遥感数据同化中的迭代正则化

2017-12-13郑江澎

中国科技博览 2017年42期

关键词：卡尔曼滤波

[摘要]本文探讨扩散方程有界区域只含空间变量的源项识别反问题，用迭代正则化法化反问题为最优化问题，借助卡尔曼滤波同化最终时间的观测数据并恢复源项，数值实验表明，取合适的迭代数，迭代正则化算法效果较好。

[关键词]扩散方程；源项反问题；迭代正则化法；卡尔曼滤波

中图分类号：TU864 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2017）42-0359-03

An iterated regularization method in remote sensing data assimilation

ZHENG Jiangpeng1，2

（1. China-Russian Joint Graduate School， Heilongjiang University， Harbin， 150080， China；

2. Department of Mechanics and Mathematics， Novosibirsk State University， Novosibirsk， 630090， Russia；）

[Abstract]In this paper， we discuss the inverse problem of determining a spacewise dependent source in the diffusion equation， use iterated regularization method turn the inverse problem into the optimization problem， with Kalman filter assimilate the observation data in the end time and restore the source. Numerical experiments show that the iterated regularization algorithm works well when the appropriate number of iterations is taken.

[Key words]Diffusion equation； source inverse problem； iterated regularization； Kalman filter

0 引言

源項识别问题是最常见的扩散方程反问题，广泛应用于流体力学、环境科学等领域。扩散方程中的非齐次项在不同的实际问题中有不同的意义：在热传导问题中表示热源，污染控制问题中表示污染源。在近几十年的研究中很多人用不同的方法识别源项，如：Showalter[1]，Ames[2]用拟逆法求解逆时热传导的数值解，高翔等[3]用Fourier正则化方法稳定近似逆时热传导问题，Farcas和Lesnic[4]用边界元法识别热源，Johansson[5]用迭代算法识别只含一个变量的热源，杨帆等[6]用简化的Tihkonov正则化方法识别源项。本文引用迭代正则化算法对有界区域上扩散方程求解只含空间变量的源项，并用数值实验作比较。

1 问题的提出

考虑有界区域上扩散方程（1.1）

其中：是在点的浓度，为源项函数，。

如果已知，可由初值条件和边界条件求出浓度分布，此为正问题。现考虑由时刻的数据（1.2）

来恢复源项，此为反问题。

2 不适定性分析

借助分离变量法求解：（2.1）

其中：为空间的标准正交基，.

定义算子，

（2.2）

算子有奇异值，且，进而有（2.3）

当时，，也就是说，该问题不适定。