义环R到其自身的Frobenius 映射：

因为q=pl，则|f|=l, 且={1,f,…,fl-1}是环R在R上的伽罗群，R的自同构群的一个子群. 因此，下面给出环R在R上的迹映射

易证，该映射是满射.

定义1设Rn={(c0,c1,…,cn-1)|ci∈R,0≤i≤n-1}，Rn上的任意一个非空子集C称为R上长度为n的码.特别地，如果C是Rn的R-子模，则称C是R上码长为n的线性码.

定义2对线性码C中任意一个码字(c0,c1,…,cn-1)，如果有(cn-1,c0,…,cn-2)仍是C中码字，则称C是R上码长为n的循环码.

设R[x]为R上以x为变量的多项式环，且码字(c0,c1,…,cn-1)的多项式表示为c0+c1x+…+cn-1xn-1，则Rn与商环 R[x]/在这种多项式表示的关系下是一个R-模同构，且R上码长为n的循环码可看成商环Rn的一个理想.

对任意的i=0,1,…,m-1，定义集合

则有:1)集合Ci是有限域Fq上码长为n的线性码.

2)线性码C可唯一表示为

C=e0C0+e1C1+…+em-1Cm-1.

3)设G是C的生成矩阵，则C作为Rn的Fq-子空间，矩阵G可表示为

其中G0,G1,…,Gm-1分别是C0,C1,…,Cm-1在有限域Fq上的生成矩阵.

引理1[6]线性码C=e0C0⊕e1C1⊕…⊕em-1Cm-1是环R上的循环码，当且仅当对任意的i=0,1,…,m-1，Ci是有限域Fq上的循环码.

由引理1，有以下结果：

2 环Fp[v]/上的迹码

令{α0,α1,…,αl-1}是Fpl在Fp上的一组基，则{α0,α1,…,αl-1}也是R在R上的一组基.定义映射

其中i=0,1,…,l-1,且cj∈Rn.显然hi是环R上的线性映射.

引理3令C是环R上码长为n的线性码，则对任意i=0,1,…,l-1,hi(C)=Tr(C).

故，hi(C)=Tr(C).

定理1令C是环R上码长为n的循环码，{s1,s2,…,sk}是循环码C的极小生成元集，则{hi(sj),0≤i≤l-1,1≤j≤k}生成迹码Tr(C).

其中ρtri∈R.于是，

从而，对任意的0≤i≤l-1，有下面等式成立

由引理3知该定理成立.

通过定理1，可得出环R上循环码的迹码.

则循环码C的迹码

Tr(C)=.

证明令C=. 其中deg(gi(x))=ti，0≤i≤m-1. 则循环码C的极小生成元集为

S1∪S2∪…∪Sm-1.

其中

令

显然,

其中0≤j≤l-1,0≤i≤m-1.

因此，由定理1, 可得出Tr(C)的生成元集为

下面令

则,

例1令R=F5+vF5+v2F5，其中v3=v.令f(x)=x2+4x+2是F5上的二次本原多项式，则R=R[x]/=F52+vF52+v2F52.令ω=x+是f(x)在F52中的一个根，设C=是环R上码长为24的循环码，且g(x)=(1-v2)(x3+x2+3x+3)+3(v2+v)(x+2)+3(v2-v)(x3+2x2+2x+1), 则由推论1，得

Tr(C)=<(1-v2)(x2+2)+3(v2+v)+3(v2-v)(x2+x+1)>.

3 子环子码

令C是环R上码长为n的线性码，C的子环子码用C|R表示，即C|R=C∩Rn. 若环R上码长为n的线性码C是循环码，易证其子环子码也是循环码. Martinez-Moro 等人[1]给出Delsarte Lemma, 即有限链环上线性码的迹码与子环子码的关系，下面给出有限非链环R上两者的联系.

类似于文献[1]，可以给出有限非链环上的Delsarte引理。证明过程类似于文献[1]中的证明过程.

引理4[Delsarte 引理]

令C是环R上码长为n的线性码, 则

(C|R)⊥=Tr(C⊥).

根据引理4，给出有限非链环R上，循环码的子环子码的生成元.

推论2令C是环R上码长为n的循环码，其中

C=.

令

证明由C=，得

由推论1，可得出

Tr(C⊥)=

em-1gcd(g0,m-1(x)*,g1,m-1(x)*,…,gl-1,m-1(x)*)>.

再由引理4，C|R=(Tr(C⊥))⊥, 从而

例2令R=F3+vF3+v2F3，其中v3=v.令f(x)=x2+2x+2是F3上的二次本原多项式，则R=R[x]/=F32+vF32+v2F32.令ω=x+是h(x)在F52中的一个根，设C=是环R上码长为8的循环码，且g(x)=(1-v2)(x3+x2+x+1)+2(v2+v)(x3+2x2+2)+2(v2-v)(x3+x+2), 则由推论1，得

Tr(C)=<(1-v2)(x2+1)+2(v2+v)(x2+x+2)+2(v2-v)(x2+2x+2)>.

由引理4得

[1]DELSARTE P. On subfield subcodes of modified Reed-Solomon codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1975, 21(5):575-576.

[2]GAO Z H, FU F W. Linear recurring sequences and subfield subcodes of cyclic codes[J]. Science China Mathematics, 2013, 56(7):1 413-1 420.

[3]HAMMONS A R, KUMAR P V，CALDERBANK A R, et al. The-linearity of kerdock, preparata, goethals, and related codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1994, 40(2): 301-319.

[4]JITMANA S，UDOMKAVANICHB P. On the structure of constacyclic codes of lengthps overFpk+uFpk+…+um-1Fpk[J]. International Journal of Algebra, 2010, 4(11): 507-516.

[5]YILDIZ B, KARADENIZ S. Self-dual codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J]. Journal of the Franklin Institute,2010,347(10):1 888-1 894.

[6]高健, 王现方, 施敏加, 等. 环Fp[v]/上线性码的Gray映射及其应用[J]. 中国科学:数学, 2016, 46(9): 1 329-1 336.