【摘 要】当前的数学思想方法的教学现状不完全令人满意。针对现状，基于对“不等关系”教学示范课的研究，进一步指出有效的数学思想方法教学的相关特征：立足理解，挖掘思想；教学示范，范式引领；显隐结合，形式多样；情境迁移，经验提升。

【关键词】数学思想方法；数学理解；数学迁移；数学经验

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）51-0034-04

【作者简介】何睦，江苏省张家港市常青藤实验中学（江苏张家港，215600）教师，二级教师，江苏师范大学（江苏徐州，221116）数学与统计学院研究生。

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。数学离不开数学思想方法，数学的教学更离不开数学思想方法的教学。随着新一轮数学课程改革的不断推进，数学思想方法的教学已经成为数学课堂教学的一个重要环节。但相关研究表明[1]，当前的数学思想方法的教学还没有完全落到实处，数学思想方法的教学现状也不完全令人满意，具体表现为：教师对数学思想方法的认识不足；学生对数学思想方法的理解不透，获得的数学思想方法形式单一，对数学思想方法的学习仅仅是一种简单的模仿，等等。

怎样设计数学思想方法的教学，什么是有效的数学思想方法的教学理应成为一个亟待开展的课题。因此，有必要通过对数学课堂教学的考察，探讨在数学教学过程中应如何实施有效的数学思想方法的教学。一堂高效、有序的数学思想方法的教学实例能为我们从事有效的数学思想方法的教学指明方向。苏州中学樊亚东老师的“不等关系”就是这样的一节课。

一、课堂教学实录

在简单的自我介绍后，樊老师就开始组织“不等关系”的课堂教学了，他花了不到10分钟的时间和学生一起分析了教材上的3个实际问题。正当在场的所有听课教师为樊老师“捏把汗”时，谁也没有料到一堂成功、精彩、高效、有序的数学思想方法的课堂教学这才拉开序幕。以下仅展示后30分钟的教学片段。

【片段1】

樊：我们学习时，要养成一个好习惯：当我们接触一个新的数学内容时，请思考一下是否有我们已经学过的知识和它是有关联的。大家觉得我们即将要学习的“不等式”内容和我们之前学习的哪些内容能产生联系？

生1：一元一次方程。

生2：一元一次不等式。

生3：函数。

……

樊：同学们的回答提醒我们，我们之前已经学过了许多相关知识。我和大家交流一下我的看法，假如我来学不等式，我觉得发生关联最多的应该是等式的问题。刚才有同学说一元一次方程，这就是一个特殊的等式。还有同学说到一元一次不等式，这是提醒我们已经学过不等式。可以看出，等式和已经学过的不等式会和今天要学的不等式发生最密切的联系。下面，我们就顺着这个思路，先来回顾一下我们学过哪些相关的等式知识。

【片段2】

樊：观察两个式子1+1=2和x+2=3，它们一样吗？

生：虽然它们形式上都是等式，但是表达的意思不一样。

樊：两者不相同。这就是关于等式分类的问题了。1+1=2是绝对成立的等式，我们称为恒等式。而x+2=3，这个等式成立的条件是什么呢？

生：x=1。

樊：如果x=1就是等式，那么x=3就不是等式了。对于x+2=3这个等式，存在使它成立的条件，也有使它不成立的条件。因此我们常常要做的一件事就是解方程。即等式有两类：一类为恒成立的，一类为非恒成立的。在等式中，我们碰到过很多恒成立的式子，比如（a+b）2=a2+2ab+b2，我们往往做的工作就是证明它成立；我们还会碰到解等式的问题，如刚才的等式x+2=3何时成立。也就是说，研究等式，一般有两类工作要做：一是证明恒等式，二是解等式，即解方程。

樊：那么，类比一下，大家觉得这一章不等式我们会研究哪些内容？

生：我觉得不等式这一章研究的内容会和等式一样：证明恒成立的不等式和解不等式。

【片段3】

樊：在等式中，若a=b，则ac=bc，等式的两边同时乘以一个数以后，等式仍然成立。那么，类比等式的性质，对照起来能推出什么结论呢？

生：若a>b，则ac>bc成立。

樊：这个不等式一定成立吗？

生：不一定成立，若c>0，则ac>bc；若c<0，则ac

樊：这就告诉我们在进行类比迁移时需要注意的问题了，等式和不等式的成立各自需要一定的条件，我们从等式的性质引申出不等式的性质特别要注意这个问题。

【片段4】

樊：刚才大家提到，今天要学习的不等式不仅和等式有关，还和已经学过的不等式有关。在初中，我们学过了一元一次不等式，我们一起来回顾一下是如何研究一元一次不等式的，不妨以一元一次不等式x+1<0为例。我們先构造一次函数y=x+1，并作出它的图象。在图象y=x+1中，如果令y=0，就转化为一个一元一次方程x+1=0，解这个方程也就是找图象和x轴的交点（-1，0），这个交点为，其中-1叫作方程的一个解。如果令y<0，就变成了一元一次不等式x+1<0，我们已经知道了方程和相应的函数之间的联系，那么，怎样从图象上来分析研究x+1<0呢？

生：x+1<0就是y<0。

樊：体现在图象上是怎样呢？

生：x<-1，图象位于x轴下方的部分。

樊：y<0在图象上有好多个点，这些点对应的x就是使得这个不等式成立的x。把所有的解集中起来，就得到了不等式的解集。这就是利用函数图象研究一元一次不等式求解集的方法，我们在此基础上进一步研究不等式。

樊：如果我们碰到的不等式是x2+2<3呢？能否类比初中所学的一元一次不等式的解法，来研究这个一元二次不等式呢？为方便起见，我们先将其变成x2-1<0，请大家思考如何研究这个不等式？

生：先构造二次函数y=x2-1，并作出它的图象，令y=0，得到x=-1和x=1，也即找出了函数图象上与x轴的交点：（-1，0）和（1，0）。解不等式x2-1<0，就是解y<0，从图象上容易发现，当所取的x的值在（-1，1）内时，对应的y值小于0，即（-1，1）就是不等式x2-1<0的解集。

【片段5】

樊：今天的课就上到这里，我给大家布置三个课后思考题。

（1）周长为1的正方形和圆，哪个图形的面积更大？

（2）解不等式sinx>。

（3）请同学们先作出函数z=1-（x+y）的图象，再用阴影表示不等式x+y≥1的解集。

二、分析与讨论

不难看出，樊老师组织了有效的数学思想方法的教学。教材中的三个问题情境仅是引入不等式这一章的一个小序曲，樊老师考虑到大部分学生已具备从现实情境中构建不等关系的能力，并未将此作为教学重点，而是在深刻理解教材的基础上，对教材上三个问题情境的教学内容进行了压缩，创造性地使用了教材，充分挖掘了“不等式”这一章所蕴含的数学思想方法。

1.实施有效数学思想方法教学的前提：立足理解，挖掘思想。

樊老师在片段1中通过提示语“我们即将要研究的不等式和之前学过的哪些内容能产生联系？”逐渐地唤醒学生关于本章新知的已有认知：“等式”和“已经研究过的不等式”。樊老师以学生的已有认知作为本节课新知的重要生长点，由此慢慢地拉开了本章的序幕。不难看出，片段1的教学意图是引导学生将“等式”和“不等式”、“函数”和“不等式”联系起来，为在后续的三个教学片段中使用类比的数学思想方法研究不等式的内容和性质以及利用数形结合的思想研究不等式的解集做好铺垫。

通过对片段1的教学分析不难发现，樊老师在理解数学、理解教学和理解学生[2]的基础上，充分挖掘了“不等式”一章在研究过程中常用的数学思想方法：类比和数形结合思想。并在后续三个片段中不断强化它们。在片段2的教学中，樊老师通过两个简单的等式1+1=2和x+2=3，引出等式要研究的两个问题：证明恒成立的等式和解方程。类比等式的研究内容，得出不等式的研究内容：证明恒成立的不等式和解不等式。由等式类比不等式，自然地得出不等式章节的研究内容；在片段3的教学中，类比等式的性质，得出不等式的相关性质，并提醒学生在类比过程中可能会遇到的异化情况；在片段4的教学中，类比一元一次不等式的解决方法，得出一元二次不等式的解决方法，在类比过程中，多次渗透数形结合的思想方法。

章建跃博士的“三个理解”是从事一切数学教学活动的基础，理应成为实施有效数学思想方法教学的前提。理解学生：学生在此以前学过哪些与本章（节）有联系的知识？学生积累过哪些与本章（节）有联系的数学思想方法和与之相应的数学基本活动经验？理解教学：教学中应渗透哪些数学思想方法？如何渗透？理解数学：本章（节）的数学本质是什么？从数学角度来看，本章（节）理应渗透怎样的数学思想方法？只有立足三个理解，才能充分挖掘本章（节）的数学思想方法，才可能实施有效的数学思想方法的教学。

2.实施有效数学思想方法教学的过程：教学示范，范式引领。

“让学生在课堂上像数学家那样发现定理，这当然是好的学习方式。但是这种课不能上得太多，因为费时间。”[3]学生的学习时间是有限的，所以，从实际出发，方法上的“模仿”仍将是数学学科学习的一种主要方式。著名数学教育家弗莱登塔尔在《数学教育再探》中提出“行动的范例”的概念。他指出，一种行动以作为另一种行动的范例，它可能会引起类似的行动。[4]

樊老师在进行数学思想方法教学时，多次进行教学示范，他示范了等式要研究的两类问题，由此引导学生类比不等式的研究内容；他示范了等式具有的性质，由此引导学生类比不等式具有的性质；他示范了利用数形结合的思想方法研究一元一次不等式的解的全过程，由此引导学生类比一元二次不等式的图形解法。学生通过一个个类比和数形结合思想方法如何具体应用的例子，自主建构对数学思想方法的理解，对应用数学思想方法解决问题的理解，不断地积累运用思想方法解决问题的基本活动经验。这些教学示范，起到了范式引领的作用，无疑促成了数学思想方法教学的有序和高效。

3.实施有效数学思想方法教学的形式：显隐结合，形式多样。

郑毓信教授认为，数学思想方法有两种意义。“第一种意义的一个重要特征是其从属于具体的数学知识。第二种意义则是指与具体数学知识内容相分离，并具有更大的普遍意义的思维模式或原则。第二种意义上的数学思想具有更强的方法论意义。”[5]郑毓信教授提出的两种意义下的数学思想方法，即从属于具体数学知识的数学思想方法以及与具体数学知识内容相分离的数学思想方法。相应地，我们也可以将数学思想方法的教学分为两种，即数学思想方法隐性教学和数学思想方法显性教学。数学思想方法隐性教学，必须借助具体数学知识的教学得以实现，也就是说，其教学伴随着具体数学知识的教学。高中数学教学中大多数数学思想方法的教学属于隐性教学；数学课堂教学不仅要有数学知识的教学，同时也要有方法的直接教學，为了与数学思想方法的隐性教学对应，这里把直接教学认为是显性教学。依据郑毓信教授对数学思想方法的分类，我们知道，第二种意义下的数学思想方法一定程度上与具体数学知识内容相分离，在数学课堂教学中可以进行直接教学，此种意义下的数学思想方法教学，我们称之为数学思想方法显性教学。[1]

在高中数学教学中，显性数学思想方法的教学相对较少，这就造成了学生习得数学思想方法的形式单一。樊老师的“不等关系”的教学是显性数学思想方法教学的一个示范，类比和数形结合都是重要的数学思想方法，是数学发现和数学创造的重要源泉。樊老师没有结合具体的数学知识来讲思想方法，而是直接将“类比”和“数形结合”方法作为教学内容来教。事实上，除此以外，在高中阶段可以考虑开设诸如“数学方法论”“数学思想方法选讲”等显性数学思想方法教学的拓展类课程，作为隐性数学思想方法的补充。只有将显性教学和隐性教学结合起来的多样化的数学思想方法教学方式，才能促进学生产生多样化的数学思想方法的学习行为，从而保障数学思想方法教学的有效实施。endprint

4.实施有效数学思想方法教学的结果：情境迁移，经验提升。

调查表明，学生对数学思想方法的理解不透，学生对数学思想方法的学习仅仅是一种简单的模仿。“教师应解释并示范解决各类数学题的推理过程，然后鼓励学生自己推理。”[6]同样地，教师应解释并示范各种数学思想方法应用的实例，然后鼓励学生运用数学思想方法尝试解决一些新的问题。

在片段1的后续内容展开过程中，樊老师连续多次反复强调类比法，在片段4中，樊老师用了整整10分钟时间，先让学生回忆一元一次不等式的图形解法，不断引导学生将符号语言转化为图形语言，学生在学习中也多次经历语言的转化过程，因此在之后一元二次不等式的解法探索过程中，学生很容易地能运用图象解决问题。学生在学习过程中不断使用类比和数形结合的方法，使得数学思想方法能得到不断的巩固和深化。这不仅有效地帮助学生自主建构对数学思想以及运用数学思想方法解决问题的理解，还能帮助学生不断积累和提升运用数学思想方法解决问题的基本活动经验，使得学生完全有能力将习得的数学思想方法迁移至其他问题情境之中，研究和解决一系列新的问题。

教育意义下的“生长”，应该是一种优质的生长，是一种有效的生长。数学思想方法的教学也应该是一个有效“生长”的过程。每个个体都会从已有的实践活动和经验中寻求从事新的实践活动的重要启示和生长点，数学思想方法的学习也不例外。只有不断地给学生创造时机和丰富的、多样化的学习机会，引导学生从“做中学”，学生才能积累和提升应用数学思想方法解决问题的能力和活动经验，才能在新的問题情境中利用这些能力和经验进行正向的迁移和生长。

【参考文献】

[1]束艳.数学思想方法的教学现状研究[D].徐州：江苏师范大学，2013.

[2]章建跃.发挥数学内在力量，为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（02）.

[3]张奠宙.数学教育研究导引[M].南京：江苏教育出版社，1994.

[4]弗莱登塔尔.数学教育再探[M].刘意竹，杨刚，等，译.上海：上海教育出版社，1994.

[5]郑毓信.数学方法论入门[M].杭州：浙江教育出版社，2006.

[6]古德，布罗菲.透视课堂[M].陶志琼，王风，邓晓芳，等，译.北京：中国轻工业出版社，2002.endprint