徐彩娥��

摘 要：体验、解释知识发生、发展的过程，合理有序构建认知体系是数学概念教学的核心任务。概念教学不仅让学生明白知识“是什么”，更重要的是“为什么”。因此函数的奇偶性的教学定位应紧扣“为什么研究函数的奇偶性”和“如何用数量关系刻画函数图像的对称性”教学主题，应着力凸显“为何、何为”的哲学考量，促进学生“知识与能力、过程与方法、情感态度和价值观”的有效达成。本文以函数的奇偶性的教学实践为例，谈谈概念教学中如何让学生主动参与概念的建构，与同行交流、分享。

关键词：感受到感悟；具体到抽象；概念理解

一、 从特殊到一般，从感受到感悟

高中学生的思维特点已经由经验型向理论型转化，不必每个概念的引入都需要生活背景，也可以从数学内部的例子引入。

教学片段1：

师：我们知道，函数的性质研究的是“变化中的不变性”。前面学习了函数的单调性，这个性质体现了函数的什么“不变性”？

生：函数值随自变量的增加而变化的趋势（规律）。

师：函数的性质是丰富多彩的。想一想，函数还会有哪些性质？

生：……

师：我们还知道，“性质”是指某一类事物的共同特征。大家观察一下，函数y=x2，y=x4，y=x6……有什么共同特点？

生：指数都是偶次的。

师：对，那么这类函数有什么其他共同特征呢？你想怎么研究？

生：画图，研究它们的图像特征。

师：请同学们利用图形计算器的“图形函数”功能在同一坐标系中作出y=x2，y=x4，y=x6图像。学生作出图像如图1所示。

师：请观察图像，你们会发现图像有何特征？

生1：图象均关于y轴对称。

生2：当纵坐标相同时，横坐标是相反数。

师：怎样用代数式表示“当纵坐标相同时，横坐标是相反数”？

学生茫然……

从特殊函数入手研究函数的性质，是高一研究函数性质重要的方法。学生可以通过一些特殊的函数研究去感受一类函数的性质。

二、 由感性到理性，由具体到抽象

数学概念念用文字语言描述学生听起来觉得容易，但一般用数学符号语言表示就会觉得比较难。

在片段1中，由于图形的直观形象和视觉的感受，学生认同刚才同学观点，没有其他意见。老师希望用符号语言表示“横坐标相反，纵坐标相等”，以便于揭示得出偶函数的代数特征。若直接告知，缺乏探究的味道。因此利用图像计算器直观感受横坐标相反时，纵坐标变化规律。

片段2：

师：请分别作出直线x=a和直线x=-a，标出直线与函数y=x2图像的交点，并拖动标签a变动，看看纵坐标有何规律？（图2）

师：请同学利用图形计算器的“表格函数”功能，图形计算器可很快列出上述函数具体函数的自变量及所对应的函数值（图3）。

师：列出上述函数相应的函数值对应表，观察它们有什么共同特征。

生：从表格中容易发现这组函数当自变量的取值互为相反数时，函数值相同。

師：如何用符号语言表示？

生：f（-x）=f（x）。

师：图中的x的取值有何要求？

生：无数个。

师：请问任意一个和无数个一样吗？（学生疑惑）

师：请同学继续用图形计算器作出函数y=x2，x∈[-2，4]，（图4），并判断函数关于y轴对称吗？

生：不对称。

师：满足图像关于y轴对称，定义域首先满足怎样的条件？

生：关于原点对称。

师：此图中有多少个点满足等式关系的？

生：无数个。

师：但是能不能用任意啊？

生：不能。

师：通过例子说明，对于任意定义域内的任意一个数x，都有f（x）=f（-x），那么我们称这个函数y=f（x）为偶函数。

师：请同学模仿偶函数的定义探究思路，探究函数的图像特征y=x和y=1x并揭示此类函数的代数特征，类比得出奇函数的定义……

数学概念的教学应该从表层到本质，把握概念深层结构的内涵；从具体到抽象，对抽象的概念要形象描述。在传统教学中，囿于技术手段，教师往往不能很好地展现概念形成的过程，利用图形计算器，我们可以使函数概念的教学更具体、形象、生动，有利于学生对概念本质的理解和掌握.

三、 挖掘内涵外延，深化概念理解

有些数学概念在字面上不难理解，但是在应用时往往难以掌握，这时需要挖掘概念的内涵和外延，以加深对学生对概念的理解。

片段3：

师：偶函数和奇函数定义中的关键词是哪些？

生：定义域关于原点对称，x是在定义域中任意的一个数，还要满足f（-x）=f（x）或f（-x）=f（x）。

师：请同学们根据偶函数和奇函数定义，请再举例，并进行小组交流。（学生进行小组交流）

生：我举了函数f（x）=x2+3|x|+4，并判定为偶函数。通过图形计算器画出函数的图像（图5），发现关于y轴对称，判定他是偶函数。

师：请问除了画图判定偶函数，还有其他方法吗？

图5

生：有，定义法。

师：怎么证？

学生板演：∵f（-x）=（-x）2+3|-x|+4=x2+3|x|+4=f（-x），

∴f（x）=x2+3|x|+4为偶函数。

师：不利用图形计算器如何画出函数f（x）=x2+3|x|+4的图像？

生：把f（x）=x2+3|x|+4写成分段函数f（x）=x2+3|x|+4=x2+3x+4x≥0x2-3x+4x<0，然后分别画出来？

师：有何不同画法？

生：只要将x≥0部分的图像画好，再根据偶函数的图像的特征，在y轴左边作出关于y轴对称的图形即可。

师：根据上例的研究，你对偶函数有了怎样的认识？

生：判断函数是否具有奇偶性，可以根据定义法和图像法来判断函数是否为偶函数。

生：看到偶函数，想到函数y=f（x）满足f（-x）=f（x）等式恒成立。

师：同学们用数形结合的思想来研究偶函数的特征，同时也说明偶函数的定义具有判断和性质的双重身份。即

f（-x）=f（x）判定性质f（x）为偶函数判断性质f（x）图像关于y轴对称。

师：若函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=x2+3x+4，求f（x）的解析式。

生1：f（x）=-x2+3x-4x<0x2+3x+4x>0

生2：当x=0时，f（0）=0。

师：为什么？

生：因为奇函数的图像关于原点对称，所以图像经过原点，所以f（0）=0。

师：很好，从图像的特征入手发现规律。能从代数的角度进行论证吗？

生：y=f（x）是定义在R上的奇函数，即f（-x）=-f（x），令x=0，得到f（-0）=-f（0），解得f（0）=0。

師：若函数y=f（x）是奇函数，那么函数f（0）=0吗？若是，请说明理由，若不是，请举一反例。

生：不一定，反例是y=1x。

师：若函数经过原点，此函数是否为奇函数？若不是，举一反例。

生：不一定，反例是y=x2。

概念通常比较抽象，学生感觉枯燥，学习起来索然无味，对抽象概念的理解就显困难。通过课堂的变式教学，不仅能有效地解决这一难题，从而加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解，它对发展学生能力、拓展学生思维有重要的作用。

四、 几点思考

1. 数学概念建构要注重概念的过程性教学。本节课从探究y=x2，y=x4，y=x6……图像感受奇偶函数的图像特征；利用图形计算器直观得刻画图像上点坐标关系揭示f（-x）=f（x）；从函数y=x2，x∈[-2，4]理解“任意”两字的含义；通过类比方法得出奇函数的定义；从例题的变式教学体会函数奇偶性的定义深刻理解及其应用。这样的教学过程，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味，反映了数学的理性思维与理性精神。

2. 信息技术辅助教学要选择合适时机。传统数学教学模式因教学媒介、教学手段单一，容易导致学生学习的主动性和创造性缺失。图形计算器引入课堂成为了丰富一线教学媒介、契合现代教学理念的一种有益尝试。如本节课在研究函数奇偶性的概念时借助图形计算器，通过直观感受函数的关于y轴和原点的对称性到到代数特征f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）恒等式，突破了直观感受到抽象思维的一个教学难点。利用图形计算器，我们可以使函数概念的教学更具体、形象、生动，有利于学生对概念本质的理解和掌握，有助于消除学生在求学过程中的畏难情绪，有助于发掘学生联系实际、主动发现问题的能力，更有助于激发学生学习数学的兴趣。当然在学会函数奇偶性定义后，要研究一个不熟悉的函数，除了利用图形计算器画出图形来判断，更要学会从代数的角度去认识函数的奇偶性。

参考文献：

[1]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报，2009，48（7）：19-24.

[2]文卫星.浅谈数学概念课教学[J].中学数学教学参考，2016，（21）：20-24.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社，2003.