文/邓革周

生活中的二次函数

文/邓革周

二次函数是初中数学的核心内容，它在生活中的应用非常广泛，涉及到桥梁建筑、市场经济、体育竞技等方面.请看下面的例子.

一、喷泉、桥梁

例1小明家附近的广场中央新修一个圆形喷水池（如图1），在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管.它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．

（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的解析式；

（2）求出水柱的最大高度是多少.

图1

图2

解：（1）如图2所示，以水管与地面交点为原点，以原点与水柱落地点所在直线为x轴、水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

由已知，可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+h，

评注：利用二次函数解决喷泉、桥梁和拱门等建筑设计类问题时，要把数据转化为抛物线上的点，从而确定解析式，利用二次函数的性质解题.

二、市场经济

例2某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设销售该商品每天的总利润为W（元），求W与x的函数表达式（利润=收入-成本）；

（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

解：（1）设y=kx+b，由已知得

∴y=-2x+200.

（2）由题意可得，W=（x-40）（-2x+200）=-2x2+280x-8000，

即W=-2x2+280x-8000.

（3）∵W=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，40≤x≤80，

当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，

∴当x=70时，总利润W取得最……