罗 成 刘成龙

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 (641112)

对称：解答极值点偏移问题的有效手段*

罗 成 刘成龙

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 (641112)

函数极值点偏移问题是近年高考的热点问题，引起了众多老师们的关注.文[1-11]对极值偏移问题作出了深入的研究，介绍了极值点偏移产生的原因、给出了极值点偏移的定义以及介绍了极值点偏移问题的三种处理策略：构造一元阶差函数、构造对数平均不等式、利用换元法构造函数.文[4]认为对数平均转化法是该类问题的本质回归.我们认为该类问题的本质为“脱”f，即若m，n∈A，由f(x)在区间A上为单增函数(或减函数)及f(m)>f(n)(或f(m)n(或m

1.极值点偏移的图像表征

(1)极值点左偏

图1 图2

(2)极值点右偏

图3 图4

2.对称法解答极值点偏移问题简介

对称在数学中普遍存在，比如：图形对称，结构对称等等.对称在视觉上给人美的感觉，既能激发人的灵感，又能启迪人的智慧.从数学本身来看，对称是对象内部结构不变性；从解题学角度看，对称是对象内部信息的有序排列.作图形1、2、3、4中左边(或右边)图形关于直线x=x0的对称图形(见上文虚线).可以发现1、2、3、4虚线部分完全位于原图同侧部分的下(或上)方，这正是极值点产生偏移原因(x0左右函数图像增减速度不同)的直观展示.下面以图1为例，从对称的角度介绍极值点偏移问题的处理方法.

2.1 问题(如图1)

已知连续函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，若方程f(x)=c的解分别为x1、x2，且x12x0.

证明：作y=f(x)(xx0).令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(2x0-x)(x>x0)，得h′(x)=f′(x)+f′(2x0-x)>0(x>x0).于是h(x)>h(x0)=0，故f(x)>g(x)(x>x0)恒成立.由f(x1……