吕宗彦

【摘要】高等代数是数学问题基本的解题工具，在理工科学中都有涉及高等代数求解问题，并且高等代数问题一般都有一定的抽象性和严谨的逻辑性，所涉及的概念理论复杂.本文就高等代数问题的基本方法和思路做出以下阐述.

【关键词】高等代数；基本方法；思路

高等代数是理学专业重要的数学基础课程之一，是对中学代数知识的继续学习和进一步提高，因此，掌握好高等代数在构建数学知识体系有着重要的基础作用.但是，由于高等代数研究问题非常注重公理化和严密的逻辑推理，从而使得高等代数问题比较抽象，给学习高等代数的学生带来不少困难.本文就围绕高等代数的基本概念结合高等代数内容实例对研究问题的基本方法与思路做出详细的探究.

一、高等代数的基本概念

学好代数学的首要问题就是要掌握理解并且能够熟练应用高等代数的基本概念.而代数学的基本概念多而杂，代数中涉及的基本概念有以下几种内容：多项式；行列式；线性方程组；矩阵；二次型；线性空间及线性变换.

二、代数问题研究基本方法及思路

（一）根据定义进行研究

对研讨的高等代数问题应当先给出准确明了的定义，根据定义利用严谨的逻辑推理，逐步推理出代数问题的性质、定理以及推论，最后总结相似问题的具体研究方法建立研讨体系.

比如，在高等代数的线性方程组中，一开始就定义了线性方程组的一般形式和解的相关概念，并且给出了线性方程组的解法以及有解的充分必要条件，然后又深层次的探索了齐次线性方程组和非齐次线性方程组，并讲解其解法以及解的结构.这就说明了高等代数研究问题需要在严谨的定义下做出严密的推导，所以严格的逻辑推理是研究高等代数问题不可或缺的素养.

（二）公理化方法

公理化方法在高等代数概念问题中占有重要作用，高等代数中公理是在用严谨的逻辑推理方法从多项式、方程组、函数、向量、排列式、矩阵等具体的数学对象中，从它们各自的算法中找出共有的数学运算规律，并将这些运算规律作为公理从而定义空间向量，同时推导出空间向量具有的性质和定理.

显然，利用代数性质定理，对那些不能借助直观具体的数学模型，虽然代数抽象化，但是它凭借严谨的代数性质定理使得问题的研究更加简化并且富有逻辑性.

（三）结构化方法

在研究代数问题中，公理化方法往往不能反映代数系统中元素间的关系，不能了解代数学的总体状况，而此时就需要一種新的探讨代数问题的办法结构化方法，它是建立在代数系统公理之上，为了探究代数系统中元素之间的关系，代数系统与子系统在结构上的差异和联系而衍生出的代数问题研究方法.在高等代数中的向量空间，欧氏空间等都有用到结构化的解决办法.例如，在向量空间中利用了向量定理以及加法与数乘的运算规律和性质，推算出并确定了向量间的线性关系，从而研究了向量组、空间向量，并探究向量子空间间的运算关系，通过引入同构映射给出了空间向量的对比方法和维数的分类方法.在欧式空间中也可以通过引入同构映射比较欧式空间的方式.

（四）矩阵表示方法

矩阵表示方法是现代高等代数中应用广泛的数学方法，尤其在工程数学问题中，矩阵表示方法发挥了重要的数学工具角色.例如，对那些复杂的多元线性方程组，一般的常规表达不仅烦琐，解题也不方便，而利用矩阵的增广矩阵表示则简洁明了很多.

在空间向量中，给一个n维的向量定下一个基，那么这个空间向量就能够依据它的坐标用行矩阵或者列矩阵表达，并且矩阵表示法在空间向量的线性相关向量大都可以用矩阵表示，利用矩阵表示后，一些复杂的线性方程组问题便可以通过矩阵变换求解.从而，对于研究的一些复杂代数问题利用矩阵便简便快速求解.

三、总 结

通过对高等代数研究问题解决的基本方法和思路的总结，不仅可以加深对高等代数问题的理解认识，从而提高对代数问题的分析、解决能力，更能提高在代数研究问题中的逻辑思维能力，对于高等代数研究问题的深入探讨具有重要意义.

【参考文献】

[1]李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2016.

[2]王颖.高等代数教学中的研究性问题[J].西部素质教育，2016（8）：156.

[3]姚裕丰.高等代数中的几类数学思想方法[J].高师理科学刊，2016（5）：62-65.

[4]张芝溢，李欣超.关于高等代数中的数学分析方法分析[J].读书文摘，2015（6）：51-52.endprint