何宏杰+刘博涵

摘要：2016年11月，在浙江四明中学举行了同课异构活动，课题是人教A版高中数学必修一的《方程的根与函数的零点》，针对课堂教学中出现的“不准”“不精”“不简”问题，现从“理解数学”入手对这部分数学知识作教材分析及教学建议，力求对本节的核心概念、思想方法的结构体系及其教学设计有一个准确定位。

关键词：教材 定位 建议

一、教材分析

（一）概念的背景及外部联系

理解数学就是了解数学概念的背景，把握概念的多元联系。人们在研究函数的零点时，会发现一个问题，在一段连续的曲线上，曲线上的每个点都有相对应的横坐标，而当曲线的两个端点处于X轴的上下区间时，曲线上的点必定会落在X轴上。

初中在研究一次函数和二次函数时，教材上对一次函数y=kx+b和一元一次方程kx+b=0的关系，二次函数和一元二次方程的根的关系进行了较为系统的研究，这些为学习这节课奠定了基础。

《方程的根与函数的零点》是新课标教材必修一新增内容第三章《函数与应用》中第一节《函数与方程》的第一部分，出现在连续函数的性质——零点存在性命题之中，是为后续内容“用二分法求方程的近似解”服务的，通过用二分法求方程近似根将函数思想以及方程的根与函数零点之间的联系具体化.旨在加强对函数概念、函数思想的认识与了解，同时也可使学生了解函数的算法，可以为学生今后的学习打下基础，有利于学生理解和吸收。在函数零点教学中，需要通过函数图像来表现，主要是因为当时还没有连续函数的概念。所以只能依靠直观图像来“讲道理”，在大学《数学分析》中函数零点存在性定理有严格的证明，它是证明介值定理的依据，也可以说是介值定理的特殊情形.因此这部分内容是联结初等数学和高等数学的桥梁。

几何直观是理性认识的基础，可以通过函数图像直观表示函数零点的内容，相比于函数零点求根公式来说要更重要，因此，在进行函数零点教学时，需要将函数图象、性质、导数、不等式等内容有机结合，来考查学生分析问题解决问题的能力及学生的创新意识。

（二）内容的地位与作用

理解数学就是掌握概念的逻辑意义，从而展现思想的准确性。本章节内容的教学，主要包括函数零点的存在性定理、函数零点与方程根的关系以及函数零点的概念这三方面的内容。

在本章节教学中，函数零点的概念并不是主要的教学内容，只是为了学生能更加深刻的了解函数与方程之间的关系。从而进一步理解函数的图像和性质。

教材通过两个问题将三个内容进行呈现。首先，教材以“思考”的栏目上提出第一个问题：“一元二次方程ax?+bx+c=0（a≠0）的根与二次函数y=ax?+bx+c的图象有什么关系？”，这个问题教材利用三个不同的一元二次方程，对其进行求根，并制成函数图像，表明与X轴之间的关系，归纳到一般情形。然后，给出函数零点概念，并将上述结论推广到一般情形，符合从特殊到一般的认识规律。

这个问题对学生来说，并不陌生，以北师大版九年级下册数学教材为例，在《二次函数和一元二次方程》这节中，已经通过三个具体的二次函数及相对应的一元二次方程得出结论：“二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax?+bx+c=0的根也有三种情况：两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax?+bx+c=0的根”。因此，这段内容的学习，学生学习并不困难.但是要注意的是给出函数零点之后，学生往往将“函数零点”和“方程的根”混为一谈，认为方程的根就是函数的零点，在此要让学生分清二者的区别和联系。

教材用“探究”栏目提出第二个问题：“计算f（-2）和f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有这种特点呢？”，得到结果为负值，并再次对学生进行提问“同学们任意画几个图象，观察图象，看看是否能得出同样的结果”；从而得出讨论结果。

这种教学方法就是利用二次函数图像，使学生了解函数零点与函数图像之间的关系，并通过学生进行自主举例、自主研究，从而得出函数零点的存在性定理。

在問题的设置上要紧紧围绕课标要求，从学生熟悉的二次函数来进行研究，把方程根与函数图像联系起来，在教学中，将原有知识与新知识形成联系，研究的步骤是：具体函数——画图象——概括结论，研究的方法是“数形结合思想”及“转化与划归思想”，这种研究的步骤和方法具有一般性，是我们研究数学问题中比较常见的方法之一，其教学效率也比较高。

教材仅有一道例题，本道例题要通过函数的性质——单调性及函数的零点存在性定理来解决问题。

在本节习题A、B组8道题中仅有一道习题涉及到函数零点的存在性定理，其余7道题涉及到二分法求方程的近似解.这种习题的配制体现了人教A版《函数与方程》内容的编写意图：将重点放在“通过“二分法”求方程的近似解”上，零点存在性定理这个性质是为“用二分法求方程近似解”服务的.这是人教A版教材和其它版本在处理《函数与方程》内容上最本质的区别，如人教B版将本节重点放在“理解函数零点的概念，判定二次函数的零点，会求函数的零点。”，因此在习题配制上，9道题中有8道是关于函数零点问题，仅有一道涉及到二分法求方程的近似解。从以上可以看出，人教A版教材更注重培养学生用函数的观点处理问题的意识及用联系的观点理解有关学习内容。

（三）课标要求及解读

理解数学就是理解课标所要求核心概念、思想方法结构体系的构建，及核心概念、思想方法的教学设计。

高中数学课程标准对这部分的要求是：在教学中要利用二次函数图像，根据图像来了解一元二次方程根的特点，并对函数零点与方程根之间的联系进行了解。

课标要求要由浅入深、循序渐进的建立函数与方程的关系，遵循这个原则，需要通过以下几点来展开教学：一是，从学生认为较为简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立二者的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与其相应方程的情形。二是，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。三是，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，建立起函数与方程的联系。endprint

同时，课标强调了通过函数图象的直观展示，让学生了解有关原理和方法.因此，课标引入本节课的内容，旨在让学生学习用函数的性质解决问题，体会函数与方程之间的联系性，而在数学原理上没有过高要求.

（四）教学目标及重难点

理解数学就是合理挖掘，适当拓展数学知识所蕴含的科学方法，理性精神等价值观资源，以此制定教学目标。

1.通过本课教学，要求学生理解并掌握方程的根与相应的函数零点的关系；在此基础上，学会将求方程根的问题转化为求相应的函数零点问题；理解零点存在性定理，初步确定具体函数存在零点的区间。

2.正确理解函数零点存在性定理，了解函数图像连续不断的意义；知道定理是函数存在零点的充分条件，了解函数零点可能不止一个。

3.能利用函数图像与性质判断某些函数的零点个数。

4.能顺利将一个方程求解问题转化为求相应的函数零点问题，并会判断存在零点的区间（可使用计算器）。

本节的教学重难点是：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。

二、准确定位教学内容

教师“理解数学”的目的是让学生“理解数学”，促使学生“理解数学”主要通过课堂教学来完成，而有效的课堂教学的前提是准确定位教学内容，从教学核心和重点上构建教学过程、设计问题来引导学生的学习，是提高课堂教学质量的关键。

（一）整体把握学习内容

准确定位教学内容首先要对所学知识进行整体把握，从不同角度认识高中数学知识，用全面的眼光去看待教学中的每一个知识点，了解其存在的意义和价值，只有这样才有助于削枝强干，掌握通性通法，抓住本质，明确本节的重心.很多老师在授课时，常常将重点过多放在大量习题或课件及视频的制作上，进而产生了很多问题，这就是对内容把握不到位造成的。

同时，本节课作为章节起始课，要在引入上下功夫，让学生整体了解所要学习的内容，明确学习要达成的目标、认识所学内容的价值和作用，对全章内容有一个整体的认识，有助于建构学生的知识结构。

（二）重点突出，忌舍本求末

在进行函数应用教学时，要着重对函数零点与方程根之间的联系和函数零点的存在性定理这部分内容的讲解。函数思想是本章的一个主线，而函数零点的概念的作用是服务于进一步认识二者之间关系的.有些老师在设计问题时，往往设置一系列求函数零点的问题，把函数的零点问题转化成方程求解，以巩固函数零点的概念.这种设计偏离了教材的意图和本节课的目的.另外，还有些老师常把教材上有关函数零点和方程根的关系改成“方程有几个根，函数就有几个零点。”一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数是一个还是两个零点，说法不一，人教B版指出“有一个二重的零点或说有二阶零点”。因此不要随意改变教材的结论，也不要在此过分纠缠。

（三）关注问题的探究过程

数学思想方法蕴含于数学知识之中，数学知识的形成过程是进行数学思想方法教学的重要载体.教材中的两个问题，在教学中要让学生进行交流和探究，尤其是作为难点的函数的零点存在性定理问题的探究，如何引导学生把“函数f（x）的图象在区间（a，b）内经过x轴”转化为f（a）f（b）<0，并得到函数存在性定理，明确定理是函数零点存在的充分不必要条件，这需要教师精心设计一系列问题，引导学生进行思考和探索，并在这个过程中还要让学生自己动手操作，画一些函数的图象，通过对函数图象的观察、猜测、推理及学生之间交流和反思来得到结论。让学生经历定理的形成过程，学会数学地思考问题的方式，来提高学生的数学素养。

（四）发挥课本例题和习题的功能

课本的习题和练习题的设计都有深刻的用意，在进行教学时要引起重视。

教材中的例1，求函数f（x）=lnx+2x-6的零點个数.是要让学生利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，这是本节课的课时目标之一。

教材配制的练习题第一题要求利用函数图象判断方程根的情况，四个小题都是一元二次方程，但作用各不相同，第（1）小题是直接转化为相应的函数零点问题，（2）（3）（4）要让学生会将一个方程求解问题通过等价变形转化为一个函数零点问题，这应作为本节课的教学目标。这个过程中学生可能转化的函数会不相同，同时这三个小题分别对应方程有两个不同的实数根、两个相等的实数根和无实数根的情形.涵盖了二次函数图象的每一种情况。

练习第二题需借助信息技术作图象，并指出函数零点所在区间，目的旨在利用函数零点存在定理解决问题，也为下一节“二分法求方程的近似解”进行铺垫，起到了承上启下的作用。这两个练习都要求利用图象来解决问题，让学生感受图形在解决问题中的作用。

（五）重视信息技术的作用

利用信息技术画出函数图象，使复杂和抽象的函数解析式得到直观体现，有助于帮助学生把握数学的本质。本节课例1和练习2的设置，都需要使用计算器和计算机来解决问题。在教学中，要让学生动手操作，使用计算器获取数据，有条件还可以让学生使用图形计算器来画出函数图象，来提高学生收集数据、提出信息、进行分析得出结论的能力及利用图象直观，分析数学问题，解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·数学1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·数学1（B版）[M].北京：人民教育出版社，2014.endprint