赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

应用数学

微分算子第二特征值的上界不等式

赵晓苏，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑微分算子第二特征值的上界不等式的问题。 利用试验函数、多次分部积分、Rayleigh定理、Schwarz不等式与Young不等式等，得到用微分算子的第一个特征值来估计第二个特征值的不等式，其不等式在物理学和力学中应用广泛，在微分方程的理论研究中有重要的作用。

微分算子；特征值；特征函数；上界；不等式

Abstract：This paper considers the inequality of the upper bound of second eigenvalue for the differential operator. The inequality of the upper bound of second eigenvalue is deduced from first eigenvalue by using testing function， Rayleigh theorem，multiple partial integration，Schwarz inequality and Young inequality. The result is widely used in physics and mechanics，and it plays a significant role in the research of differential equations.

Keywords：differential operator；eigenvalue；eigenvaluefunction；upper bound；inequality

设(0，1)⊂R 是一个有界开区间，考虑特征值问题

式中：D-1y=0，D0y=y，k=1，2，…，s，s＞t≥1是任意整数；p( x)∈ Ci[0,1]，i=t+1，t+2，…，s；iq( x)∈ Ct[0,1]，还满足条件

式中：0＜μ1≤μ2；0＜v1≤v2。

当s＞t≥2时，问题(1)特征值的上界估计已有一些结果[1-5]。在本文中，考虑微分算子(1)并且左端的最低导数阶数比右端的导数阶数恰好高二阶的问题，且s＞t≥1，这个问题是文献[1]的推广。 运用文献[6]中的方法，对于任意整数s＞t≥1的微分算子，得到了问题(1)的用第一特征值来估计第二特征值的不等式，其结果在微分方程的理论研究和力学的应用中起着重要的作用[7]。

定理1 设λ1，λ2是问题(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，s＞t≥1，当时，则有

定理2 设λ1，λ2是问题(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，s＞t≥1，当时，则有

注 如果取s=t+1，a=0，b=1，得到文献[1]中的(1.4)和(1.5)，即

当时，

所以文献[1]的结果是本文中的一个特例。

1 定理的证明

设λ1是问题(1)的第一特征值，相应于λ1的特征函数为y1，简记y=y1，且满足

利用t次分部积分和式(6)，得

利用s次分部积分和式(7)，有

利用式(2)和式(8)，得

利用式(3)和式(7)，有

利用分部积分，直接计算得

利用Rayleigh定理，得

计算得

利用分部积分和φ(x)=(x-d)y，有

由式(13)和式(14)，得