高朝阳

(黑龙江科技大学)

创新物理关系理解三重积分计算公式

高朝阳

(黑龙江科技大学)

给出与密度有关的新的物理关系，利用这些新关系轻松理解三重积分计算公式的推导过程．

三重积分；新的密度关系；推导过程

0 引言

现在的微积分教材中，在讲二重积分时，都给出了它的几何意义和物理意义，分别是曲顶柱体体积和平面薄片的质量.并且利用几何意义解释了二重积分计算公式的推导过程.公式为

但是，对于三重积分，却只是在讲概念时提一下物理意义，没有提几何意义，而在三重积分计算公式推导过程中根本没有提物理意义.这是由于三重积分只有在特殊情况下的几何意义才便于理解，而现有的物理意义对理解三重积分计算公式的推导过程没有直接帮助.很多教师想利用现有物理意义结合数学思想来解释这一推导过程，或稍显抽象、或物理关系混乱，多数学生存有疑虑，不能很好理解这一公式.

在这里给出一组新的物理关系，利用它们可以轻松解释三重积分计算公式的推导过程.这组关系简洁明了，符合物理学科内在的逻辑性，更重要的是适合学生的理解能力，能使他们顺利理解并接受这一公式.

关于密度与质量的关系常用以下三个公式：

线密度×长度=质量

(1)

面密度×面积=质量

(2)

体密度×体积=质量

(3)

只靠现有的这三个关系，很难简单明了地解决三重积分计算公式推导过程难以理解的问题.

即使小学生也都知道

体积=面积×长度=长度×面积.

把公式(3)进行变化：

体密度×体积=体密度×(长度×面积)=(体密度×长度)×面积=质量

(4)

还可以变成：

体密度×体积=体密度×(面积×长度)=(体密度×面积)×长度=质量

(5)

新的关系出现了！“体密度×长度”看似荒谬，却产生了新的物理意义：它与面积的积等于质量，说明它等同于“面密度”，看看物理量纲，完全符合！同理：“体密度×面积”与长度的积等于质量，说明它等同于“线密度”.这组物理关系体现了对应、化归等数学思想在物理中的应用.虽然在实际中没有人这么用，但无论从物理意义还是从数学思想等方面都很容易理解，也好记忆.这样利用体密度和体积来求质量既可以直接算，也可以拆开求，就有三种方法可做.利用这组物理关系来理解三重积分计算公式的推导过程就顺理成章，水到渠成了.

三重积分有两个计算公式，分别是坐标面投影法：

(6)

坐标轴投影法：

(7)

同理，

面密度×面积=面密度×(长度×长度)=(面密度×长度)×长度=质量

(8)

[1] 同济大学数学系．高等数学：第七版 下册．北京：高等教育出版社，2015．

[2] 同济大学应用数学系．微积分：下册．北京：高等教育出版社，2007．

Abstract:A new physical relation on density is given.And using these new relationships,the derivation process of the formulas of triple integral calculation is understood easily.

Keywords:Triple integral；New density relation；Derivation process

(责任编辑：李家云)

UsingInnovatingPhysicalRelationtoUnderstandCalculationFormulaofTripleIntegral

Gao Chaoyang

(Heilongjiang University of Science and Technology )

O172

A

1000-5617(2017)02-0049-02

2017-01-17