● (阳新县高级中学,湖北 阳新 435200)

2017-08-01

邹生书(1962-)，男，湖北阳新人，中学高级教师.研究方向数学教育.

对一道向量最值高考试题的三重研究

●邹生书
(阳新县高级中学,湖北 阳新 435200)

2017年全国数学高考新课标卷Ⅲ理科第12题，是一道以平面几何图形为背景、以向量线性表示的等式为呈现方式，求线性系数和最大值的试题.试题在能力立意方面是一道值得深入研究的佳题，文章从一题多解、结论拓展和多题一法这3个方面对这道试题进行了三重研究.

向量;线性表示;最值;高考题;研究

2017年高考已尘埃落定，“研究高考试题，探寻高考新动向，指导高中教学和复习备考”是一线教师面临的重大课题.全国数学高考新课标卷Ⅲ理科第12题是一道以平面向量为载体求最大值的试题，题目能力立意平中见奇，思路入口宽，解法灵活多样，既能很好考查考生对基础知识、基本技能、通性通法的掌握情况，同时考查综合运用多种数学思想如化归转化思想、数形结合思想和函数方程思想分析问题和解决问题的能力，又能有效考查考生运算求解、推理论证和灵活选择解题策略的能力.下面笔者谈谈对这道试题从解法到问题推广，再到这类问题的求解通法的三重研究，希望对读者有所帮助.

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1 解法研究，探求一题多解

图1

建立如图1所示的直角坐标系，设⊙C与BD相切于点E，联结CE，则CE⊥BD.由面积法得圆的半径为

解法1(特殊点法)延长DC交⊙C于点F，则

由题意，得

当动点P为点F时,

于是

此不等式可用分析……