周晓燕

摘 要：本文从多项式的最大公因式的定义出发，探讨了多个多项式的最大公因式的性质，并且系统地对其定理以及性质给予相应的证明.此外，探求多项式的最大公因式的多种求解方法.多项式的理论在数学史源远流长，内容丰富，高等代数在大学里的开设主要包含两部分：线性代数初步、多项式代数.这有力的彰显了多项式理论在高等代数里的地位，本文对多个多项式的最大公因式的性质做出系统归纳并证明.

关键词：多个多项式 最大公因式 高等代数

中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0164-02

1 两个多项式最大公因式的定义

定义1[1]设，如果满足以下条件

①且；②，若且，则；则称是的一个最大公因式.

注：①的最大公因式有无穷多个，我们约定把的首项系数为1的最大公因式为记作.②虽然最大公因式不唯一，但是其首项系数为1的公因式是唯一确定的.③如果，那么的最大公因式为0.④如果与不全为0，那么.⑤对于，与零多项式0的最大公因式是.⑥若是的最大公因式，一定有下式成立（为非零常数）.⑦若，则为的最大公因式.

2 多个多项式最大公因式

2.1 多个多项式最大公因式的定义

定义2-1存在最大公因式，，当满足以下条件时：①；

②，若，则；

我们称是的最大公因式

注：我们把的首项系数为1的最大公因式为记作.

2.2 多个多项式最大公因式的性质

定理2-1设是中的个多项式，则在中存在一个最大公因式，且可以表示成的一个组合，即有中多项式使：

.

证明 先证的存在.

对于中的……