翟荣俊

摘 要

如何提高高三数学一轮复习课的有效性？许多在高三一线教学的老师提出了很多观点，总结出很多具体实施的方法和措施，比如有的教师认为要研究考纲考点、高考试题、考试说明，增强授课的针对性；有的认为教师要下题海，精心挑选练习题，精讲多练；要求学生搞错题本；要有教学计划；教师要团结合作，共享资源；查缺补漏，培优转差，激励学生等等.当然我们并不否定前面所提的许多具体措施，这些措施对提高课堂教学效果，促进学生成绩的提高无疑是有效的.但是仅仅做到这些还不能大面积提高学生的数学成绩，课堂教学有效性的核心内容是学生的发展，是学生对知识的自我构建，形成能力.课堂上必须是学生为主体，教师为主导，学生全面参与教学，知识体系、技能方法是学生自我构建的，而不是老师教给学生，更不是死记硬背.构建主义理论同样适用于高三复习课的教学，新课程理念与高考并不矛盾，相反，高三复习课必须在新课程理念的指导下才能最大限度地提高课堂教学的有效性，才能大面积提高学生的高考成绩。

【关键词】高三数学；一轮复习课；有效性

受某名校邀请，笔者就高三一轮复习中《直线与圆》的内容上了一节公开课，以下为课堂实录：

1 课前对话

（1）开场白：解析几何的学习，大家最大的感触是什么？感觉最难的是什么？

师生总结：运算量大，方法多，面对参数的时候不知如何转化。

（2）解析几何的基本数学思想——数形结合，

以两个重要的思想观念为基础：

一是坐标观念，通过位置量化——点的代数化；

二是运动变化的思想，点动成线，实现图形代数化。

（3）解析几何的基本方法——几何问题代数化（代数语言描述几何要素及其关系）

几何问题代数化——处理代数问题——分析代数结果的几何意义——解决几何问题。

（4）突出：平面解析几何的本质还是几何，是通过代数解析的方法解决几何问题。

2 教学过程

问题1.已知圆C经过点

三点，则圆C的方程为 。

学生思考，讨论，给出了以下方法。

方法一：待定系数法。设圆C方程为，因为经过A，B，C三点，

所以有；圆C的方程为。

方法二：细致观察后，可以发现，

，发现，圆C是以B，C为直径的圆，所以圆C的方程为

，

化简可得C的方程为。

（解后反思，解析几何问题的关键是几何问题代数化，在分析几何特性的时候，要善于观察几何关系，从而优化运算）

追问：若过原点O作直线l，恰好与圆C相切。则直线l的方程为 。

方法一：圆C：x2+y2-4x+3=0可转化为（x-2）2+y2=1，直线l与圆C相切，

所以直线l斜率存在，设为k，直线l方程为y=kx

所以圆心（2，0）到直线的l距离

。

方法二：将y=kx带入圆C方程，可得；

化简可得关于x的方程，因为直线l与圆C相切，

所以。

方法三：图象分析，由图1可知，，

所以斜率为

归纳小结：数形结合会给解题带来很多的惊喜。学会多角度的分析问题，在灵活多变的方法中，找寻最适合的方法。

2.已知点，直线l的方程为y=x+2，O为坐标原点，试分析直线l上是否存在点P，满足。

解析：学生比较容易想到的方法是设点P。利用两点间距离公式构建方程，研究方程的根。

方法一：假设存在点满足条件，则，

可得到，化简可得方程，

因为方程判别式，方程无解，所以得到在直线l上不存在点P，满足。

方法二：研究点P的几何特征，可设点P（x，y），因为，考虑阿波罗尼斯圆，

由可得，所以；化简可得点P所在的曲线方程为圆，

因为圆心M到直线l的距离

，所以不存在满足条件的点P。

（解后反思：在研究存在性问题时，不仅仅要重视设点构建方程求解，更要重视满足几何条件得点是否有确定的轨迹，从而简化问题的解决过程）

追问：已知点，直线l的方程为，O为坐标原点，若直线l上总存在两个不同的点P，满足，则直线l斜率的取值范围为 。

解析：本题的研究中，如果学生采用设点P。利用两点间距离公式构建方程，研究方程的根。的方法会比较繁琐，可以从几何特点出发研究问题。

解析：直线l的方程为，所以直线l经过定点，斜率为k。

点P满足，可得到点P所在的曲线方程为圆，

观察图2，可得当直线l与圆M相切时，

斜率，

直线l上总存在两个不同的点P，满足PA=2PO，

所以直线l斜率的取值范围为。

归纳小结：阿波罗尼斯圆在近年高考及模拟题中时常出现。

反映出命题中对数学文化的关注，在问题的研究中要关注。

3.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上。求圆C的方程。

解析：学生比较容易想到的方法是求出曲线y=x2-6x+1与坐标轴的三个交点坐标，分别是，根据圆的特点，设圆心C（3，m），利用CA=CP，求出圆心，得到半径，从而得到圆C的方程。

方法一：圆心C（3，m），利用，求出m=1，r=3。

所以圆C的方程为。

方法二：利用同解方程的特点，可直接设圆C的方程为，因为圆C过点 ，所以，所以圆C的方程为，即。

（解后反思：在求解圆的方程时，可以从解方程的角度，把握整体性，利用同解問题，简化方程形式，从而优化解题过程。）endprint

追问1：若圆C与直线交于A，B两点，且（O为坐标原点），求实数a的值。（本题也可以将“”变为“以线段AB为直径的圆经过原点O”）

解析：直线代入圆C：，

可得：（﹡），设，

如图3所示。

则，因为，所以。

所以

因为a=-1时，方程（﹡）的判别式，满足条件，所以a=-1。

追問2：过点P（1，0）作圆C两条互相垂直的弦AB，MN，

求证：为定值。

解析：，

，

因为，

所以为定值。

追问3：试求四边形AMBN的面积最大值。

解析：，

当且仅当AB=MN时，四边形AMBN的面积取到最大值为13。

3 对本节课的课后体会与思考

（1）高三数学复习课的教学内容和应充分和学生的实际学情相结合才能提高复习效率的时效性，数学的严谨求实也应和学生的活跃主动相结合才能有更好的复习效果。

（2）对本节课在教学实施中，老师充分体现了新课程理念，从学生的学的角度出发，层层推进，具体表现在：

第一步：问题引动，加强基础

夯实基础是数学第一轮复习的教学目标之一，对于基础知识的复习，由于学生已经有了第一次的学习经历，再加上课前的复习，总认为自己知道，传统的提问回答势必使学生感到乏味，因此，在教学中，围绕教学内容，设计问题，引导学生在解决问题中，使学生主动地复习相关知识。

第二步：主动探究，培养能力

提高素质，培养能力是第一轮复习的目标之二。而能力的培养要通过学生的主动探究来实现。在复习中，根据教学内容，精选例题，让学生通过独立思考或通过合作讨论解答，是培养能力的途径之一。因此，在教学中，我特别注意让学生动手做题，通过展示学生的解题过程，或让学生口答解题过程，师生共同评价，与学生一起分析解题过程中的得与失，总结提炼数学思想方法，使学生主动领悟、吸收、内化解题规律。

第三步：开放发散，综合创新

培养学生的创新意识和综合能力是数学教学的总目标，应贯穿于复习教学的全过程。因此，在复习中，特别注意设计更开放的问题，将内容引申拓展，引导学生进行发散思维，进一步培养学生的创新能力。

总之，这样的一堂课，老师引导着学生体验了“思考”、“实践”、“归纳”、“创新”几个过程，是课堂的真正主体，这些数学问题的完成，思想方法的归纳，很大程度上是学生自己完成的，知识是学生自己构建的，不是老师灌给他的，这样的数学一轮复习课才能真正体现出其有效性。

作者单位

江苏省无锡市洛社高级中学 江苏省无锡市 214000endprint