袁兆明

(北京师范大学数学科学学院 100875)

1 一些记号和预备知识

首先.对于三维欧式空间3的一组不共面的向量e1,e2,e3,我们可以唯一以其作为一组基底构造仿射坐标系.记gij=ei·ej,由于内积的交换性,故

ei·ej=ej·ei,

亦即

gij=gji,∀i,j∈{1,2,3}.

由此诱导的度量系数矩阵

是一个正定的对称矩阵.|g|>0.

我们定义三个向量的混合积为:

[a,b,c]=(a×b)·c.

在Descartes右手直角坐标系中,gij=δij,故g=I3.

任意三个向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),c=(cx,cy,cz),有

a·b=abT,

在一般的仿射坐标系.对于任意两个向量a,b有

a·b=agbT,

可是我们并没有给出明确的计算外积的公式.在这里.经过推导.我们将给出仿射坐标系下向量外积一般的坐标表达式.即有如下定理成立:

对于空间中任意两个向量a,b以及任意三个不共面的向量e1,e2,e3,有:

2 基向量间的外积

2.1 从Descartes系看一般仿射系

在Descartes坐标系中.证明外积的公式有大致两种证明方法:

1.求出基向量之间的外积.利用外积的线性性质求任意向量的外积.

2.通过一般性地设出所求向量.根据外积的性质解得向量的坐标.

在这里.我们将同时采用这两种方法.即用待定系数法确定基向量间的外积.再利用外积的线性性质求一般向量的外积.

2.2 一组基向量间的外积

我们取{O;e1,e2,e3}为仿射坐标系的一组基.记c=e1×e2并设c=xe1+ye2+ze3,则

c·e1=(xe1+ye2+ze3)·e1=xg11+yg12+zg13

c·e2=(xe1+ye2+ze3)·e2=xg21+yg22+zg23.

这是一个齐次线性方程组.并且e1和e2不平行.解得这个方程组的解空间为

(x,y,z)=λ(x0,y0,z0)

记c=λc0,c0=(x0,y0,z0),其中λ≠0.

我们通过整理c0可以得到如下的结果:

|c0|2=(x0e1+y0e2+z0e3)2

2y0z0g23+2x0y0g13

=(g12g23-g13g22)2g11+(g13g21-g11g23)2·g22+(g11g22-g12g21)2g33+2(g12g23-g13g22)·(g13g21-g11g23)g12+2(g13g21-g11g23)(g11g22-g12g21)g23+2(g12g23-g13g22)(g11g22-g12g21)g13

由向量的性质.我们知道,

|a·b|2+|a×b|2=|a|2|b|2.

代入c0,c与a,b的关系可知:

而由代数关系.我们知道:

上式右端即为|g|.

由之前的推导.我们可以得到

而由于g是正定矩阵.|g|>0故:

sign[e1,e2,e3]=signλ,

2.3 其它基向量间的外积表……

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