周梦莹

摘 要：生产与分销的决策在供应链中是非常关键的。目前很多企业在进行决策时，没有考虑到生产与分销的关系以及供应链系统的不确定性。文章考虑在不确定生产与随机需求条件下，如何将生产与分销进行联动决策的问题。建立了一个包含随机变量的双层机会约束规划模型，将分销与生产的决策模型分别作为上下层，且双层都以成本最小化为目标函数。进而利用确定性等价类方法、Monte Carlo随机模拟以及改进的遗传算法解文中模型。然后，利用算例来验证模型与算法的有效性。

关键词：生产分销决策；双层规划；机会约束规划；Monte Carlo模拟；遗传算法

中图分类号：F273.7 文献标识码：A

Abstract： Production and distribution decisions are very crucial in the supply chain. Many companies in the decision-making of production and distribution do not take into account the connection between the two and the uncertainty in supply chain presently. In this paper， we focus on how to make the decision of production and distribution jointly under the condition of uncertain production and stochastic demand. A bilevel chance-constrained programming model with random variables is established to minimize the cost， which includes upper-level distribution decision and lower-level production decision. Then solve the model by deterministic equivalent method， Monte Carlo method and improved genetic algorithm. An example is given to validate the validity of the model and algorithm in this paper.

Key words： production and distribution decision；bilevel programming； chance-constrained programming；Monte Carlo method；genetic algorithm

0 引 言

大多数的生产和消费者需求都面临很多不确定因素。一方面，产品的生产是不稳定的，当原材料、机器设备、劳动力和厂内运作等因素发生变动，就会导致生产不能按原计划进行；另一方面，市场对于产品的需求是不确定的，受到消费者偏好、竞争产品情况、市场变化以及消费者收入等因素的影响。由于市场需求和供应链上游产品生产的不确定性，制定合理的分销策略是非常重要的。分销决策受到生产端与需求端的共同影响，市场需求影响到产品生产计划的制定，而分销决策能分配的产品量受到产品总生产量的影响。一个有效的分销决策应尽可能地与各市场需求相匹配，在不能完全匹配时，应使总损失最小。因此，要制定一个合理有效的分销策略，必须考虑到工厂生产量与市场需求量的不确定性。基于以上，本文考虑在不确定生产与随机需求的前提下，以费用最小为目标，将分销与生产进行联合决策。

该问题可以看成一个双层规划问题（Bilevel Programming Problem， BLPP）。双层规划是包含有主从递阶关系的优化问题[1]。在双层规划中，下层决策在已知上層决策结果来进行自己的决策，而上层决策基于下层决策可能的反应来优化自己的目标函

数[2]。斯塔克尔伯格模型是关于企业竞争的模型，它可以被认为是双层规划的雏形，由德国经济学家Stackelberg提出[3]。Bracken[4]等人首次提出双层规划数学模型。双层规划比较符合很多现实问题，在现实中得到很多应用，例如交通规划领域[5]和供应链选址[6]。双层规划的求解困难，即便是线性双层规划问题，也是强NP难的[7]。国内外已有大量求解双层规划问题的方法，如下降方向法[8]、分支定界法[9]和罚函数法[10]。大多数的精确算法都针对具有某些特点的双层规划问题，如基于模型目标函数的可微性、凸性等条件进行求解。同时也有一些启发式算法，如Mathieu等人提出了解线性双层规划的遗传算法[11]。

在研究生产与分销联合决策时，生产端与分销端都以各自成本最小化作为目标函数，以期做出对自己最有利的决策。而由于最大生产能力与市场需求的随机性，与随机量相关的约束条件不一定能被满足。由Cooper和Charnes提出的机会约束规划理论能解决该问题，它指在模型含有随机变量且必须在确定随机变量的实验值前做出相关决策，且约束条件有可能不被满足。因此机会约束规划模型的意义是，决策者所做出的决策在特定概率内不需要满足约束，但所做出的决策要使得约束在一定概率上成立[12]。求解机会约束规划主要包含两种：其一，转换为确定性等价类，再进行求解；其二，利用蒙特卡罗随机模拟的方法求解[13]。此外，也有一些关于机会约束规划求解的智能算法。

1 问题与模型

1.1 问题描述

该问题考虑的是在某一周期内、某一种产品的供应链中生产分销决策优化问题，包括生产与分销两端，生产指的是工厂，分销包括分销中心和市场。产品从工厂流向分销中心，又从分销中心流向市场，其中，各个工厂所有的生产量全部流向分销中心。分销端以分销中心和市场的总费用最小化为目标，而生产端以工厂的总费用最小化为目标。以分销端为上层，生产端为下层构成双层规划问题。在计算费用时，分销端的费用除了实际成本支出以外还需考虑缺货成本与多余库存成本，而从工厂流向分销中心的费用由两方分摊，同时假设分销中心的相关运作费用为零。还有一点值得注意，即各工厂的最大生产能力与各市场的需求量均为随机变量。该问题中生产与分销系统结构如图1所示：endprint

1.2 模型参数

为了刻画和研究该生产与分销联合决策问题，设计了相关参数。本文研究问题所涉及的参数包含集合、一般参数、随机变量和决策变量4种。集合指的是工厂、分销中心与市场的集合；一般参数指描述该问题特征与性质的数量，如单位可变成本；随机变量是指变量的值无法在实验之前确定的量，如市场需求；决策变量是指可由决策者调整数值使目标函数尽可能优的变量，如从分销中心到各市场的分配量。具体参数如下：

1.3 模型建立

模型上层是以x为决策变量的分销决策，下层是以q为决策变量的生产决策；对于每一个上层决策x，都有一个对应的下层决策q，而q的值反过来又影响上层决策x的解，进而影响目标函数值。模型相关表达式含义如表1所示：

2 模型求解

2.1 算法流程

本文模型的求解思路是：对每一个给定的上层决策变量x，都要求解下层决策变量q，进而求解上层目标函数值，多次调整x并求解q，使目标函数尽可能大。求解的难度在于对应每一个x，都要求解一个q，即需要将下层规划求解嵌套在上层规划求解中。本文采用改进后的遗传算法求解，并将下层线性规划嵌套在上层规划求解中。

本文算法与一般遗传算法主要有两点区别：其一，针对双层规划问题，上层计算个体适应度函数前，都需要计算一次下层线性规划模型，即将下层规划嵌套在上层目标函数求解中；其二，针对目标函数含有随机变量这一特点，采用Monte Carlo随机模拟方法计算个体适应度函数。算法流程图见图2。

2.2 随机模拟计算适应度函数

2.3 算法具体步骤

步骤1：生成初始种群，设置算法参数；

步骤2：将上层目标函数设为适应度函数；

步骤3：对初始种群个体求对应的下层生产决策，得到下层决策的最优解；

步骤4：进而利用随机模拟方法，结合步骤3得到的每一个个体对应的下层最优解，求得个体的适应度函数；

步骤5：进行选择、交叉和变异操作；

步骤6：判断是否达到算法终止条件，达到则执行步骤7，未达到则返回步骤3；

步骤7：计算终止，输出最优的生产分销决策方案。

3 算例分析

4 结束语

本文研究了在不确定生产与随机需求的条件下，如何将分销端的决策与生产端的决策进行联合决策的问题。在分销端，同时考虑到各个市场的缺货成本与多余库存成本，使对问题的研究更加贴近现实。但本文研究也存在一些不够深入的地方，例如文中对工厂的选择进行无差别处理，没有考虑到工厂的其它指标对工厂选择的影响。这在作者后续研究中会进一步展开。

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