文︳石向阳

以中国古代数学文化为背景的高考题赏析

文︳石向阳

太极图被称为“中华第一图”，是我国比较典型的古代文化符号。2017年，太极图出现在高考数学题中，让人眼前一亮，自豪感倍增。

如图1，正方形内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心，成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）。

图1

毋庸置疑，在高考试题中渗透数学文化，可以适当引导中学数学教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将知识的本质传授给学生。学生通过数学文化的熏陶，可以促进健全人格的养成。《普通高中数学课程标准》也把“体现数学的文化价值”作为高中数学课程的十项基本理念之一，强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容，要求把数学文化渗透到每个模块或专题的学习中。

多年以来，无论是各省市高考自主命题的地方卷还是新课标全国卷，均出现了以数学文化为背景的试题，成为新课改理念下高考改革和发展的一道靓丽风景，逐渐形成了“依托数学史料，嵌入数学名题，彰显数学文化”高考数学命题特色和亮点。

本文选取部分有中国古代数学文化背景的高考试题进行剖析，为广大中学数学教师更合理地利用教材进行数学文化的教学提供参考。

1.以中国古代数学名著为命题背景

数学名著是命制优秀考题的好素材，一般是从名著中选取一段相关的数学材料，在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养。

例1（2015年高考全国卷I）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图2，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）。

图2

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

背景分析 本题依托数学名著《九章算术》，考查圆锥体积公式。题目属于生活生产中谷物储存问题，源于《九章算术》第五章“商功”，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养。试题插图的创新是本题的一个亮点，一是增强了数学问题的生活化，使数学的应用更贴近学生的生活实际；二是有利于考生分析问题和解决问题；三是探索了高考数学试题插图的新形式，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例。

《九章算术》是我国古代数学名著，多次出现在高考试题中，比如2015年的全国高考卷II，2011年、2012年的湖北高考卷等。另外，《算数书》《数书九章》等名著都曾出现在高考数学试题中，值得老师们关注。

2.以中国古代数学猜想为命题背景

数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，也是人类理性中最富有创造性的部分。数学猜想是命制考题的极好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法，有利于学生形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

例2（2013年上海卷（理））在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D（如图3中阴影部分）。记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面积为+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________。

图3

背景分析 祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时期伟大的科学家。他继承刘徽和祖冲之的工作，解决了球体积的计算问题，与其父共著《缀术》。在天文学方面，曾测量日影长度,发现北极星与北天极不动处相差一度有余，纠正了北极星就是北天极不动处的错误观点。主要著作有《漏刻经》一卷、《天文录》三十卷（均已失传）。祖暅在数学上的突出贡献是，他在实践的基础上,于5世纪末提出体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异。”“势”即是高，“幂”是面积。意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲直到17世纪才有意大利数学家卡瓦列利提出上述结论。

3.以中国古代数学定理为命题背景

历史长河中积淀下来的数学成果是数学家集体智慧的结晶，数学的发展自然离不开一个个或熟悉或陌生的面孔，他们满腔热情地为数学大厦贡献毕生精力。从某种意义上说，数学史就是数学家的历史，数学家的创新精神正是数学精神。以数学家的定理为背景命制考题，正是对创新精神、数学精神的一种传承。

例3（1979年高考全国卷）叙述并证明勾股定理。

据悉，此题为数学家潘承洞教授所出。当年的得分率非常低，被人戏称为“百里挑一”。

4.以中国古代数学名题为命题背景

数学名题和音乐、绘画、雕塑、建筑等艺术作品一样是人类文化的瑰宝，具有非凡的魅力。它常常蕴含深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联。经验表明，数学名题是可以持续地开采出高考题的一脉富矿。

例4（2007年高考湖南卷理科）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图4所示的0-1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第____行；第61行中1的个数是____。

背景分析 显然本题3个小题都有杨辉三角的背景。杨辉三角是特殊的数阵。本题以杨辉三角为载体，变化出不同的数阵，别具特色，考查考生的观察、归纳、猜想的能力和用等价转化思想解题。杨辉是我国南宋末年的一位杰出数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴含了许多优美的规律。高中生对这些大数学家及成果应当有所了解。

以上从四个方面谈了试题命制的中国古代数学文化背景。高考中编制的数学试题，除了要实现能力考查的要求以外，还应注重对数学文化的渗透，特别是对中国古代传统优秀文化的渗透，从而促进学生理性思维的发展。这是新时期数学学科内容与能力改革考查的目标之一。数学文化是数学学科的一个有机组成部分，我国古代数学里有大量的实际问题，可以结合函数、数列、立体几何、算法等内容，通过创设新的情境、改变设问方式、选取适合的知识内容等渗透数学文化。这些问题既注重体现理性思维的本质内涵，也体现了应用性的考查。中国古代数学文化博大精深，中国古代数学文化在高考中的浸润，需要广大教师用心感悟，仔细品味。

【本文系湖南省教育科学“十三五”规划2016年度课题“创新应用导向的小课题研究”（课题编号：XJK016BZXX044）研究成果】

（作者单位：长沙市南雅中学）

图4