杜成涛，汪安民

(1.皖西学院 电气与光电工程学院，安徽 六安 237012；2.同方工业有限公司研究所，北京 100085)

虚拟数字多通道压缩采样的频谱检测研究

杜成涛1，汪安民2

(1.皖西学院 电气与光电工程学院，安徽 六安 237012；2.同方工业有限公司研究所，北京 100085)

传统的压缩采样在模拟域随机调制，然后低速采样，通过多通道采样恢复出原始信号。本文研究压缩感知的实现方法，针对信号的频谱检测和估计，提出了一种数字虚拟多通道压缩采样的方法。该方法通过在数字域随机调制，将信号频谱混叠到整个频段，然后通过低于Nyquist频率采样，采用多通道联合恢复信号。实验表明，该方法对信号频谱检测实用有效。数据虚拟多通道避免了模拟多通道的硬件复杂度，数字方法可以压缩采样数据量，节省了数据存储空间，降低了对数据实时传输的要求。

压缩感知；信号频谱；数字多通道；采样

Shannon-Nyquist采样定理，是信息论特别是通讯与信号处理及控制学科中的一个重要基本定理。该定理指出，为了不失真地恢复被采样的原始模拟信号，采样频率应该不小于原始模拟信号频谱中最高频率的两倍，即：fs≥ 2fmax，其中，fs为采样频率，fmax为被测信号频谱中的最高频率。从信号处理的角度来讲，该定理描述了两个过程：一是采样，即将连续时间信号转换为离散时间信号；二是信号的重构，即将离散信号还原成连续信号。从采样定理中可以得出以下结论：如果已知信号的最高频率，采样定理给出了保证完全重构信号的最低采样频率；相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重构信号所允许的最高信号频率。这就要求被采样的信号必须是限定带宽的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重构信号中这些频率成分的影响可忽略不计，否则采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频率成分将被重构成低于采样频率一半的信号，这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，混叠现象在信号采样与重构的工程实践中需要努力避免。从信号重构角度，采样率越高，重构信号就越接近原信号，但是对系统的要求就更高，转换电路必须具有更快的转换速度。

随着电子技术和处理器技术的发展，宽带信号的应用越来越多，而且带宽越来越大。根据采样定理，模拟信号转换为数字信号过程中，当采样频率为fsHz时，采样后的数字信号只能完全恢复出带宽为0.5fsHz的信号。如果信号频率超过0.5fsHz时，数字信号会按照一定的规律出现混叠信号，由于混叠的影响，无法在数字信号中分辨出真实信号和混叠信号[1]。如果通过提高AD器件的采样频率来解决宽带信号的采样问题，高速的采样将导致很多问题：首先，目前AD器件的速度还不够高；其次，采样后的数据需要高性能的处理器支撑；此外，高速数据对实时传输和存储的压力较大。

采样定理明确指出，其规定的采样频率和信号频率的约束关系为充分条件，非充要条件。如何找到适合信号的最低采样频率一直是信号处理领域的研究热点之一。这些研究从采样方法、变换技术和数据处理上实现了低于Nyquist频率的采样，突破了Shannon-Nyquist采样定理的限制。这些方法从随机采样、非均匀采样、伪随机/伪非均匀采样一直发展到压缩感知(Compressed sensing, Compressive sampling, Compressive sensing, CS)的信息采样。这些采样方法的一个主要目的就是降低数据量，随机采样通过有目的的随机采样，降低了平均采样频率，从而降低了数据量，但没有降低最大采样频率，其最大采样频率仍然限制在Nyquist频率[2]；非均匀采样针对特定信号采集数据，根据信号特征提取出最能表现信号的数据，舍弃部分信号，从而降低了数据量，但只能针对某些已知特征的信号[3]；伪随机/伪非均匀采样提出了工程实现方法，通过周期非均匀或者部分随机实现以上方法[4]；压缩感知是基于信号在某个域的稀疏特性，采用信息采样，来降低信号数据量，压缩采样已经发展出相对较完备的压缩变换和信号恢复的一整套理论体系[5]。

本文针对频谱监测系统中，信号频率域的稀疏特性，根据压缩感知理论，采用数字技术虚拟多通道数据，通过数字域的随机调制，将宽带信号随机混频到基带，然后使用变频技术抽取数字信号，降低实际采样频率，减少数据量，然后对多路降采样后的数据恢复出原始信号。

1 压缩感知基本理论

传统的Shannon-Nyquist采样,要求采样频率必须大于或等于信号带宽的两倍才能无失真的重构原始信号。但在很多工程实际应用中，例如高分辨率的数码装置及超带宽信号处理，为了减少高速采样所带来的高速采样硬件要求及庞大采样数据的存储、处理或传输压力，往往采用数据压缩的方法，但是信号压缩实际上是一种资源浪费，因为大量的不重要的或者只是冗余信息在压缩过程中被丢弃。基于信号带宽的Nyquist采样是冗余的，带宽并不是信号和信息的本质表达。设想如果能够直接采样不被丢弃的重要信息，就可以大大降低采样频率，节约资源，提高效率，而且仍能够精确重构原始信号。

分析可得，Shannon-Nyquist采样只利用了被采样信号的带宽这一最少的先验信息，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点。相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定，或者说，这种信号是稀疏信号(或者近似稀疏信号、可压缩信号)。另外一点是不相关特性。稀疏信号有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息，它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。

压缩感知基于信号的可压缩性, 通过低维空间、低分辨率、欠Nyquist采样数据的非相关观测来实现高维信号的感知，丰富了关于信号恢复的优化策略,极大地促进了数学理论和工程应用的结合。在无线通信、阵列信号处理、成像技术、模拟信息转换、生理信号采集及生物传感等领域受到高度关注并得到广泛应用。但传统压缩感知是以稀疏结构为先验信息来进行信号恢复。当前最新进展显示，数据中存在的其他简单代数结果也作为先验信息进行信号估计。联合开发这些信号先验信息，将进一步提高压缩感知的性能。

压缩感知理论指出，假设信号X为空间RN中N×1的维的向量，RN空间的一组规范正交基向量为Ψ=[ψ1，ψ2…ψN](ψ为空间CN中的1×N维的向量，ΨCN×N)，则有如下关系式：

Y=ΨXYCN×1

(1)

通过Ψ变换，信号X变换到另外一个域Y。使得在X域难以分辨的信号可以方便在Y域分辨。典型的傅里叶变换，就是通过一组正弦信号为基，将信号从时域变换到频域；小波变换，就是通过一组小波基，将信号变换到小波域进行研究。这里，域变换的原则就是将信号变换到稀疏域研究。傅里叶变换方便分析信号的频谱，因为单个频率的信号在时域上是连续变化的正弦或者余弦信号，而在频率域就是单个点，具有非常大的稀疏性。短时信号在时域和频域都不好分辨，而小波变换引入时间窗，一个存在周期非常短的信号，也可以在小波域清晰地表现出来。

(2)

这里，为了完美恢复出原始信号，有如下关系式：

(3)

测量矩阵的构造前提是信号具有可稀疏表示的域，在此基础上，好的测量矩阵对信号重构后的质量起着很重要的作用。测量矩阵应该具有以下几点性质：(1)测量矩阵的列向量须满足一定程度的线性独立性。因为各个列向量独立，才能成为空间的一个正交基，可以表示该空间内所有的元素；(2)测量矩阵的列向量应体现某种类似噪声的独立随机性。因为信号转换后的K个大值是随着信号变化而变化，是一个时变参数，只有测量矩阵的随机性才能使得该矩阵适应信号的变化；(3)测量矩阵满足稀疏度的解是L1范数最小的向量。根据测量矩阵的这几条性质可以看出，测量矩阵的最小奇异值必须大于某一个正常数，最小奇异值越大则矩阵的独立性越强。当最小奇异值趋于0时，矩阵的独立性也就随之消失。因此，需要去寻找一种新方法，该方法在不违背测量矩阵性质的前提下，尽可能提高矩阵的最小奇异值[6]。

综合以上分析，压缩感知的采样就是构造一个测量矩阵Φ，应用该矩阵测量信号，得到采样后信号s=Φx。这样，信号重建算法就是根据已知测量矩阵Φ和采样后信号s恢复出原始信号x。信号的重建算法有基追踪算法、贪婪算法、迭代阈值算法等[7]。本文主要研究压缩采样后信号的频谱，不进行信号的重建。

2 压缩采样

图1直接采样系统图2基于测量矩阵的采样系统

图3 调制函数p(t)波形图

定义ai为调制函数p(t)的取值，只能是+1或者-1。TP为p(t)的周期，M为一个周期内±1的个数。则p(t)有如下关系：

(4)

p(t)的傅里叶变换为：

(5)

其中

(6)

(7)

其中

fp=1/Tp

(8)

3 数字压缩采样

基于数字多通道的压缩采样系统如图4所示。

图4 基于数字多通道的压缩采样系统

数字域进行随机调制滤波和抽取后，根据香农采样公式，该系统可以提高信号的信噪比，香农采样公式为：

SNR=6.02bit+20log(fs/B)+1.732

(9)

式中：bit为数据位数，也就是AD器件的位数；fs为采样频率；B为信号带宽。数字压缩系统和模拟压缩系统相比，数字压缩采用高速采样，然后通过抽取降低信号分析带宽，从而每降低一倍带宽将带来 6 dB的信噪比处理增益。模拟压缩系统虽然也可以通过数字技术降低信号的分析带宽，但其AD的采样频率低于数字压缩系统，在同样位数AD情况下，数字压缩系统信噪比明显高于模拟压缩系统。数字压缩系统只需要1路AD采样，余下工作全部由数字信号处理器完成，而模拟系统需要多路低速AD采样。模拟压缩系统和数字压缩系统相比，可以使用低速AD器件，就可以使用高位数的AD器件(目前AD器件的位数和采样频率成反比，位数少的AD采样频率可以很高，而位数多的AD采样频率不能太高)，通过改变公式(9)中的bit来提高信噪比，从这点可以看出，每提高一位AD位数，也会带来 6 dB的信噪比位数增益。综合以上分析，模拟压缩系统和数字压缩系统具有同样的系统信噪比。模拟压缩系统从模拟器件上实现，数字系统从数字抽取上实现。两者实现方法不同，但结果一样。下面将通过实验仿真，给出模拟压缩采样和数字压缩采样的优劣及数字压缩采样的有效性。

4 实验与仿真

为了验证基于数字压缩采样方法的有效性，将其应用到3余弦信号的频谱分析。3余弦信号表达式为：

y(t)=cos(2πf0t)+0.5cos(2πf1t)+cos(2πf2t)+noise

(10)

式中：f0=13 Hz，f1=45 Hz，f2=172 Hz，noise为均匀分布在(-1，1)之间的白噪声。在Matlab软件平台下，使用 512 Hz采样频率对信号进行常规采样，并进行FFT分析，得到频谱如图5所示。

图5常规采样信号频谱图6低于Nyquist频率采样后信号频谱

对于式(10)定义的3个信号，由于采样频率都大于Nyquist频率。所以，图5频谱中较好分辨出三个谱线，由于信号f1的幅度为其他两个信号的一半，图5中低于 3 dB(10log0.5)。改变采样频率到Nyquist频率以下，如 128 Hz，对信号采样并进行FFT分析，得到频谱如图6所示。

由于 128 Hz低于式(10)要求的Nyquist采样频率，图6中出现信号的混叠谱线，如图中的灰色线，这些灰色谱线代表的频率依次为 44、83、84、115、141、173、211、212、243 Hz。图中黑色谱线表示真实信号，依次为 13、45和 172 Hz。灰色谱线的数值都是真实信号和按照采样频率整数倍关系的镜像频率。例如 83 Hz为真实信号 45 Hz的镜像频率(83=128-45)；141 Hz为真实信号 13 Hz的镜像频率(141=13+128)。

由于3余弦信号在频域上只具有3根谱线，在频域上满足压缩采样的稀疏特性。为此，采用虚拟数字通道的方法，针对式(10)定义的信号，在Nyquist频率 512 Hz采用，经过一个随机滤波器，将信号混频到随机位置，然后经过16倍抽取到 32 Hz，使用4通道联合恢复信号，检测信号的频谱，如图7所示。

比较图5和图7，压缩后的频谱基本上和原始信号频谱一致，真实信号谱的SNR相当，但信号谱线的幅度有小的变化，这是因为压缩和恢复过程，对真实信号存在一定的损失。图7在无信号的噪声频段，噪声谱降低了，这是因为压缩过程，舍弃了幅度非常小的频谱信息，恢复算法无法恢复出这些信息。由此可以看出，通过压缩采样的方法对信号的频谱进行检测和估计是可行的，但压缩损失了部分信号波形，对数据通信，可能会损失通信误码率。

图7 压缩采样后的信号频谱

由于压缩后的信号的采样频率降低了16倍，通道数增加了4倍，所以整体数据量降低了4倍。压缩采样降低了数据量，节省了数据存储空间，降低了传输要求，尤其是需要实时传输的场合，不降低数据量无法实现实时传输，但压缩采样，需要增加信号恢复算法，增加了后端的处理开销。

5 结论

由压缩感知理论带来的信息采样，可以突破Nyquist采样频率的限制，减小了采样海量冗余数据而造成的数据存储和传输设备的使用量，而且降低了不断接近模数转换器件极限采样频率的要求。本文提出了虚拟数字多通道方法使用软件方法实现了压缩采样，并将该方法应用到信号的频谱检测和估计，采用软件方法可以降低系统的硬件开销。通过实验比较原始信号频谱和压缩恢复后的信号频谱，该方法具有一定的有效性。但在观测值存储、传输和原始信号重构的过程中，会产生一定的噪声，所以设计观测矩阵和恢复算法减少噪声是目前压缩采样研究的热点和新趋势之一。

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Compressedsensingbased-ondigitalmulti-channelsamplingforsignalspectrumdetection

DU Cheng-tao1, WANG An-min2

(1.Electrical&PhotoelectricDept.,WestAnhuiUniversity,Lu'an237012，China； 2.ResearchofTongfangScienceandTechnologyLtd.,Beijing100085，China)

The traditional compression sampling is randomly modulated in the analog domain, then the low speed sampling is used to recover the original signal through multi-channel sampling. In this paper, we study the realization method of compression perception, and propose a digital virtual multi-channel compression sampling method for signal spectrum detection and estimation. In this method, the signal spectrum is mixed into the whole frequency band by randomly modulating in the digital domain, and then the multi-channel joint recovery signal is adopted by sampling below Nyquist frequency. The experimental results show that this method is useful for signal spectrum detection. The data virtual multi-channel avoids analog multi-channel hardware complexity, the digital method can compress the sampled data, save the data storage space and reduce the requirement of real-time data transmission.

compressed sensing; signal spectrum; digital multi-channels; sampling

2017-07-25

安徽省教育厅自然科学基金项目(KJ103762015B01)

杜成涛(1974—)，男，安微六安人，硕士，讲师。

1674-7046(2017)05-0079-07

10.14140/j.cnki.hncjxb.2017.05.015

TN911.73

A