江小兵，张浩博

(1.中国有色金属工业西安勘察设计研究院, 陕西 西安 710054；2.西安理工大学 土木建筑工程学院， 陕西 西安 710048)

有限元计算中土的变形模量取值探讨

江小兵1，张浩博2

(1.中国有色金属工业西安勘察设计研究院, 陕西 西安 710054；2.西安理工大学 土木建筑工程学院， 陕西 西安 710048)

为修正均匀介质的弹性理论计算变形模量的误差，使用ANSYS软件建立两种有限元计算模型，一种模型为完全均质地基模型，即与Boussinesq、Mindlin弹性理论相吻合的计算模型，另一种为荷载作用在刚性压板上的浅、深层平板载荷试验模型。然后根据具体算例进行对比分析，探讨有限元计算中土的变形模量取值。分析结果认为：在有限元或以弹性理论为基础的地基变形计算中，以浅层平板载荷试验计算得出的变形模量值，应再乘以1.079～1.157的系数计算土的变形模量；以深层平板载荷试验计算得出的变形模量值，应再乘以1.389～1.409的系数计算土的变形模量。

Boussinesq、Mindlin弹性理论位移解；浅、深层平板载荷试验；变形模量；有限元计算

土的变形模量 是岩土工程计算中非常重要的一个力学参数，它在地基变形分析计算或一些沉降的简化计算中起到举足轻重的作用[1]。它也是岩土界分析讨论的一个热点问题，诸多文献对其进行过分析探讨，如文献[1-4]，当采用有限元分析变形以外的其它岩土工程问题时，也有不少文献对其进行过研究分析，如文献[5-6]等。一般情况，均直接使用现行勘察规范的方法计算土的变形模量，用于土的变形或有限元计算，本文认为该计算方法存在一定的误差，有必要做更深一步的探讨分析。

据现行勘察规范[7]，土的变形模量应根据p-s曲线的初始直线段，按均质各向同性半无限弹性介质的弹性理论计算。浅、深层平板载荷试验的变形模量E0，可分别按式(1)、式(2)计算：

(1)

(2)

式中：I0为承压板形状系数；μ为土的泊松比；p为p-s曲线线性段的压力；s为与p对应的沉降位移;d为承压板直径或边长;ω为与试验深度和土有关的系数。

据文献[8-9]，式(1)源于Boussinesq课题的解析解，但在Boussinesq解析解基础上再乘了一个刚性承压板形状系数I0，式(2)源于Mindlin课题的解析解，由于理论公式比较复杂，不适宜直接用于工程计算，为工程简化计算，文献[10]引入了与承压板埋深有关的修正系数I1来体现二者的关系后，文献[8]又提出一个与泊松比有关修正系数I2，经过二次修正后，即可得到便于工程简化计算的式(2)。文献[8]结论表明式(2)符合理论分析结果又方便工程应用，该公式与理论值更加接近，更加合理。

笔者认为，这两个公式均源自于均质各向同性半无限弹性介质的弹性理论，计算对象是完全均质的弹性体，但浅、深层平板载荷试验是在刚性承压板上施加荷载的，它与土体是不同的介质，据文献[11]刚性压板的弹性模量E可达2×108kPa，而一般土体的变形模量仅为3～64.4×103kPa(文献[12])，两者相差4～5个数量级。据文献[8]，“由于深井载荷试验的开口效应，承压板上无介质存在，因此无论是用Boussinesq课题还是Mindlin课题描述深井载荷试验的特点都不是严格符合的，有一定的局限性的”。因此，直接使用均质各向同性半无限弹性介质的弹性理论计算浅、深层平板载荷试验土的变形或变形模量，是不合适的。文献[10]也指出刚性承压板或刚性基础接触应力的分布很复杂，地基中的应力分布不易计算。实际工程中，当承压板下土层分布复杂，使用完全均质的地基模型，其计算误差也会更大。

近年来，随着计算机软硬件技术的飞速发展，有限元计算发挥着越来越重要的作用。有限元方法计算岩土体竖向变形已为大家所认可，尽管有限元方法通常获得的是近似解，但理论上均匀介质的情况下，通过调整单元网格，有限元法可以无限接近Mindlin理论弹性位移解。对于非均匀介质，Mindlin理论弹性位移解已变得无能为力，但有限元法通过设置不同的介质单元，可以轻松解决刚性承压板上竖向荷载作用的位移问题。

本文根据Boussinesq、Mindlin弹性理论位移积分解，使用ANSYS软件建立两种有限元计算模型，一种模型为完全均质地基模型，即与Boussinesq、Mindlin弹性理论相吻合的计算模型，另一种为荷载作用在刚性承压板上的浅、深层平板载荷试验模型。然后根据具体算例进行对比分析，从而得出一些有益于工程实践的结论，以供参考。

1 Boussinesq、Mindlin弹性理论位移积分解

据文献[9，13]，圆形加载面积的直径为d，均布荷载大小为q，则中轴线的深度Z处位移计算公式，即Boussinesq弹性理论位移积分解为：

(3)

据文献[9]和《大直径扩底灌注桩技术规程》[14](JGJ/T 225—2010)，桩端下土体的沉降变形，可根据Mindlin位移解进行积分求得。

假设地面以下深度h处有一圆形均布荷载作用，圆半径为a，均布荷载大小为q，根据Mindlin位移解在圆面积上进行积分可得在自地面以下任意深度Z处产生的竖向位移为：

(4)

式中：μ为土的泊松比；E为土的变形模量。

式(4)也即是Mindlin弹性理论位移积分解。

经多个算例和文献[8，10]证实，式(1)与式(3)的解答(应该说[式(1)]=[式(3)]×I0)、式(2)与式(4)的解答是完全等价的，是一致的，本文不再进行论证。

2 有限元模型计算与Boussinesq、Mindlin弹性位移积分解的对比

为比较式(3)、式(4)即Boussinesq、 Mindlin弹性位移积分解与有限元计算的差异，以具体算例分别进行分析。

假设地表有一圆形均布荷载作用，圆直径为0.8 m，均布荷载大小为1 000 kPa，土层变形模量为E=30 MPa，土的泊松比μ=0.3，将上述参数代入式(3)、式(4)，计算自地面圆中心线下任意深度h处产生的竖向位移s1、s2，见表1。

表1 自地面圆中心线下任意深度h处产生的竖向位移

注：s1、s2、s3分别为式(3)、式(4)及有限元计算结果。

将该计算模型输入到有限元计算软件。假定直径为100 m、高为100 m的圆柱体为弹性半无限空间体，取其1/4空间对称模型进行分析。通过ANSYS软件，在地表圆面积上施加圆形均布荷载，计算模型1如下图1所示。计算自地表圆中心线下任意深度h处产生的竖向位移s3，计算结果见表1。

(a) 1/4空间对称实体模型 (b) 加载部位放大模型

图1有限元计算模型1和在圆面积上施加均布荷载情况

比较s1、s2，式(3)与式(4)的计算结果完全相等，说明式(3)仅是式(4)的一种特殊情况，当式(4)中Z=0时，式(3)与式(4)完全等价，只是式(4)具体计算h=0时存在极点，以一极小数代入计算即可。这也就说明Boussinesq弹性位移积分解仅是Mindlin位移积分解的一种特殊形式。因此，下文不再另外探讨Boussinesq位移积分解式(3)，即浅层平板载荷试验计算公式，仅分析Mindlin位移积分解式(4)，即深层平板载荷试验与有限元计算的差异。

比较s2、s3，从表1可清楚看出，自地表往下20 m范围内，两种计算方法误差基本在5%以内。由于式(4)计算的是半无限空间弹性体，而有限元计算的仅是一直径为100 m、高为100 m的弹性圆柱体，因此两者存在一定的误差，但随着网格的进一步细分，单元数量和求解方程的进一步增加，求解精度会进一步提高。通过有限元模型计算算例，式(4)可证明有限元模型计算的正确性和精确度。

3 刚性承压板对变形模量计算的影响分析

为比较完全均质地基模型与深层平板载荷试验模型竖向位移的差异，同样以具体算例进行分析。

假设地面以下深度20 m处有一圆形均布荷载作用，圆半径为0.4 m，均布荷载大小为1 000 kPa，土层变形模量为E=30 MPa，土的泊松比μ=0.3，将上述参数代入式(4)，计算自地面圆中心线下任意深度h处产生的竖向位移s4，计算结果见表2。

将该计算模型2输入到有限元计算软件。假定直径为100 m、高为100 m的圆柱体为弹性半无限空间体，取其1/4空间对称模型进行分析。通过ANSYS软件表面效应单元，在地面以下深度20 m处的圆面积上施加圆形均布荷载，计算自地面圆中心线下任意深度h处产生的竖向位移s5，计算结果见表2。

表2 桩端面圆中心线下任意深度h处产生的竖向位移

注：s4、s5、s6分别为式(4)、完全均质地基及深层平板载荷试验条件下有限元计算结果。

如图2所示，同模型2，计算模型3将圆半径为0.4 m，长20 m的圆柱体去掉，并增加一个0.2 m厚刚性压板，其弹性模量值E=2×105MPa，在刚性压板上施加1 000 kPa圆形均布荷载，土层变形模量、土的泊松比均与计算模型2相同。不难发现，图2计算模型3即为深层平板载荷试验工作条件下的有限元计算模型，计算桩端面圆中心线下任意深度h处产生的竖向位移s6，计算结果见表2。

图2深层平板载荷试验工作条件下的有限元计算模型3

比较s4、s5，从表2可清楚看出，自桩端面往下10 m范围内，两者的比值基本大于0.95，也说明有限元法计算精度可达95%。在20 m范围内，有限元法计算精度基本在90%以上。工程上，一般我们仅关心桩端表面中心点的竖向位移，从表2可看出，桩端表面中心点的竖向位移有限元法计算精度可达97%。

(5)

式(5)即说明，根据有限元计算结果，在深层平板载荷试验条件下，有刚性承压板作用的土体变形模量是式(2)计算的变形模量的1.407倍。换言之，在有限元或以弹性理论为基础的地基变形计算中，应以式(2)计算得出的变形模量值，再乘以1.407的系数计算土的变形模量。

分析式(4)，影响变形模量的计算参数有荷载作用深度h，承压板直径d，土的泊松比μ。

据现行勘察规范[7]和设计规范[15]，承压板直径d均取0.8 m，而现有土的变形模量经验参数均由浅、深层平板载荷试验计算而来，故此不再讨论承压板直径对变形模量的影响。

以下就土的泊松比μ、荷载作用深度h，对完全均质地基与深层平板载荷试验两种计算模型，探讨两者的计算差异。

4 泊松比对土变形模量计算的影响分析

为比较泊松比μ对完全均质地基与深层平板载荷试验两种计算模型的影响，同样以具体算例进行分析。其它参数同计算模型3，假定土的泊松比变化范围为0.15～0.45，由式(4)计算桩端面圆中心处产生的竖向位移s7见表3；同样在计算模型3中，也假定土的泊松比变化范围为0.15～0.45，利用有限元计算模型，计算深层平板载荷试验条件下，刚性承压板上任意点的竖向位移s8见表3。

表3 泊松比对土的变形模量的影响

注：s7、s8分别为式(4) 计算结果、深层平板载荷试验条件下有限元计算结果。

从表3可清楚看出，泊松比μ对两种比值的影响非常有限，当土的泊松比在0.15～0.45范围变化，两者的比值范围为1.406～1.448。据现行勘察规范[7]，一般土的泊松比取值范围为0.27(碎石土)～0.42(黏土)，则两者比值范围在1.406～1.418范围内变化。也就是说，当土的泊松比取值在0.27～0.42范围内变化时，在有限元或以弹性理论为基础的地基变形计算中，应以式(2)计算得出的变形模量值，再乘以1.406～1.418的系数计算土的变形模量。

5 荷载作用深度对土变形模量计算的影响分析

为比较荷载作用深度对完全均质地基与深层平板载荷试验两种计算模型的影响，同样以具体算例进行分析。其它参数同计算模型3，改变荷载作用深度h，假定荷载作用深度变化范围为0 m～30 m，由式(4)计算桩端面圆中心处产生的竖向位移s9见表4；同样在计算模型3中，假定荷载作用深度0 m～30 m，利用有限元计算模型，计算浅、深层平板载荷试验条件下，刚性承压板上任意点的竖向位移s10见表4。

表4 荷载作用深度 对土的变形模量的影响

注：s9、s10分别为式(4)和有限元计算结果，据勘察规范[1]，5 m内土层属浅层平板载荷试验，故按式(4)计算后要再乘圆形承压板形状系数0.785。

根据表4计算结果，就浅、深层平板载荷试验分别进行分析：

(1) 浅层平板载荷试验。从表4计算结果可以看出，浅层平板载荷试验因已乘圆形承压板形状系数0.785，故使得完全均质地基弹性理论解与浅层平板载荷试验条件下的有限元解计算差异不大，但仍存在一定的差异，在0 m～5 m深度范围内，两者比值范围在1.079～1.157范围内变化。故此，在有限元或以弹性理论为基础的地基变形计算中，应以浅层平板载荷试验计算得出的变形模量值，即式(1)计算值，再乘以1.079～1.157的系数计算土的变形模量。

(2) 深层平板载荷试验。从表4计算结果可清楚看出，当荷载作用深度在5 m～30 m深度范围内变化时，完全均质地基弹性理论解与深层平板载荷试验条件下的有限元解比值在1.389～1.409范围内变化，据式(5)，同上文分析可得出，在有限元或以弹性理论为基础的地基变形计算中，当土的泊松比μ=0.3时，应以深层平板载荷试验计算得出的变形模量值(式(2)或式(4))，再乘以1.389～1.409的系数计算土的变形模量。当土的泊松比μ在0.15～0.45变化时，可参考第4节论述，对计算结果做相应的调整。

6 结 论

浅、深层平板载荷试验的变形模量计算公式源于均质各向同性半无限弹性介质的弹性理论，计算对象是完全均质的弹性体，但浅、深层平板载荷试验是在刚性承压板上施加荷载的，刚性承压板与土体是不同的介质，且存在开口效应。对于非均匀介质，Mindlin理论弹性位移解已变得无能为力，但有限元法通过设置不同的介质单元，可以轻松解决刚性承压板上竖向荷载作用的位移问题。本文使用ANSYS软件建立两种有限元计算模型，一种模型为完全均质地基模型，即与Boussinesq、Mindlin弹性理论相吻合的计算模型，另一种为荷载作用在刚性压板上的浅、深层平板载荷试验模型。

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TheValueofSoilDeformationModulusintheFiniteElementCalculation

JIANG Xiaobing1, ZHANG Haobo2

(1.Xi'anInvestigationInstituteofChinaNationalNonferrousMetalsIndustry,Xi'an,Shaanxi710054,China; 2.Xi'anUniversityofTechnologyInstituteofCivilEngineering,Xi'an,Shaanxi710048,China)

In order to correct the error of calculating deformation modulus on the elastic theory of uniform medium, in this paper, two kinds of finite element calculation model is developed by using ANSYS software, one model for fully homogeneous foundation model, which is consistent with Boussinesq and Mindlin elastic theory; another is calculation model, a shallow and deep plate load test model, in which the load is applied to the rigid pressure plate. Then according to the specific example, the deformation modulus of soil is discussed in finite element calculation by comparison and analysis, the conclusions are that in the calculation of foundation deformation based on finite element or elastic theory, the deformation modulus are calculated by shallow plate load test, should be multiplied by 1.079～1.157 coefficient; the deformation modulus are calculated by deep plate load test, should be multiplied by 1.389～1.409 coefficient.

thedisplacementsolutionofBoussinesqandMindlinelastictheory;shallowanddeepplateloadtest;deformationmodulus;thefiniteelementcalculation

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.05.045

2017-06-28

2017-07-21

江小兵(1979—)，男，江西上饶人，硕士，工程师，主要从事岩土工程勘察和地基检测工作。 E-mail：155075214@qq.com

TU443

A

1672—1144(2017)05—0236—05