三阶矩阵李超代数的一类中心化子
2017-11-04郑克礼陈良云
侯 莹, 郑克礼, 陈良云
(1.东北师范大学 数学与统计学院,长春 130024; 2.东北林业大学 理学院,哈尔滨 150040 )
三阶矩阵李超代数的一类中心化子
侯 莹1, 郑克礼2, 陈良云1
(1.东北师范大学 数学与统计学院,长春 130024; 2.东北林业大学 理学院,哈尔滨 150040 )
本文主要研究三阶矩阵李超代数的一类中心化子.先将三阶矩阵分为四种情况,即gl(2,1),gl(1,2),gl(3,0)以及gl(0,3);然后计算并证明了gl(2,1)在偶部和奇部(i=0,1,2)的中心化子，gl(1,2)在偶部(i=0,1,2)和在奇部(i=0)的中心化子, 并给出了gl(3,0)在偶部和奇部(i=0,1,2)的中心化子;最后,总结给出了三阶矩阵李超代数的中心化子的一般规律及其结论.
3×3矩阵; 中心化子; 李超代数
0 引言
中心化子的概念最早是在研究抽象代数中的群结构时候被提出来的.毋庸置疑的是中心化子它不仅仅是一个子集, 还是一个子代数.所以中心化子也是研究李超代数结构时需要考虑的内容, 并且它还是一个不容忽视的研究方向.在数学研究中,上同调是一种十分重要的工具, 它涵盖了拓扑、代数、全纯函数等多领域;在李理论里,许多结论都可用它来解释,例如李代数模扩张的结构就能用1-阶上同调来阐明.此外,李超代数中的泛包络代数的形变理论也为物理学中的量子超群理论的研究提供了强有力的帮助.这些都极大地促进了李超代数的上同调理论的发展.我们知道,用伴随去体现一个李超代数能够看作其子代数的一个自然模,这个时候中心化子能够等价的看作零维上同调群.在文献[1]中,详细地研究与讨论了有关系数在Witt上的单模李超代数gl2|1的低维上同调方面的问题,同时还给出了求解有关该类问题的同调方法.所以能够确定,线性李超代数的低维上同调的方法会在研究李超代数的一些问题中具不可取代的重大意义.近年来对于中心化子的研究已有的成果主要集中在以下几方面中心化子的刻画:矩阵的中心化子及其维数, 中心化子阶的性质等.但对于矩阵作为李超代数的中心化子的研究报道非常少,尤其是关于求解这类中心化子的报道.本文就以三阶矩阵为例,探求其作为李超代数中心化子的相关问题.
本文以文献[2]中的素特征域上的CW(gl(0,3))为基础,在第二节里计算并证明了gl(2,1)在wi(i=0,1,2)和ωi(i=0,1,2)的中心化子,在第三节里计算并证明了gl(1,2)在wi(i=0,1,2)和ω0的中心化子,在第四节中利用前两节的思路直接给出了gl(3,0)在wi(i=0,1,2)和ωi(i=0,1,2)的中心化子的相关命题.最后给出了三阶矩阵李超代数的中心化子的一般规律及其结论.
1预备知识
[x,y]=-(-1)d(x)d(y)[y,x],∀x,yhg(L),
(-1)d(z)d(x)[x,[y,z]]+(-1)d(x)d(y)[y,[z,x]]+(-1)d(y)d(z)[z,[x,y]]=0(∀x,y,zhg(L)),
则称L是F上的李超代数.
Endθ(V)={xEnd(V)|x(Vμ)⊆Vμ+0},∀μZ2},
根据文献[4],我们知道广义Witt型李超代数有如下结构
W=w⊕ω,
其中:
则显然有:
{X1D1,X2D1,ζ1D1,X1D2,X2D2,ζ1D2,X1d1,X2d1,ζ1d1}是李超代数gl(2,1)的基,{X1D1,ζ1D1,ζ2D1,X1d1,ζ1d1,ζ1d2,X1d2,ζ1d2,ζ2d2} 是李超代数gl(1,2)的基, {X1D1,X2D1,X3D1,X1D2,X2D2,X3D2,X1D3,X2D3,X3D3}是李超代数gl(3,0)的基.
定义1.3 设L是李代数,A是L-模,Hn(L,A)=kerδn/Imδn-1称为L的系数在其模A上的n维上同调.
显然H0(L,A)则表示零维上同调.有关李代数上同调的相关概念及其性质请参见文献[5].对于任意的L-模A有如下引理1.1.
引理1.1 对于任意L-模A,H0(L,A)={aA|x·a=0,xL}.
满足此性质的元素a称为A中的不变元, 由所有的不变元构成的模A的子空间记为AL.素特征域上的CW(gl(0,3))详见文献[4].
2中心化子CW(gl(2,1))
2.1H0(gl(2,1),w)
命题1H0(gl(2,1),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=2,kY0{1,2}〉 ⊕
〈ζjDk|jY1{1},kY0{1,2})〉.
证明由w0=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=1,kY0〉可知,将其分为ζjDk和X(α)Dk,|α|=1.
由D1,D2,…，Dm线性无关,所以ck=0,则gj1-gj2=0,g1k=0.此时结果为
〈ζjDk|jY1{1},kY0{1,2}〉.
[XsDt,a]=0,[Xsd1,a]=0,[ζ1Dt,a]=0,[ζ1d1,a]=0
此时结果为〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=2,kY0{1,2}〉.
综上所述,H0(gl(2,1),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=2,kY0{1,2}〉⊕
〈ζjDk|jY1{1},kY0{1,2}〉.
命题2H0(gl(2,1),w1)=〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕
〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=3,kY0{1,2}〉.
证明由w1=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=2,kY0〉可知,将其分为ζiζjDk,X(α)ζjDk和X(β)Dk三种情况.其中|α|=1,|β|=2.
(1) 当X(α)ζttDk的X(α)为X1或X2,X(β)中含有X1或X2时,对于ζiζjDk(i 则根据[ζ1D1,a]=0,[ζ1D2,a]=0以及D1,D2,…，Dm线性无关,可知cjk=gk=0.根据[XsD1,a]=0(s,t=1,2),[Xsd1,a]=0,[ζ1d1,a]=0.可知hij1=hij2=0,h1jk=0. 对于kY0{1,2}时，讨论ζiζjDk中的i,j的取值问题.若i=j=1,则有[ζ1d1,ζiζjDk]=ζ1ζ1Dk;若i=j且均≠1时，[gl(2,1),ζiζjDk]=0.此时结果为 〈ζu-〈i〉Dk|jY1{1},|u|=3,kY0{1,2}〉. (2)当X(α)ζjDk中X(α)不为X1或X2,其中：jY1{1},kY0{1,2},并且同时满足X(β)中不含有X1或X2，kY0{1,2}时，则有[gl(2,1),a]=0此时结果为 〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉. 综上所述,有 H0(gl(2,1),w1)=〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=3,kY0{1,2}〉. 命题3H0(gl(2,1),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1,2},|γ|=4,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=4,kY0{1,2}〉. 证明由w2=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=3,kY0〉可知,将其分为ζiζjDk,X(α)ζiζjDk,X(β)ζjζjDk和X(γ)Dk,四种情况.其中|α|=1,|β|=2，|γ|=3. (1) 当X(α),X(β),X(γ)中含有X1或X2时,对于ζiζjζ1Dk(i 则根据[ζ1D1,a]=0,[ζ1D2,a]=0以及D1,D2,…，Dm线性无关,可知hijk=cjk=gk=0.根据[XsDt,a]=0(s,t=1,2),[Xsd1,a]=0,[ζ1d1,a]=0.可知mijl1=mijl2=0,m1jlk=0. 对于kY0{1,2}时，讨论ζiζjζlDk中的i,j,l的取值问题.若i,j,l至少有两个相等且不等于1时,则[ζ1d1,ζiζjζlDk]≠0；若i,j,l至少有两个相等且不等于1时,则[gl(2,1),ζiζjζlDk]=0.此时结果为〈ζu-〈i〉Dk|j{1},|u|=4,kY0{1,2}〉. (2)当X(α),X(β),X(γ)中不含有为X1或X2,其中jY1{1},kY0{1,2},则[gl(2,1),a]=0. 此时结果为 〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1,2},|γ|=4,kY0{1,2}〉. 综上所述, 有 H0(gl(2,1),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1,2},|γ|=4,kY0{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=4,kY0{1,2}〉. 推论1 对于Wk(k≥1)而言,结果应有k+2项直和.即 H0(gl(2,1),wk)=⊕〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|2≤α≤k+1,i{1,2},|α|+|u|=k+3,j{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2},|α|=k+2,kY0{1,2}⊕ 〈ζu-〈j〉Dk|j{1},|u|=k+2,kY0{1,2}〉. 由命题1-3以及推论1可得定理1. 定理1H0(gl(2,1),w)=H0(gl(2,1),w0)⊕H0(gl(2,1),wk)(1≤k≤n). 2.2H0(gl(2,1),ω) 命题4H0(gl(2,1),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=2,kY1{1}⊕ 〈ζjDk|jY1{1},kY1{1}〉. 证明由ω0=〈X(α)ζudk||α|+|u|=1,kY1〉可知,将其分为ζjdk和X(α)dk,|α|=1. 由d1,d2,…，dn线性无关,则有ck=0,所以gj1=0,g1k=0.此时结果为 〈ζjdk|jY1{1},kY0{1,2}〉. [XsDt,a]=0,[Xsd1,a]=0,[ζ1Dt,a]=0,[ζ1d1,a]=0. 此时结果为〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=2,kY1{1}〉. 综上所述,H0(gl(2,1),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=2,kY1{1}⊕ 〈ζjDk|jY1{1},kY1{1}〉. 命题5H0(gl(2,1),ω1)=〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY1{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉dk|i{1,2},|β|=3,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈jdk|j{1},|u|=3,kY1{1}〉. 证明由ω1=〈X(α)ζukk||α|+|u|=2,kY1〉可知,将其分为ζiζjdk,X(α)ζjdk和X(β)dk三种情况.其中|α|=1,|β|=2. (1) 当X(β)中含有X1或X2时,对于ζiζjDk,i 则根据[XsDt,a]=0(s,t=1,2)及d1,d2,…，dn线性无关有cjk=gk=0.由[ζ1D1,a]=0,[ζ1D2,a]=0.可知hij1=0.由[Xsd1,a]=0,可得hij1=0，hijk=0.对于kY1{1}时，讨论ζiζjDk中的i,j的取值问题.若i=j=1,则有[X1,d1,ζiζjdk]=X,ζ1dk≠0;若i=j且均≠1时，[gl(2,1),ζiζjdk]=0.此时结果为 〈ζu-〈i〉dk|j{1},|u|=3,kY1{1}〉. (2)当X(α)ζjdk中X(α)不为X1或X2,其中：jY1{1},kY1{1},X(β)中不含有X1或X2，kY1{1}时， 则有[gl(2,1),a]=0,此时结果为 〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉. 综上所述,有 H0(gl(2,1),ω1)=〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY1{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉dk|i{1,2},|β|=3,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=3,kY1⊕{1}〉. 命题6 H0(gl(2,1),ω2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY1{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY1{1}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉dk|i{1,2},|γ|=4,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=4,kY1{1}〉. 证明由ω2=〈X(α)ζudk||α|+|u|=3,kY1〉可知,将其分为ζiζjζ1dk,X(α)ζiζjdk,X(β)ζjζjdk和X(γ)dk,四种情况.其中|α|=1,|β|=2，|γ|=3. (1) 当X(α),X(β),X(γ)中含有X1或X2时,对于ζiζjζldk(i 则根据[XsD1,a]=0,(s,t=1,2]及d1,d2,…，dn线性无关,可知hijk=cjk=gk=0.由[ζ1Dt,a]=0可知mijl1=0,由[Xsd1,a]=0,得到m1jlk=0,由[ζ1d1,a]=0,有m1jlk=mijl1=0. 对于kY1{1}时，讨论ζiζjζldk中的i,j,l的取值问题.若i,j,l至少有两个相等且不等于1时,则[ζtD1,ζiζjζldk]≠0；若i,j,l至少有两个相等且不等于1时有[gl(2,1),ζiζjζldk]=0.此时结果为 〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=4,kY1{1}〉. (2)当X(α),X(β),X(γ)中不含有为X1或X2,其中jY1{1},kY1{1},则[gl(2,1),a]=0.此时,结果为 〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉dk|α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY1{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY1{1}〉⊕〈X(γ)-〈i〉dk|i{1,2},|γ|=4,kY1{1}〉. 综上所述, 有 H0(gl(2,1),ω2)=〈X(α)-〈i〉ζu-〈j〉dk||α|=2,i{1,2},|u|=3,j{1},kY1{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζjdk|i{1,2},|β|=3,jY1{1},kY1{1}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉dk|i{1,2},|γ|=4,kY1{1}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=4,kY1{1}〉. 推论2 对于ωk(k≥1)而言,结果应有k+2项直和.即 〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2},|α|=k+2,kY1{1}⊕ 〈ζu-〈j〉dk|j{1},|u|=k+2,kY1{1}〉. 由命题4-6以及推论2可得定理2. 定理2H0(gl(2,1),ω)=H0(gl(2,1),ω0)⊕H0(gl(2,1),ωk)(1≤k≤n). 所以结论如下: Cw(gl(2,1))=H0(gl(2,1),W)=H0(gl(2,1),w)⊕H0(gl(2,1),ω)= H0(gl(2,1),w0)⊕H0(gl(2,1),wk)⊕H0(gl(2,1),ω0)H0(gl(2,1),ωk), 其中1≤k≤n. 3.1H0(gl(1,2),w) 命题7H0(gl(2,1),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=2,kY0{1}〉 ⊕ 〈ζjDk|jY1{1,2},kY0{1})〉. 证明由w0=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=1,kY0〉可知,将其分为ζjDk和X(α)Dk,|α|=1, 〈ζjDk|jY1{1,2},kY0{1}〉. 〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=2,kY0{1}〉. 综上所述有H0(gl(1,2),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=2,kY0{1}〉⊕〈ζjDk|jY1{1,2},kY0{1}〉. 命题8H0(gl(1,2),w1)=〈X(α)-〈i〉ζu-〈j〉Dk|i{1},|α|=2,j{1,2},|u|=2,kY0{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉Dk|i{1},|β|=3,kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=3,kY0{1}〉. 证明由w1=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=2,kY0〉可知,将其分为ζiζjDk,X(α)ζjDk和X(β)Dk三种情况.其中|α|=1,|β|=2. (1) 当X(α)ζuDk的X(α)为X1,X(β)为X1时,对于ζiζjDk(i 则根据[ζ1D1,a]=0,[ζ2D1,a]=0以及D1,D2,…，Dm线性无关,可知cjk=gk=0.由[ζsdt,a]=0(s,t=1,2).可得h1jk=h2jk=0,再由[X1dt,a]=0,[X1D1,a]=0有h1jk=0，hij1=0. 对于kY0{1}时，讨论ζ1ζ1ζDk;若i=j且均≠1时，[gl(2,1),ζiζjDk]=0.此时结果为 〈ζu-〈j〉Dk|jY1{1},|u|=3,kY0{1}〉. (2)当X(α)ζjDk中X(α)不为X1或X2,其中：jY1{1},kY0{1,2},并且同时满足X(β)中不含有X1或X2，kY0{1,2}时，则有[gl(2,1),a]=0.此时结果为 〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1,2}〉. 综上所述,有 H0(gl(1,2),w1)=〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1},|α|=2,jY1{1},kY0{1,2}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉Dk|i{1,2},|β|=3,kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=3,kY0{1}〉. 命题9H0(gl(1,2),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1},|u|=3,j{1,2},kY0{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|i{1},|β|=3,j{1，2}，|u|=2,kY0{1}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1},|γ|=4,kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=4,kY0{1}〉. 证明由w2=〈X(α)ζuDk||α|+|u|=3,kY0〉可知,将其分为ζiζjζ1Dk,X(α)ζiζjDk,X(β)ζjDk和X(γ)Dk四种情况.其中|α|=1,|β|=2，|γ|=3. (1) 当X(α),X(β),X(γ)中含有X1时,对于ζiζjζ1Dk,i 根据,[ζ1D1,a]=0,[ζ2D1,a]=0及D1,D2,…，Dn线性无关,可知hijk=cjk=gk=0.由[ζsdt,a]=0(s,t=1,2),[X1dt,a]=0,得到m1jlk=m2jlk=0.由[X1D1,a]=0,有hijl1=0. 对于kY0{1}时，讨论ζiζjζldk中的i,j,l的取值问题.若i,j,l至少有两个相等且不等于1(或者2),则[ζsdt,ζiζjζlDk]≠0；若i,j,l至少有两个相等且不等于1(和2)时有[gl(1,2),ζiζjζldk]=0.此时结果为〈ζu-〈j〉Dk|j{1，2},|u|=4,kY0{1}〉. (2)当X(α),X(β),X(γ)中不含有为X1,而kY0{1},则[gl(2,1),a]=0.此时,结果为 〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|α|=2,i{1},|u|=3,j{1，2},kY0{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζu=〈j〉Dk|i{1},|β|=3,j{1，2}，|u|=2,kY0{1}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉Dk|i{1},|γ|=4,kY0{1}〉. 综上所述, 有 H0(gl(1,2),w2)=〈X(α)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||α|=2,i{1},|u|=3,j{1,2},kY0{1}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉ζu=〈j〉Dk||β|=3,i{1},|u|=2,j{1,2},kY0{1}〉⊕ 〈X(γ)-〈i〉Dk||γ|=4,1{1},kY0{1}〉⊕〈ζu-〈j〉Dk||u|=4,j{1,2},kY0{1}〉. 推论3 对于wk(k≥1)而言,结果应有k+2项直和.即 〈X(α)-〈i〉Dk|i{1},|α|=k+2,kY0{1}⊕ 〈ζu-〈j〉Dk|j{1,2},|u|=k+2,kY0{1}〉. 由命题7-9以及推论3可得定理3. 定理3H0(gl(1,2),w)=H0(gl(1,2),w0)⊕H0(gl(1,2),wk)(1≤k≤n). 3.2H0(gl(2,1),ω) 命题10H0(gl(2,1),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1},|α|=2,kY1{1,2}〉 ⊕ 〈ζjDk|jY1{1,2},kY1{1,2})〉. 证明类似命题4的证明方法可证,在此省略. 命题11H0(gl(1,2),ω1)=〈X(α)-〈i〉ζu-〈j〉dk|i{1},|α|=2,j{1,2},kY1{1,2}〉⊕ 〈X(β)-〈i〉dk|i{1},|β|=3,kY1{1,2}〉⊕〈ζu-〈j〉dk|j{1,2},|u|=3,kY1{1,2}〉. 证明类似命题5的证明方法可证,在此省略. 类比推论2的结论,同理可得推论4. 推论4 对于ωk(k≥1)而言,结果应有k+2项直和.即 〈X(α)-〈i〉dk|i{1},|α|=k+2,kY1{1,2}⊕ 〈ζu-〈j〉dk|j{1,2},|u|=k+2,kY1{1,2}〉. 由命题10-11以及推论4可得定理4. 定理4H0(gl(1,2),ω)=H0(gl(1,2),ω0)⊕H0(gl(1,2),ωk)(1≤k≤n). 由此可得如下结论: Cw(gl(1,2))=H0(gl(1,2),W)=H0(gl(1,2),w)⊕H0(gl(1,2),ω)= H0(gl(1,2),w0)⊕H0(gl(1,2),wk)⊕H0(gl(1,2),ω0)⊕H0(gl(1,2),ωk), 其中1≤k≤n. 4.1H0(gl(3,0),w) 参考2.1节和3.1节的证明方法,同理可得到以下命题和定理. 命题12H0(gl(3,0),w0)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=2,kY0{1,2,3}〉 ⊕ 〈X1D1+X2D2+X3D3〉⊕〈ζuDk||u|=1,kY0{1,2,3})〉. 命题13H0(gl(3,1),w1)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=3,kY0{1,2,3}〉⊕ 〈X2(1)D1+X2(2)D2+X2(3)D3〉⊕〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2,3},|α|=2,jY1,kY0{1,2,3}〉⊕ 〈X1ζjD1+X2ζjD2+X3ζjD3+|jY1〉⊕〈ζuDk||u|=2,kY0{1,2,3}〉. 命题14H0(gl(3,0),w2)=〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=4,kY0{1,2,3}〉⊕ 〈X3(1)D1+X3(2)D2+X3(3)D3〉⊕〈X(α)-〈i〉ζjDk|i{1,2,3},|α|=3,jY1,kY0{1,2,3}〉⊕ 〈X2(1)ζjD1+X2(2)ζjD2+X2(3)ζjD3|jY1〉〉 〈X(α)-〈i〉ζuDk|i{1,2,3},|α|=2,|u|=2,kY0{1,2,3}〉⊕ 〈X1ζuD1+X2ζuD2+X3ζuD3+||u|=2〉⊕〈ζuDk||u|=3,kY0{1,2,3}〉. 推论5 对于wk(k≥0)而言,结果应有2k+3项直和.即 〈Xm(1)ζuD1+Xm(2)ζuD2+Xm(3)ζuD3|0≤m≤k+1,|m|+|u|=k+1〉⊕ 〈X(α)-〈i〉Dk|i{1,2,3},|α|=k+2,kY0{1,2,3}〉. 说明在这一节中凡是含偶部元素的情况,均须单独考虑它的幂次. 4.2H0(gl(3,0),ω) 参考2.2节和3.2节的证明方法, 同理可得到以下命题和定理. 命题15H0(gl(3,0),ω0)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=2,kY1〉⊕〈ζjdk|j,kY1〉. 命题16H0(gl(3,0),ω1)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=3,kY1〉⊕ 〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2,3},|α|=2,j,kY1〉⊕〈ζudk||u|=2,kY1〉. 命题17H0(gl(3,0),ω2)=〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=4,kY1〉⊕ 〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2,3},|α|=3,j,kY1〉⊕ 〈X(α)-〈i〉ζjdk|i{1,2,3},|α|=2,|u|=2,kY1〉⊕〈ζudk||u|=4,kY1〉. 推论6 对于ωk(k≥0)而言,结果应有k+2项直和.即 〈X(α)-〈i〉dk|i{1,2,3},|α|=k+2,kY1〉⊕〈ζudk||u|=k+1,kY1〉. 因此得到如下结论： CW(gl(3,0))=H0(gl(3,0),W)=H0(gl(3,0),w)⊕H0(gl(3,0),ω)= 其中0≤k≤n. [1]孙丽萍,远继霞,刘文德.李超代数g(l)2|1到Witt超代数的低维上同调[J].数学的实践与认识,2013,43(8)238-243. [2]田丽媛,侯莹,郑克礼.素特征域上gl(0,3)在广义Witt李超代数中的中心化子[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2016,32(2):5-7. [3]张永正,刘文德.模李超代数[M].北京：科学出版社,2004. [4]郑克礼.李超代数的若干结构与表示[D].长春：东北师范大学,2014. [5]HOCHSCHILD G.Cohomology of Lie Algebras[J].Annals of Mathematics,1953,57(3):591-603. CentralizerofLieSuperalgebrasof3×3Matrix HOU Ying1,ZHENG Ke-li2, CHEN Liang-yun1 (1.School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Changchun 130024, China; 2.Northeast Forestry University, Harbin 150040, China ) This paper mainly discussed the centralizer of Lie superalgebras of 3×3 matrix which is divided into four conditions, namely, gl(2,1),gl(1,2),gl(3,0) and gl(0,3).On the basis of the previous conclusions, the similar method was applied to the analysis.Calculated and proved were the centralizer of the even and odd situation of gl(2,1) when i=0,1,2, and that of the even situation of gl(1,2) when i=0,1,2 and that of the odd situation of gl(1,2) when i=0, and that of the even and odd situation of gl(3,0) when i=0,1,2.The general rules of the centralizer of Lie superalgebras of 3×3 matrix were summarized and conclusions were put forward. 3×3 matrix; centralizer; Lie superalgebra 格式：侯莹,郑克礼,陈良云.三阶矩阵李超代数的一类中心化子[J].海南热带海洋学院学报,2017,24(5):42-49. 2017-09-11 国家自然科学基金资助项目(11171055) 侯莹(1995-),女,吉林舒兰人,东北师范大学数学与统计学院基础数学专业2017级硕士研究生,研究方向为李代数. 陈良云(1972-),男,四川广安人,东北师范大学数学与统计学院教授,博士,博士生导师,研究方向为李代数. O152.5 A 2096-3122(2017) 05-0042-08 10.13307/j.issn.2096-3122.2017.05.08 (编校吴炎)
3中心化子CW(gl(1,2))
4中心化子Cw(gl(3,0))
