王建军，王晓东，毛北行

(郑州航空工业管理学院理学院，河南 郑州 450015)

一类不确定单摆系统的自适应滑模混沌同步

王建军，王晓东，毛北行

(郑州航空工业管理学院理学院，河南 郑州 450015)

基于Lyapunov稳定性理论研究一类不确定单摆系统的滑模混沌同步控制问题，给出切换函数和控制律的构造，研究表明一定条件下，选取适当的滑模面和控制器，不确定单摆系统的主从系统是混沌同步的，数值仿真说明该方法有效.

混沌同步；单摆系统 ；动力学

混沌系统具有复杂的动力学行为特征，近年引起人们极大的研究兴趣，其在自动化控制、化学反应、神经网络、保密通讯中有非常广泛的应用前景.单摆系统是一种常见的物理模型，在一定条件下呈现混沌行为，具有等时性、对称性、周期性等丰富动力学行为，成为机械传动、流体控制、仪表制造等领域的重要模型.朗和[1]对周期性外力作用单摆系统的动力学行为进行了研究.文献[2-3]中对于阻尼单摆的振动性进行了分析.文献[4]中设计了电流强度切换器来实现对于电磁单摆的控制.文献[5]中通过分岔图、相图、时域波形图对非线性单摆系统多参数混沌边缘进行了研究.文献[6]中对一类参激单摆非线性系统进行了相图和频谱分析.文献[7]中提出了衡量单摆混沌系统的指标.笔者基于Lyapunov稳定性理论对于含有不确定影响因素的单摆系统进行滑模混沌同步研究，研究表明，选取适当的控制律和自适应律，不确定单摆系统的主从系统是混沌同步的.

1 主要结果

无阻尼单摆系统：

(1)

其中θ为摆线与铅锤方向的夹角，g为重力加速度，l为摆线的长度.

(2)

其响应系统为：

(3)

其中Δfi(y)为不确定项，di(t)为有界的外部扰动，ui为控制器.

(3)式减去(2)式得到误差系统：

(4)

假设1：假设不确定项Δfi(y)以及外部扰动di(t)均为有界变量，即存在mi,ni>0满足：

|Δfi(y)|

假设2：其中mi,ni(i=1,2,3)未知.

假设3：Δfi(y)+di(t)=gi(t),i=1,2,3.

假设4：|gi(t)|≤ε|ei(t)|,0<ε<1.

假设5：ei(t)=0时，gi(t)=0，ei(t)≠0时，gi(t)≠0.

定义误差：e1(t)=y1(t)-x1(t) ，e2(t)=y2(t)-x2(t).

定理1在假设1～5成立的条件下，设计滑模面s(t)=e1+e2，选取控制器：

(5)

在上述假设1-5下，则整数阶单摆系统的主从系统(1)式与(2)式是滑模自适应同步的.

定理1的证明当系统沿滑模面运动时，

那么

s(t)=e1+e2=0

(6)

则

当系统不在滑模面上时，选取Lyapunov函数，

求导得：

-η|s(t)|<0

以下考虑有阻尼单摆系统：

(7)

其中θ为摆线与铅锤方向的夹角，γ为阻尼系数，g为重力加速度，l为摆线的长度.

(7)式可转化为

(8)

设计响应系统：

(9)

其中Δfi(y)为不确定项，di(t)为有界的外部扰动，ui为控制器.

定义误差：e1(t)=y1(t)-x1(t)，e2(t)=y2(t)-x2(t).

(9)式减去(8)式得到误差系统：

(10)

定理2在假设1-5成立的条件下，设计滑模面s(t)=e1+e2，选取控制器：

(11)

在上述假设1-5下，则整数阶单摆系统的主从系统(8)与(9)是滑模自适应同步的.

那么

当系统不在滑膜面上时，选取Lyapunov函数，

求导得：

-η|s(t)|<0.

2 数值算例

定理2中当ε=1，γ=0.6，g=9.8,l=1.2时系统呈现混沌态，选取

系统初始值设置为：x1(0)=0.5,x2(0)=1,y1(0)=-0.5,y2(0)=-0.5.

其系统的误差曲线如图2所示.从图中可以看出，系统一开始误差相距较远，随时间推移，系统误差渐趋一致，逐渐趋近于坐标原点，另外对比分析图1，2发现，有阻尼系统相对无阻尼系统去的同步的所需时间更长，图1中当t>0.10 s时系统就会取得同步，图2中当t>0.15 s时系统才取得同步，显然有阻尼情况下去的同步需要更长时间，另外从图中还可以看出，有阻尼的混沌系统相对于无阻尼的混沌系统所选择的控制器，即系统的控制输入更大更强，要维持两系统取得同步需要更多的能量输入，从而就表现为控制器更复杂.

图1 无阻尼系统的误差曲

图2 有阻尼系统的误差曲

3 结论

基于Lyapunov稳定性理论和分数阶微积分的相关知识研究一类不确定单摆系统的滑模自适应混沌同步问题，给出严格的数学证明和推理过程，得到单摆系统的主从系统取得滑模同步的充分性条件，研究表明选取适当的控制律下单摆系统混沌同步的，数值算说明该方法有效.

[1] 郎和. 保守单摆系统中的混沌运动[J].西北师范大学学报(自然科学版)，2002,38(4)：108-110.

[2] 陈文涛，龚善初. 单摆振动分析[J],湖南理工学院学报,2008,21(1):60-70.

[3] 于凤军. 单摆系统的振动研究[J].大学物理，2009,28(9)：9-15.

[4] 谢华燕.可控摆角与周期的电磁单摆系统设计[J].自动化与仪器仪表，2016,36(2):36-38.

[5] 贺尚宏，谢进，程杰锋，等. 非线性单摆动力系统多参数混沌边缘的研究[J].机械传动，2015,39(8)：1-4.

[6] 郜浩东，陈恩利，黎李阳. 参激单摆非线性系统动力学的实验研究[J].石家庄铁道大学学报(自然科学版)：2010，23(3):77-80.

[7] 李纪强，周斌，丁益民.单摆混沌现象的研究[J].湖北大学学报(自然科学版)，2013，36(4)：513-517.

[8] 梅生伟，申铁龙，刘志康.现代鲁棒控制理论与应用[M]. 北京，清华大学出版社,2003.

Chaossynchronizationofaclassofuncertaintysimplependulumsystems

WANG Jianjun，WANG Xiaodong，MAO Beixing

(College of Science, Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450015, China)

The problem of sliding mode chaos synchronization for a class of uncertainty simple pendulum systems is studied based on Lyapunov stability theory. Switching functions and control laws are given out. The conclusion was shown that master-slave systems of simple pendulum systems were sliding mode chaos synchronized under appropriate sliding mode surface and controlling law.Numerical simulations of chaotic system verify the effectiveness of the proposed method.

chaos synchronization ; simple pendulum systems; dynamics

2017-04-05

国家自然科学基金(11404291)和河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目(2013GGJS-142)资助

王建军 (1978-)，男，讲师，E-mail：wjj123789@126.com

1000-2375(2017)06-0580-05

O482.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.06.004

(责任编辑 赵燕)