杨清志，孙式运

(亳州职业技术学院，安徽 亳州 236800)

原子核液滴模型结合能的薄壁近似验证

杨清志，孙式运

(亳州职业技术学院，安徽 亳州 236800)

原子核的液滴模型因诸多优点目前被广泛接受和应用，但液滴模型的结合能及其修正公式主要来自实验修正，缺乏明确的理论依据.针对这种现象，以薄壁近似为基础，运用数学物理方法，从理论上推导了原子核液滴模型结合能公式，使其具有明确的物理意义，佐证了原子核液滴模型的正确性.

薄壁近似；液滴模型；结合能

为了进一步研究原子核的组成结构，核物理学家们提出了多种原子核的结构模型，主要有液滴模型、壳层模型、统计模型、光学模型等[1].其中液滴模型因物理意义明确、简便适用等优点被广泛接受和应用.但是针对原子核液滴模型结合能的修正项，目前主要是通过实验给出的经验修正，缺少明确的理论依据.据此，本文以薄壁近似为基础，运用数学物理的方法，从理论上推导了原子核液滴模型结合能及其修正项公式，从而使公式具有明确的物理意义，在一定程度上证明了原子核液滴模型的正确性.

1 原子核的液滴模型

把原子核比作一个液滴，是因为原子核与液滴有相似的地方，一是核的结合能E正比于核子数A，即比结合能近似为常数，说明核子间相互作用力具有饱和性，与液体分子间作用力具有饱和性相类似；二是和物质的密度近似为常数，说明核不可压缩，这也与液体相似[2].

因为原子核中的质子是带正电的，所以应将其看作一个带电液滴，核结合能为：

E=EV+ES+EC

(1)

式中EV为体积能，ES为表面能，EC为库仑能.下面来推导核结合能的表达式，并利用薄壁近似加以证明.

2 球形核的结合能

对于球形核，满足：

R=r0A1/3

(2)

(3)

式中R为核半径，r0为核子半径，ρ0为核子数密度，A为核子数.由此可得：

(4)

(5)

设质子在半径为R的核内均匀分布，由电动力学可知它在距核中心r′处产生电位：

设第二个质子也在核内均匀分布，这两个质子相互作用的静电能为：

(6)

Ed=-adZ2/A

(7)

把(4)、(5)、(6)、(7)式带入(1)式得：

(8)

上式即为原子核液滴模型的结合能.但需要指出的是，这只是对于球形核的主要几项能量表达式.一般情况下原子核不是球形，质子也不是均匀分布的，还需要进行进一步修正[4].

3 利用薄壁近似验证结合能公式

液滴模型认为在液滴内部有着均匀的密度分布，而在边界密度突变为零.但原子核的密度在边界不会突变为零，应有一层弥散层.设弥散层厚度远小于核半径，称为薄壁近似条件，当核子数A≫1时，此条件可以满足.下面利用薄壁近似来验证液滴模型结合能公式.

设体系基态核力作用的平均能量密度可表示为f(ρn，ρp，▽ρn，▽ρp)，则体系结合能为：

(9)

式中ρn、ρp为中子和质子能量密度，EC′为质子的库仑能，▽ρn和▽ρp为其梯度.对ρn、ρp作薄壁近似，在核内部ρn、ρp为常数，梯度为零，即：

图1 关于V及V′积分示意图

而在边界层f迅速减为零.在核边缘取一等面积S，所包围体积V，此体积之外空间为V′，则(9)式化为：

(10)

如图1所示，与面积S垂直的距离设为u，则体积元dτ为：

(11)

式中Ω为立体角，u在S处取正值，S内取负值.可认为f、f-f0均为u的函数，从而(11)式可进一步化简：

将上式忽略高阶无穷小(即后两项)带入(10)式得：

(12)

从式(12)可以看出，第一项对应体积能，第二项对应面积能，与(1)式描述相一致.可见，液滴模型忽略了平均曲率项及与A无关项，从数学角度即忽略高阶无穷小，也是一致的.

再来讨论库仑能.质子间库仑能一般表达式是：

设ρl为液滴模型的电荷密度，则上式质子间库仑能可展开为：

式中第一项为带电液滴的库仑能EC，第二项可看作是对弥散层的修正Ed，第三项为高阶无穷小，同样可忽略.因此上式可改写为：

EC′=EC+Ed

(13)

再来看修正项Ed表达式：

(14)

式中Vl(r′)为液滴模型电荷分布在r′处电位：

对于球形核，由图1：

由于ρp(r)-ρl(r)只在u=0附近才有值，将Vl在u=0附近展开：

上式忽略高阶无穷小得：

(15)

又由：

(16)

(17)

将(15)、(16)、(17)式带入(14)式解得：

Ed=-adZ2/A

(18)

(18)式与(7)式关于库仑能弥散层的修正形式上完全一样.

4 小 结

以上是对于原子核液滴模型结合能的讨论并利用薄壁近似加以验证，在一定程度上佐证了液滴模型的正确性.虽然液滴模型并未给出原子核中质子与中子究竟是怎么排列与构建原子核的，但在解释核素质量分布、β衰变、核裂变等方面都非常成功，因而获得了推广和应用[5][6].

[1]曹向阳.原子核中处理对关联方法的研究[D].合肥:安徽大学,2014.1.

[2]褚圣麟.原子物理学[M].北京：高等教育出版社，1979：328.

[3]胡济民，钟云霄.原子核的宏观模型[M].济南：山东科学技术出版社，1998.

[4]卢水旺.原子核模型的研究[J].技术物理教学，2003(01)：20-21.

[5]曾谨言，林纯镇，杨福家.原子核质量公式的分项检验[J].高能物理与核物理，1981(02).

[6]张海飞，包小军，王佳眉,等.推广的液滴模型及其应用[J].原子核物理评论，2013(03)：241-259.

[责任编辑：徐明忠]

Thethin-walledapproximationvalidationofdropletmodelofnuclei’bindingenergy

YANG Qingzhi，SUN Shiyun

(Bozhou Vocational and Technical College，Bozhou 236800，China)

The droplet model of nuclei has been widely accepted and applied in many aspects，but the binding energy of the droplet model and its correction formula are mainly from the experimental correction，and lack of clear theoretical basis.In view of this phenomenon，using the methods of mathematical physics based on the thin-walled approximation，derived the formula of the droplet model of nuclei ’ binding energy in theory，it has a clear physical meaning，to prove the correctness of the droplet model of nuclei.

thin-walled approximation；droplet model；binding energy

2017-01-11；

2017-02-09

杨清志(1974—)，男，安徽肥东人，亳州职业技术学院副教授，硕士，主要从事大学物理教学与研究.

O571.2

A

1672-3600(2017)12-0024-03