马 萍 ， 杨月英

(湖州职业技术学院 机电与汽车工程学院， 浙江 湖州 313000)

关于Neuman-Sándor平均的三个最佳不等式

马 萍 ， 杨月英

(湖州职业技术学院 机电与汽车工程学院， 浙江 湖州 313000)

给出了Neuman-Sándor平均关于第二类反调和平均与算术平均的最佳不等式，所得结论加强了已知结果。

第二类反调和平均； 算术平均； Neuman-Sándor 平均

一、引 言

对于p∈，a,b>0且a≠b，Neuman-Sándor平均M(a,b)[1]253-266 [2]49-59和p阶Lehmer平均Lp(a,b)[3]183-200定义为

(1)

Lp(a,b)=(ap+1+bp+1)/(ap+bp)

(2)

一般地，p阶Lehmer平均Lp(a,b)对于p∈和固定的a,b>0且a≠b是连续且严格单调递增的。特别地，L-1(a,b)=H(a,b)=2ab/(a+b)是调和平均，L-1/2(a,b)=G(a,b)=是几何平均，L0(a,b)=A(a,b)=(a+b)/2是算术平均，L1(a,b)=C(a,b)=(a2+b2)/(a+b)是第一类反调和平均和L2(a,b)=D(a,b)=(a3+b3)/(a2+b2)是第二类反调和平均。设a,b>0且a≠b，则第一类Seiffert平均P(a,b)和第二类Seiffert平均T(a,b)分别定义为

对于上述这些平均有以下不等式：

H(a,b)

(3)

对所有a,b>0且a≠b成立。

近年来，Neuman-Sándor平均得到了深入的研究，数学工作者们从Neuman-Sándor平均M(a,b)发现了许多重要不等式[4] [5] [6] [7]567-577 [8] [9] [10] [11]。Neuman和Sándor[1]253-266 [2]49-59证明了不等式

对所有a,b>0且a≠b时成立。

在文献[12]637-643中Neuman证明了双向不等式

Cλ1(a,b)A1-λ1(a,b)

λ2C(a,b)+(1-λ2)A(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立的充要条件是：

在文献[13]14-16 [14]299-302中作者发现了最佳参数α1,α2,β1,β2∈(0,1)使得双向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)A(a,b)

对所有a,b>0且a≠b时成立。

杨月英等[15]207-217找到了最大值α1，α2和最小值β1，β2使得双向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)G(a,b)

对所有a,b>0且a≠b时成立。

在文献[16]中,钱伟茂等证明了双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立的充要条件是：

从不等式(3)得到如下定理1.1、1.2和1.3。

定理1.1 双向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)A(a,b)

(4)

定理1.2 双向不等式

Dα2(a,b)A1-α2(a,b)

(5)

定理1.3 双向不等式

(6)

二、引 理

为证明定理1.1-1.3，需要以下五个引理。

引理2.1 参见文献[17]中定理1.25，对于-∞

在(a,b)内也单调递增(递减)。当f'(x)/g'(x)是严格单调时，那么上式也是严格单调的。

引理2.3 函数

(7)

(8)

其中

(9)

从等式(9)得

(10)

对所有n≥0成立。注意到

(11)

所以，容易从引理2.2和(8)～(11)式得到引理2.3。

引理2.4 函数