■河南省郑州市第四十七中学 吕 茵

由递推关系式求数列通项公式的常见方法

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编者的话:经典题突破方法quot;栏目里例、习题选名校模拟题或三年高考真题,推出本栏目的主要目的是让同学们更好地领悟数学解题思想方法,通过多解多变培养同学们多思多想的好习惯。学会解题反思,无疑是同学们学习的一条捷径,愿同学们不断在反思中进步,在反思中收获!

数列是高中数学的重要内容之一,数列的通项公式是数列的核心之一。在很多情况下,各种数列综合问题的解决,首先是对数列通项公式的求解,这是解决数列综合问题的突破口和关键。目前我们比较熟悉的数列有:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。求解等差数列、等比数列的通项公式的方法是累加和累乘,这两种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项的基本思路是把所求数列通过变形,转化为等差数列或等比数列。目前用递推关系求数列通项公式的方法有:累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去掉递推关系式中出现的根号)、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法等。

一、公式法

已知数列{an}满足an+1=2an+3×2n,a1=2,求数列{an}的通项公式。

二、累加法

1.适用于:an+1=an+f(n)——这是广义的等差数列,累加法是最常见的方法之一。

2.若an+1-an=f(n)(n≥1),则:a2-a1=f(1);

a3-a2=f(2);

…

an+1-an=f(n)。

已知数列{an}满足an+1=an+2×3n+1,a1=3,求数列{an}的通项公式。

解析:由an+1=an+2×3n+1,得an+1-an=2×3n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=(2×3n-1+1)+(2×3n-2+1)+…+(2×32+1)+(2×31+1)+3

=2(3n-1+3n-2+…+32+31)+n+2

=3n-3+n+2

=3n+n-1。

所以an=3n+n-1。

三、累乘法

1.适用于:an+1=f(n)an。……