李金丽 刘建勋 姜春香王小江 岳航羽 李广才

(①国家现代地质勘查工程技术研究中心，河北廊坊 065000;②中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所，河北廊坊 065000)

·地震模拟·

黏声VTI介质正演模拟与照明分析

李金丽*①②刘建勋①②姜春香①②王小江①②岳航羽①②李广才①②

(①国家现代地质勘查工程技术研究中心，河北廊坊 065000;②中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所，河北廊坊 065000)

李金丽,刘建勋,姜春香,王小江,岳航羽,李广才.黏声VTI介质正演模拟与照明分析.石油地球物理勘探，2017,52(5):906-914.

黏弹性和各向异性广泛地存在于地球介质中。因此，将黏声拟微分方程的衰减项扩展到VTI拟微分方程中，提出一种黏声VTI拟微分方程，该方程可以同时考虑黏弹性和VTI性质。使用有限差分法求解该方程，其中衰减项在波数域求解，而其他项是在时—空域求解。在此基础上，发展了黏声VTI介质双程波照明分析方法。均匀模型的正演数值试验证明，本文提出的黏声VTI拟微分方程可以准确地描述地震波在黏声VTI介质中传播的运动学和动力学特征;凹陷模型的正演模拟说明介质的VTI性质引起了走时和波形的差异，而黏弹性导致了振幅的衰减;从最终的照明分析结果可以看出黏弹性和VTI性质影响波场能量的分布。

黏声介质 VTI介质 双程波波动方程 正演模拟 照明分析

1 引言

众所周知，地球介质中广泛存在着黏弹性和各向异性[1]，黏弹性会使地震波在传播中发生衰减，高频成分被吸收，而各向异性的影响表现为地震波的波形和走时发生变化。忽略地下介质的黏弹性和各向异性会影响地震波模拟的准确性，同时对数据处理与成像产生较大的影响。

实际地震波在地下传播时受到黏弹性衰减的影响。Day等[2]利用Pade公式将黏弹介质中的应力与应变的褶积关系近似为一种微分形式以便于求解； Emmerich等[3]提出了基于广义Maxwell线性固体模型的黏弹介质复模量的有理式，并发展了黏弹介质中的标量波传播的有限差分格式； Carcione[4]发展了以广义标准线性体(GSLS)模型为基础的黏声和黏弹正演模拟算法； Tal-Ezer等[5]使用伪谱法模拟黏弹介质中的地震波场传播； Robertsson等[6]推导了基于GSLS的各向同性黏弹性介质的一阶速度—应力方程，并采用交错网格有限差分方法进行黏弹介质的正演模拟； 奚先等[7]对黏弹随机介质中的地震波的传播进行了分析研究； 邵志刚等[8]结合了积分型和微分型本构方程的优点，采用交错网格有限差分方法对线性黏弹介质进行地震波正演模拟； 郭振波等[9]基于GSLS模型，使用非线性最优化理论求取松弛时间，构建了近似常Q黏声和黏弹模型； 王小杰等[10]基于黏弹介质的近似方程，对黏弹介质的纵横波速度、品质因子Q和密度进行反演，提高了储层预测的精度。

为了提高计算效率，物理学家采取了一些近似方式，如椭圆近似[11，12]、弱各向异性近似[13]和小角度近似[14]等。但在某些情况下，这些近似有一定的局限性。通常的替代方式是使用qP波近似，该方法是令S波速度在对称轴方向等于0以模拟qP波传播[15，16]。qP波近似的方法是有效且容易实现的，但可能会受到横波效应的影响，这是因为P波和S波在各向异性方程中是耦合的，这会导致数值计算不稳定[17]。基于此qP波近似，几种qP波拟微分方程的衍生形式被推导出来，这些方法在处理各向异性介质时具有更好的稳定性[18，19]。近年来，人们尝试使用纯纵波方程进行各向异性的正演模拟[20-22]。纯纵波法远比qP波近似方法更精确，可以获得非常准确的结果，而没有横波的影响。然而，这种方程含有复杂的拟微分算子，会产生巨大的计算成本。李娜等[23]采用Lebedev—标准交错网格，较大程度地降低TTI介质正演模拟的计算量。

地震波正演模拟技术能够准确地认识复杂地下构造地震波传播特征，也是地震波成像与反演的基础。主要包括射线类[24]和波动方程类[25]。面对复杂的非均质储层，如复杂的起伏地表和海底界面[26-31]、黏弹各向异性介质和小尺度目标体等，以射线理论和均匀介质假设的正演模拟方法无法对地震波场进行准确的模拟，因此需要发展复杂介质波场理论的正演模拟技术。照明分析方法同时考虑了观测系统对目标区域照明分布及波动方程中的角度和振幅对偏移成像效果的的影响，可以指导野外观测系统设计。射线类照明分析方法[32-34]的优点是通过射线很容易得到地震波的方向信息，然而，此方法采用高频近似及射线理论存在焦散，因此在复杂介质中很难保证其准确性[35]。波动方程类照明分析方法可以更加准确地模拟地震波的传播，又可分为单程波类[36-39]和双程波类[40，41]，单程波照明方法的计算效率更高，而双程波照明方法更准确地描述波场的运动学和动力学信息[42]。赵贤正等[43]提出了一种基于局部相似属性的照明分析方法，该方法不需要进行正演模拟，只依赖于地震数据，从而减少了照明分析的计算量。

本文采用黏弹介质和VTI介质的声学近似，将黏声拟微分方程的衰减项扩展到VTI拟微分方程中，提出一种同时考虑介质黏弹性和VTI性质的黏声VTI拟微分方程。使用有限差分法求解该方程，其中衰减项在波数域求解，而其他项在时—空域求解。同时，基于黏声VTI介质拟微分方程发展了一种黏声VTI介质双程波照明分析方法。通过均匀模型验证本文提出的黏声VTI拟微分方程的正确性，并采用凹陷模型对黏声VTI介质双程波正演模拟与照明方法进行分析与研究。

2 黏声VTI介质正演模拟

2.1 二阶黏声VTI介质拟微分方程

根据黏弹性理论，应力、应变的本构方程满足[44]

(1)

式中：σ为应力；E为应变；G为松弛函数； *为褶积； 上圆点“·”表示对时间求导。

(2)

式中：τσ为应力松弛时间；τE为应变松弛时间；k为松弛模量；H(t)表示亥维赛函数。设v为速度，u为波场值，则

σ=-u

(3)

(4)

将式(1)两边同时对时间求导，可得

(5)

由牛顿定律可得

(6)

(7)

(8)

求得。式(5)、式(6)构成基于标准线性固体模型(SLS)的黏声一阶应力速度方程。

对式(5)的两边同时求取关于t的偏导数

(9)

令k=ρv2，并把式(6)代入式(9)，可得

(10)

B=k(1+τe-t/τσ)H(t)

(11)

对式(11)的两边同时求取关于t的偏导数

(12)

式中Δ(t)表示狄拉克函数。将式(12)代入式(10)，可得

(13)

对式(13)进行二维傅氏变换，可得如下的频散关系式

(14)

式中:k表示波数；v为零频速度。整理式(14)，可得

(15)

当Q不是特别小时，τ≪1，可得

(16)

(17)

此时，式(14)可近似为

(18)

同理可得

(19)

研究表明，当Q不是特别小的情况下，Q模型的频散影响很小可以忽略[45，46]，因此忽略式(18)和式(19)中的虚部项，得到新的频散关系式

(20)

对式(20)进行傅氏反变换，则可以推导出基于SLS模型的二阶黏声介质拟微分方程

(21)

二维常密度VTI拟微分方程[47]常被用来进行qP波正演模拟，其表达式为

(22)

采用类似于Suh等[46]和徐文才等[48]的方法，将衰减项加入二维常密度VTI拟微分方程(式(22))中，可得黏声VTI介质拟微分方程

(23)

2.2 递推格式

采用高阶有限差分法求解式(23)，其中衰减项在波数域求解。本文使用时间二阶和空间2M阶的差分格式。具体的离散格式如下

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

式中： Δt是时间步长； Δx和Δz分别为水平方向和垂直方向的网格间距；其中上标表示时间坐标而下标表示空间坐标；kx和kz分别为水平方向和垂直方向的波数； F和F-1分别表示傅里叶变换和傅里叶反变换；c为差分系数。波场的递推格式为

(34)

3 黏声VTI介质双程波照明分析

将黏声VTI介质正演模拟方法应用于照明分析中，可以分析黏声VTI介质中波场传播和能量分布的特征。

利用式(34)的递推格式求得时间域每个质点的振幅，求取质点振幅的平方即可得到照明能量。同一震源的源向照明能量可由

(35)

求得。式中：Is为源向照明能量；tm为最大记录时间。同理，由互易定理可知，检波点照明等价于在检波点处放置震源，可得到检波点照明能量公式，也可称之为反向照明能量公式

(36)

式中Ig为检波点照明能量。

利用黏声VTI介质双程波波动方程进行照明分析，能够近似地模拟地下黏弹性和VTI介质的影响，使模拟的地下能量分布更加准确，而双程波算子相比于射线追踪算子、单程波算子等可以更准确地描述波场的运动学和动力学特征。

4 模型试算

4.1 正演模型试算

首先，为了验证所提出的黏声VTI介质方程的准确性，使用均匀模型模拟波场外推。模型的尺寸为4.0km×4.0km，网格尺寸为dx=dz=10m。该模型的速度为2000m/s，密度为2000kg/m3。VTI参数δ和ε的值分别为0.2和0.1，品质因子Q为20，时间步长为0.4ms。选用主频25Hz的Ricker子波，震源在(2.0km，2.0km)处激发。图1为0.8s不同介质的波场快照。可以看出，与声波VTI介质的波场快照(图1c)相比，黏声VTI介质的波场快照(图1d)能量很弱，但波场的形状几乎是相同的。同时，黏声VTI介质波场快照(图1d)的形状与黏声各向同性介质(图1b)的形状不同，但能量几乎是相同的。这表明介质的黏弹性降低了波场的振幅而VTI性质主要影响波前的形状和旅行时。在黏声 VTI介质的波场快照中，qP波波前的形状是椭圆形，而且qSV波的能量比qP波弱得多(图1d)。因为令剪切速度为0，无法完全压制qSV波。图2为不同介质的波形和频谱。可以看出，黏滞性既减弱了波场的能量(图2左)，又降低了主频及频带的宽度(图2右)。本文提出的黏声VTI拟微分方程可以准确地描述地震波在黏声VTI介质中传播的运动学和动力学特性。

图1 0.8s时刻不同介质的波场快照

图2 不同介质的波形(左)及频谱(右)

下面使用一个简单的凹陷模型测试VTI性质和黏弹性对正演模拟的影响，并测试本文方法的正确性。图3为凹陷模型。对VTI参数和Q参数进行适度平滑，以确保波场计算的稳定性。在凹陷模型中，ε和δ参数的异常值分别是0.2和0.1，Q参数的异常值为30。本文所设计的模型的尺寸是4.8km×2.8km，网格尺寸为8m。设计的观测系统如下：炮点在(2400m，8m)处激发，301个检波器均匀分布于地表。时间步长为0.5ms，记录时间为1.5s。用PML边界[49]消除人工边界反射。图4为不同介质单炮记录对比。从图中可以看出，实框区域展示的是因ε和δ参数导致的旅行时和波形差异，而虚线框区域展示的是因Q参数导致的振幅衰减。图5为图4虚线地表位置不同介质的地震记录对比。可以看出，VTI性质主要影响地震波的走时和波形，而黏弹性不仅对能量进行衰减，而且还降低了主频和有效频带宽度。

4.2 照明试算

为了进一步分析黏弹性和VTI性质对地震波波场照明能量分布的影响，本文采用图3凹陷模型进行双程波源向照明分析。采用的正演模拟参数如上文所述，得到的源向照明分布如图6所示。从图6a中可以看出，因为地下介质的不均匀性，震源能量也呈现不均匀分布。而声波VTI介质照明图中的能量分布与声波各向同性介质的能量有较大的差异，地震波能量在凹陷地区向下传播的能量更快，能量呈现一定的收缩形态，而在斜层区域的能量明显变得更弱，在斜层的两侧，照明能量又变强(图6b)；黏声各向同性介质照明图中的能量分布与声波各向同性介质的能量分布形态较为相似，但是深部能量明显更弱，能量呈现发散的形态(图6c)；黏声VTI介质的照明图中深部能量较弱，凹陷区域能量呈现集中收缩形态，而凹陷两侧能量呈现扩张发散的形态(图6d)。

图3 凹陷模型

图4 不同介质单炮记录对比

图5 不同介质图4虚线所示地表位置抽取的地震记录

为了更清楚地对地下不同深度的能量分布进行分析，抽取1000m和2000m深度的能量分布曲线，如图7所示。从图7左可以看出，黏弹性使得地震波波场能量明显减弱，但分布形态变化较小，VTI性质使得地震波波场能量分布形态发生变化，但总体能量维持在相同的位置，在此模型中，因为VTI性质的存在使得凹陷中部的能量明显高于凹陷边缘的能量，而在凹陷外部的能量也明显有所提高。在凹陷下面区域的能量分布(图7右)中可以看出，因为衰减的影响，使得深部的能量变得更弱(如图7右中绿色和粉色曲线所示)，地震波能量在凹陷斜层下方存在一个明显的强能量区域，在此区域VTI的影响几乎不存在，而在凹陷正下方和模型的两侧VTI的影响较为明显。因此，黏弹性和VTI性质对地震波波场能量分布产生较大的影响，在利用双程波照明进行观测系统设计时，需要对黏弹性和VTI性质进行准确的模拟。

图6 凹陷模型照明结果

图7 凹陷模型不同介质情况下1000m(左)和2000m(右)深度处的照明能量分布

5 结论与认识

(1)为了同时模拟地下介质的黏弹性和VTI性质的影响，采用声学近似进行研究。首先推导了不含记忆变量的黏声拟微分方程，该方程含有一个单独的衰减项，因此将衰减项扩展到qP波拟微分方程中，提出了一种同时考虑地下介质的黏弹性和VTI性质的黏声VTI拟微分方程，该方程在时—空域很难求解，因此将衰减项在波数域求解，而其他项在时—空域求解，并得到了有限差分递推公式，实现了该方程的准确求解。但需要注意的是，该方程只考虑黏弹介质的衰减性，而忽略了其频散特性，因此只适用于Q不是特别小的情况。

(2)基于该黏声VTI拟微分方程与有限差分递推公式，实现了黏声VTI介质双程波正演模拟与照明分析。模型的正演模拟试算验证了本文方法可以准确地模拟地震波在黏声VTI介质中传播的运动学和动力学特征，同时可以近似地模拟出地震波因为黏弹性的存在导致的能量衰减，以及VTI性质的存在导致的波形和走时的差异。

(3)由黏声VTI介质双程波照明分析的模拟可知，介质的黏弹性和VTI性质会对地震波的能量分布造成很大的影响，在利用照明分析对地震波的能量分布进行研究时，需要考虑地下黏滞性和VTI的影响以得到准确的照明能量分布。

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(本文编辑：金文昱)

1000-7210(2017)05-0906-09

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10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.2017.05.003

李金丽 硕士，1989年生；2013年毕业于桂林理工大学地球物理学专业，获得理学学士学位；2016年毕业于中国石油大学(华东)地质资源与地质工程专业，获得硕士学位；2016年7月至今于中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所工作，主要从事地震数据采集和处理工作。研究方向为地震波正演模拟、成像和全波形反演。

*河北省廊坊市金光道84号中国地质科学院地球物理地球化学勘查研究所，065000。 Email:308406196@qq.com

本文于2016年10月18日收到，最终修改稿于2017年6月30日收到。

本项研究受松辽外围西部盆地油气基础地质调查项目(DD20160164)和物化探所中央级公益性科研院所基本科研业务费专项资金(AS2017J11)联合资助。