谢卫煌

新课标提出：“在教学中，应注重让学生在实际问题中理解基本的数量关系和变化规律……”。即在教学中，要让学生“经历将一些实际问题抽象为数学问题过程”，在数学活动中体会数学、了解数学、认识数学。甚至我们还要学会欣赏数学那“抽象”的“冰冷”的美，所以在数学教学中应该强调建模思想渗透，让学生经历“问题情景——数学建模——求解——解释与应用”的基本过程。

初看概念，一个是多面体，一个是长方体，两个不同的概念，怎么可以联系起来呢？我们首先来看最简单的多面体即三棱锥与四棱柱的关系。首先，我们追究一下三棱锥的概念：一个底面是三角形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做三棱锥。再看四棱柱，一个四棱柱（长方体是特殊四棱柱）可以分割成三个三棱锥，从这一点可以看出，三棱锥可以由四棱柱分割而来，可以看出三棱锥与四棱柱之间的关系，也就是说，三棱锥与四棱柱还是有着紧密的联系的，正因为这种紧密的联系，才让三棱锥的外接球问题可以尝试着用四棱柱去解。是否可以由此迁移，其他多面体外接球问题也可以借助直棱柱来解决呢？值得反思与探讨，这里，我们只研究多面体与最简单、最特殊的直棱柱即长方体之间的关系。同时，通过对全国高考卷试题的分析发现，多面体的外接球问题是高考的热点与高频考点，所以研究“借用直四棱柱解决多面体外接球问题”的方法具有非常现实而迫切的意义！具体来说：就是把多面体置身于长方体（含正方体）中，把长方体作为母体，建立数学模型，通过求它们的外接球半径，从而求多面体外接球半径，很多问题可以实现转化。这里首先引入两个公式，设正方体棱长为 ，外接球半径为 ，则 ；设长方体的棱长分别为 ，外接球半径为 ，则 。

一、三棱锥

1.正四面体

问题：一个棱长为2的正四面体，求其外接球的表面积？

如图1所示，把正四面体置身于正方体中，即可转化为求棱长为1的正方体的表面积，迎刃而解。

2.三棱两两垂直

例1：已知三棱锥 中， 两两垂直，且 ，求三棱锥 外接球的体积？

如图2所示，把三棱锥 置身于棱长分别为2，1，1的长方体中即可。

3.四个面是直角三角形

例2（2017年广州市一模第10题）：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥 为鳖臑， ⊥平面 ， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 则球 的表面积为（ ）

如图3所示，同样可借长方体的“壳”，求三棱锥外接球表面积。该三棱锥实际上就是长方体的一部分即三棱锥 ，底面 是直角三角形，从而可求

，从而选C。

4.底面是直角三角形

例如：如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯

視图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）

解析：把该三视图对应的几何体还原并指置身于

直棱柱中，如图4，发现底面 是直角边分别为

1、2的直角三角形，则由 ，从而可求 ，进一步可求得 。

5.对棱相等

这种三棱锥的外接球问题其实已经相对复杂，但如果建模，构造长方体，转化为长方体的外接球问题，思维敏捷，效率高效，可以达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村“的美好境界。

如在三棱锥 中，已知 ，求三棱锥 的外接球的表面积？

解析：如图5所示，把 置身于长方体中，设棱长分别为 ，使各面对角线满足 条件即可，则由 ，从而利用公式 得到：

，所以三棱锥 的外接球的表面积为 。

二、四棱锥

例4：如图6所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）

. . . .

解析：经三视图还原几何体可知该几何体为一个底面边长为 ，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，把它置身于一个正方体内（如图，正对的为面 ），很快即可以由公式 得到 从而选 。

三、其它多面体

例5：一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为（ ）

要求该几何体的体积，首先需要还原几何体，这个问题的背景是“几何体由长方体产生”，所以，结合三视图，只要先画一个长为6，宽为4，高为4的长方体，在该长方体中可以较快得到多面体 ，从而迅速求得该几何体的体积为48.

通过对本题的研究，学生真正经历了一次彻头彻脑的“问题情景——数学建模——求解——解释与应用”的基本过程，真正领略建模思想的数学意义，让多面体的外接球问题具备了广袤无垠的生机，并得到高效解决，从而收获学生浓厚的信心。对于全国卷来说，考查能力要求提高了，对于多面体外接球问题，牵涉到由三视图还原几何体、如何找多面体外接球半径，知识点多，还要求具備较强的空间想像能力，对于理科生来说，已经不容易，对于文科生来说，更是难点，所以，作为教师，应该充分调动学生思维，把实际问题转化为数学问题，充分利用转化思想，使问题得到简化与高效。建模思想在解决多面体外接球问题中的意义，不仅仅在于化复杂多面体为特殊几何体，还在于这种思想在“还原几何体”中的应用。所以，借用长方体解决复杂多面体外接球问题具有重大的意义！