赵瑞瑞,李秀丽

(青岛科技大学数理学院，山东 青岛 266061)

环Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循环码

赵瑞瑞,李秀丽*

(青岛科技大学数理学院，山东 青岛 266061)

本文研究了环Z2+uZ2+u2Z2上的2-D斜循环码，对二元斜多项式的性质和因式分解进行了讨论。同时研究了线性码是2-D斜循环码的充要条件、2-D斜循环码的性质及其构造方法 。

斜循环码；斜多项式；2-D斜循环码

1 预备知识

多项式环和理想通常被用来构造循环码。斜多项式环是非交换环，在代数码的构造上应用广泛。因为斜多项式环中的多项式不满足乘法交换律，因此斜多项式环中比多项式环中存在更多的理想。文献[1-2]中提出了利用斜多项式来构造循环码的一种推广形式——斜循环码，并且构造出了许多好码。近几年，编码领域的科学工作者以高斯环、Z2+uZ2+u2Z2、F4+vF4、Fp+vFp作为主要的研究对象，在斜循环码的构造方面，文献[1-6]做了很多卓有成效的工作。文献[3]中讨论了环Z2+uZ2+u2Z2上的斜循环码与多项式环理想的关系，并给出了斜循环码的生成多项式。文献[7]中介绍了在有限域上二维斜循环码的一些基本性质和构造方法，以及2-D斜循环码和斜循环码以及循环码之间的关系。

在本文中环R=Z2+uZ2+u2Z2={0,1,u,u2,1+u,1+u2,u+u2,1+u+u2}，其中u3=1。对任意的两个元素a=a0+ua1+u2a2,b=b0+ub1+u2b2∈R，定义加法规则如下：c=a+b=c0+uc1+u2c2，其中ci=ai+bi(mod 2),i=0,1,2。乘法定义为c=ab=c0+uc1+u2c2，其中c0=a0b0+a1b2+a2b1(mod 2)，c1=a0b1+a1b0+a2b2(mod 2)，c2=a0b2+a2b0+a1b1(mod 2)。

c=(c0,c1,…,cn-1)∈C⟹Τσ(c)=(σ(cn-1),σ(c0),…,σ(cn-2，))∈C,

映射Τσ称为σ-斜移位算子。如果σ是单位映射，那么C是R上的循环码。

设σ是R上的一个自同构映射，多项式集合R[x,σ]={∑aixi|ai∈R;i∈Z+}。在R[x,σ]上加法运算定义为普通多项式加法，乘法定义为axi·bxj=aσi(b)xi+j。由分配律和结合律可扩充为R[x,σ]上的任意元素之间的运算，因此R[x,σ]是一个环 。……