王燕洲

摘 要：数学思想方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂，因此，学好数学的关键是正确运用数学思想方法。

关键词：渗透；揭示；提炼；总结

所谓数学思想方法，就是数学研究活动中解决问题的根本想法，是对数学规律的理性认识，也是在对数学知识和方法作进一步认识和概括的基础上形成的一般性观点。与数学概念相关的有集合与映射的思想，方程与函数的思想，参数的思想，极限的思想。

数学方法包括发现方法、逻辑方法、解题方法和审美方法。数学方法为数学问题的求解和数学知识的获取提供了可能。与数学方法相关的有转化与变换的思想，化归的思想，构造的思想，类比的思想。

在数学思想的指导下，为解决实践上和理论上提出的各类数学问题势必创造出各种不同的数学方法，数学方法的产生又丰富和发展了数学思想。如坐标法的产生丰富了数学的变换思想，而代数中的配方法，几何中的割补法都是数学化归思想的表现。

传统的数学教学历来只注重知识的传授，而忽视知识发生过程中数学思想方法的教学，这不利于素质教育。笔者认为，数学思想方法的教学和数学知识的传授是数学教学的两个组成部分，而数学思想方法的教学也许比知识更为重要。

如何在平时的教学过程中渗透数学思想方法，培养良好思维品质呢？笔者认为应从以下几个方面入手：

1 从数学思想上把握教材，改造教材

作为一名数学教师，必须对教材有一个从数学思想上的整体认识，这就要求数学教师在吃透教材的基础上去领会教材中隐含的数学思想，从而掌握教材的实质。

从中学数学的角度看，函数思想是最主要的思想，可用它串联代数、三角函数、解析几何以及微积分初步的大部分知识。方程可看成函数值为零的特例，不等式可看作两个函数值的比较，解几的曲线可视为函数的图形，微积分中的导数可作为研究函数性质的主要工具。其次是化归的思想：在基本运算中，减法化归成加法，除法用乘法转化，幂的运算归结为指数的运算，方程中，三元、二元都化归成一元，分式方程化归成整式方程，立体几何中的空间问题化归成平面问题。在中学数学中，比较重要的还有变换的思想，可以用它来统帅三角函数的内容。此外，对应的思想也很重要。如点与数的对应是中学数学里一种最基本也是最重要的对应，数形结合正是这种对应思想的具体体现。

为了将数学思想方法的教学放在中心位置，在当前的条件下，数学教师不但要从数学思想上把握教材，发掘教材中隐含的数学思想，而且还要善于改造教材。我在讲授二次根式时，将平方根和算术平方根的定义集中在一节课进行了教学，经测试，学生对两种定义和简单计算的异同点掌握得较好，既节省了时间，又加强了类比思想的教育。

2 把握渗透数学思想的契机

对于数学而言，知识的发生过程，实际上也是数学思想方法的发生过程。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法的渗透契机。如概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的被发现过程、思路的探索过程、规律的被揭示过程，等等，都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会。

在概念形成的教学过程中，与其教学生记住公式、定义、定理和法则，还不如更多地琢磨一下这些东西是怎么来的。如负数概念的教学，教材借助温度计给出描述性定义，学生对负数往往难以透彻理解。若设计一个提示概念与新问题间矛盾的实例，使学生感到“负数”产生的合理性和必要性，领悟其中数学符号化思想的价值，则无疑有益于激发学生探究概念的兴趣，激发学生思维的积极性，从而更深刻、全面的理解概念。我在演示温度计时提出这样一个问题：今年冬季某天南京白天的气温是零上12℃，夜晚的最低气温是零下5℃，问这一天的最高气温比最低气温高多少度。学生知道应该通过实施减法来求出问题的答案，但是，在具体列算式时遇到了困惑：是“10-5”吗？不对！是“零上10℃减零下5℃”吗？似乎对，但又无法进行计算。于是，一个关于“负数”及其表示的思考由此而展开。再通过现实生活中大量表示相反意义的量，抽象概括出相反意义的量可以用数学符号“+”与“-”来表示。

而结论的推导过程，有时就是某种数学思想的體现。例如在推求直棱柱和正棱柱的侧面积公式时，采用了平面展开图的方法，这是一次进行化归思想教学的好时机。

3 掌握渗透数学思想的手段

⑴在设计问题中要蕴含数学思想方法

现代教学观提倡把问题作为教学的出发点，设计问题一方面是为了引发学生的认知冲突，激起学生求知欲望，另一方面是通过问题的引导，让学生尝试探索新知识。因此，教师要善于设计蕴含数学思想方法的问题，以利于学生站在思想方法的高度掌握知识。

例如：讲绝对值的代数意义时，为了帮助学生克服学习中的难点，可设计这样的问题：

①表示一个有理数的点在数轴上的位置可能有几种？（在原点、在原点左边、在原点右边）。

②数轴上表示正数、负数和零的点，它们与原点的距离各是什么数？（正数、正数和零）

说明：问题①实质是在研究对象的可能情况，渗透了正确分类思想方法，以加深学生正确认识绝对值的三种情况。问题②是让学生体会“数量”和“图形”的相互依赖关系，理解绝对值的非负性特征，并初步感知研究有理数问题的重要方法——数形结合思想方法。

⑵在知识发生、形成过程中要揭示数学思想方法

由于教材中只对某些数学思想方法作了明确阐述，如消元法、换元法等，大量的较高层次的数学思想方法是蕴含在数学知识系统之中的。因此，教学要在知识的发生、形成过程中揭示由知识所反映出的数学思想方法，促进学生思维结构的形成。

例如：在推导同底数幂的除法法则时，可设计如下问题：

①具体数的计算：

22×23=22+3=25。那么

25÷23=？（思考片刻，学生答：22。我将？替换）引导学生观察这里的指数2与被除数、除数的指数5和3的关系，并用彩笔突出，即

25÷23=25-3=22。

②用不为零的字母a代替底数2，即

∵a2·a3=a5

∴a5÷a3=a2.即

a5÷a3=a5-3=a2

③当a≠0，m、n都是正整数，且m﹥n时，用字母m、n分别代替②中被除式幂和除式幂中的指数，即

am÷an=am-n，并用红笔板书。

到这里，不但推导出了同底数幂的除法法则，而且渗透了换元思想。

⑶在例题教学中要突出数学思想方法

例题教学是课堂教学中的中心环节，教师应抓住有利时机，通过例题教学突出和强化数学思想方法对解题的指导作用。

例如：解方程组

观察：左边出现的是整整齐齐（x-1）和（y-1），这个信息提醒我们可以把（x-1）和（y-1）看作一个整体，这一解题过程，既渗透了整体意识，又介绍了变量代换思想，也体现了化归的具体应用。这样给人以美的享受，使学生初步领略了化归最简的优点，从而培养了学生的化归意识。

⑷在解题训练中要运用数学思想方法

首先是教师在选编习题时，要明确习题对数学思想方法的要求，强化学生运用数学思想方法解题的意识。

例如讲完一次函数图象和性质后，选编习题时就应明确对数形结合的思想方法和待定系数法的要求。可进行如：①读图与识图训练：

如图l是直线y=kx+b，则当x 时，y﹥0；当x 时，y=0；当x 时，y﹤0，其中k的符号 b的符号。

②数形互译训练：

若ab=0，则点p（a，b）的位置是什么？

若点p（a，b）位于x轴上方，则a、b必须满足什么条件？

其次是加强数学思想方法训练的科学性。做到：“举一反三”与“举三反一”相结合，“多题一解”与“一题多解”相结合，“精练”与“泛练”相结合，并在结合中不断提炼思想，归纳方法，拓宽思路，提高运用数学思想方法解题的自觉性和主动性。

⑸引导学生自己提炼数学思想方法

柏拉图说，他从不把自己看作一个教师，而是一个帮助别人产生他们自己思想的“助产士”。学习有一条很重要的原则，就是不可代替原则，這就要求教师引导学生学会自己提炼数学思想。

例如解方程组

第二个方程中的y可用第一个方程中表示y的代数式2x来代替。

又如在八年级数学中应用平方差公式分解因式的思路分析中：

9m2-4n2=（3m）2-（2n）2=（3m+2n）（3m-2n）

a2-b2=（a+b）（a-b）

这种分析现象体现了换元思想。

通过例题教学与习题的训练，引导学生观察方程中可以换元的字母或代数式的特点，让学生归纳出适用换元法的解方程的方程类型。

⑹教会学生反思

著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”对于例题，我要求学生按照“做-比-问”的方法学习。“做”就是自己先审题、分析、试做，目的是训练和检查自己独立分析和解决问题的能力；“比”就是把自己的分析、做法同老师或书上的方法对比，找出优劣，发现问题；“问”就是提问题，总结经验：解法是怎么想出来的？关键是哪一步？自己为什么没想出来？能找到更好的解题途径吗？通过解这个题，我应该学什么？这种反思能较好的概括思维的本质，从而上升到数学思想上来。

⑺充分发挥小结的功能

揭示知识之间的内在联系是小结的功能之一。学生学完一章，应该从整体上对内容有清晰的认识，因此小结可以总结这一章所涉及的数学思想方法，从知识发展的过程来纵观数学思想方法的作用。另外小结中还可以增设“本章错解分析”，“典型例题选登”，以逐步提高学生的概括水平。

总而言之，数学思想是数学教学思想的内核，能活化为数学教学思想，体现数学教学规律的本质要求。没有数学思想的数学教学，是一碗“没有肉的淡汤”，没有先进的数学教学思想指导数学教学，数学思想就是一块“嚼不动的牛肉”。我们唯愿数学思想能在数学课堂中灵动的飞翔，象春天的细雨滋润学生的心灵！

参考文献

[1]数学课程标准：《新版课程标准解析与教学指导》，北京师范大学出版集团2011年版

[2]国人民大学主办. 《中学数学教与学》2009.7

[3]涂荣豹.试论反思性数学学习.数学教育学报，2010.4