何秋霞

摘要：以向量为背景研究梯形的相关问题；从几何（勾股定理）、三角函数、向量分解、坐标的视角给出梯形面积的不同求法。

关键词：梯形面积；向量；基底；三角函数；坐标

以梯形为背景考查向量的相关问题是常见的，但以向量为背景考查梯形相关问题，就显得奇异。那么，向量视角下，如何研究梯形的相关问题呢？是以向量为手段，还是转化为平几？

【点评】（1）证明一个四边形是梯形，关键是找到那一对平行的边——解析一是通过基底表示来完成了这一证明。而且，这一想法应该是自然生成的。（2）本题求梯形的面积中，最难的是如何求梯形的高。由基底想到求四边形的各边长，再通过勾股定理完成高的计算，应该说是基底思想的基本应用。很明显，这种方法计算量超大，能改进吗？

2. 视角二：分解+三角函数

在笔者展示学生提供的解法一时，有学生提出：笔者改卷时判分存在问题。笔者将其求解过程投影，并要求其讲述自己的思维过程。

【点评】（1）解析二存在一个问题：E、P、G、Q四点在同一条直线上吗？笔者将该解法投影后，就有学生指出上述问题。那么，能完善这种解法吗？首先证明四边形PDFQ为平行四边形，其次证明PE∥AB、QG∥AB。远远没有解析一快捷。（2）求梯形的面积较解析一简便了许多。求梯形的高，应用三角函数定义简化了计算。另外，也可以考虑求B到PQ的距离。方法和前面类似。

3. 视角三：分解+相似比

解析二也给我们提供了一种求高的想法——将AP分解，将求高转化为求三角形的相似比。

【点评】（2）将梯形的高转化为三角形的相似比，避开了向量的复杂计算。应该是向量法（基底思想）中最簡单的方法。

4. 视角四：坐标法

【分析四】解决向量问题的另一个常用方法就是建立直角坐标系，将向量的运算转化为坐标的运算。如何建系呢？以A为原点或以B为原点，AB所在直线为x轴建系，都可以。

【点评】坐标法求得P、Q的坐标，恰巧的是P的纵坐标就是梯形的高。一步，既解决了梯形中平行的证明，又解决了梯形的高，妙！

纵观以上四种解法，从最开始的迷茫，到有想法（繁琐的计算），再到简化计算，每一次思考都有一个层次，而通过比较，自然在以后的求解中会优先选择坐标法——毕竟由基底给定的向量，其坐标也是一定的，进而就能解决问题了。解析三给人的冲击也是蛮大的——给定基底，自然蕴涵了向量的加法，也就存在比例问题。基底思想是统一思想：将所有向量用两个已知的向量表示，将所有向量的运算转化为两个已知向量的运算，是数学中重要的一种思想。endprint