文︳邓友祥

高级数学思维及其培养策略（下）

文︳邓友祥

4高级数学思维的培养策略

实践表明，数学思维由低级向高级发展，既不能采用拔苗助长的办法，也不能消极等待。数学教学要借鉴数学家获得数学概念、原理时的思维活动过程，分析学生的数学思维过程，并据此设计教学情境，这样才能符合学生的思维活动规律[17]。这也就是指，数学教学要不断促进学生的数学思维由低级向高级发展，关键在于如何针对高级数学思维的基本内涵、核心要素和主要特征，采取有效的教学对策，不断引发学生进行有效的深度数学思考。

4.1 发展学生的逻辑结构

数学知识有其内在的逻辑联系，是一个有机的整体。“逐渐形成和发展学生的作为数学活动基础的那些逻辑结构是数学教学最重要的手段”[6]。同时，这也是促进学生数学思维水平上层次的重要前提。这就要求数学教学要关注学生对数学知识本质的认识与理解，最大限度地以推理的逻辑结构驾驭其内容，对任何数学知识内容的教学，不仅要使学生了解其本身的规定和含义，而且要将其与其他知识作纵横比较，使之纳入学生已有的知识结构。在横向方面，要引导学生比较知识之间的区别和联系，以有助于学生把头脑里的知识形成合理的逻辑结构；在纵向方面，要致力于揭示知识间的上下从属关系，弄清知识的序与流，从而有助于学生深刻理解和掌握所学数学知识。

比如，教函数的单调性时，如果学生从具体实例出发，通过思考，仅能概括得出增（减）函数的定义，则学生对函数单调性的认识还没有上升到逻辑层面，其数学思维表现为低级。此时，教师有必要将学生的思维引向深入，得到如下更加概括化的知识：对属于所研究区间内的任意两个变量x1，x2，若（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0（＜0），则f（x）为增（减）函数。这样教学，能使学生的数学思维处于较高的概括化程度，有助于学生逐步形成整体联系观，发展其逻辑结构，促使其数学思维向高层次发展。

4.2 提高学生的问题表征水平

研究表明，问题的适当表征与问题的成功解决之间存在正相关[18]；不当表征与解题成绩成负相关[19]。由此看来，数学问题表征是数学问题解决的核心和关键。这是学生数学思维水平上层次的重要基础。就数学学习而言，数学问题表征是指根据数学问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转化为内部心理符号的过程。要促进学生的数学思维水平上层次，就必须不断提高学生的数学问题表征水平。

学生能适当表征所给的数学问题，其前提是要理解数学。因此，提高学生的数学问题表征水平，重在加强学生数学语言（文字、符号、图形、表格等）表达能力的培养，进行文字与符号、符号与图形等之间的互译，加强定理证明、问题解决思路等说题训练，促进学生数学思维层次不断提升，加深对所学数学知识的理解。

有必要指出的是，数学问题表征水平与学习者的个体差异密切相关。同一数学问题对不同的学习主体来说，会有不同的表征，因而也就会呈现出不同的学习结果和数学思维水平。但不等于说，学生的年级越高、知识掌握越多，其数学问题表征水平就越高，数学思维就肯定是高级的。比如，关于“求|x+2|+|x-5|的最小值”问题，对具有丰富数学知识的高中学生来说，无论采用代数表征还是几何表征来解，其数学思维都算不上高级；但对初中学生而言，若能采用如下几何表征来解，即依据绝对值概念的几何意义，将问题转化为“在数轴上寻求一点，使其到A、B（分别对应数-2、5）两点的距离之和最小”的简单问题，则反映其能超越常规思维，合理调配和有机重组已有知识等信息资源，并能选择合理的问题解决策略，此时学生的数学思维表现就是高级的。

4.3 培养学生的数学“再创造”能力

弗赖登塔尔提出：“数学教学的核心是学生的‘再创造’，这就是说，数学学习事实上就是这样的‘再创造’过程，我们在此并非是要机械地去重复历史中的‘原始创造’，而应根据自己的体验并用自己的思维方式重新创造出有关的数学知识。”［20］学生实现“再创造”的过程，实质就是数学思维由低级向高级发展的过程。“数学教师在设计数学活动教学时，所选择的问题及安排的数学活动不但要适合于学生现有的数学思维水平，更应该考虑到促进学生的数学思维向下一个数学思维阶段发展。换而言之，就是既要考虑到学生数学思维能力水平的限制，又要考虑到数学思维发展的潜力。”［17］因此，要实现学生数学学习的“再创造”，应适当加大数学知识难度和渗透科学认识的教学，重视学生对科学方法的掌握及对科学价值的理解，加强学生整理知识和重组知识能力的培养，使学生能从知识材料间的问题和矛盾中不断探索、发现并解决问题，实现认识的深化和发展。

为了避免教学中的低级思维，促进学生的数学思维由低级向高级发展，根据维果茨基的“最近发展区”理论，数学问题的设计不能仅凭教师的想象，而应是学生“最近发展区”中的问题，使学生有进一步推广和思考的余地，以有利于其实现数学的“再创造”。比如，教数列的通项公式时，在学生完成练习“已知数列的通项公式，写出这个数列的前四项”后，笔者曾让学生逆向思考如下问题：根据数列的前四项0，1，0，1写出该数列的一个通项公式。结果学生得到如下几个答案：（1）抓住数列的奇偶项特征得到联想指数函数、对数函数得依据三角函数的周期性等知识得综合运用上述知识得。上述结果中，仅得出（1）的学生，其数学思维表现是低级的；能得出（2）（3）（4）结果者，反映其合理调配并整合已有数学知识的能力较强，数学思维有一定的创造性并表现为高级。这说明，只要给学生提供合适的问题空间，便能有效激发学生的创造潜能。

4.4 加强学生数学思维自我监控能力的培养

研究表明，优等生和中等生在问题解决上所表现出来的差异主要来源于思维策略上的差异，优等生在问题空间的搜索中，更善于捕捉启发信息，能更快地从试误策略转化为启发式搜索策略。进行思维策略训练的重要任务，就是要加强学生元认知控制能力的培养。元认知控制是对认知行为的管理和控制，是主体在进行认知活动的过程中，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地对其进行积极、自觉的监视、控制和调节[21]。加强学生元认知控制能力培养的关键，就是要加强学生数学思维自我监控能力的培养。这就要求平时的数学教学，教师应有目的、有计划、有意识地引导和指导学生在有效完成数学学习任务时，清醒地认识到自己应该做什么、何时做、如何做，学生则在不断进行思维自我监控和调节的过程中，促使自身的数学思维逐步由低级向高级发展。

4.5 加强学生数学反思能力的培养

做数学是目前数学教育的一个重要观点，它强调学生学习数学是一个现实的经验、理解和反思的过程[22]。这里的做数学，不能简单地理解为解数学题，它指的是学生在数学活动中所经历的一系列数学过程，具体包括观察、分类、比较、分析、综合、抽象、概括、猜想、论证、反思、评判等数学活动。因此，数学教学应从数学学科特点出发，对学生的数学认知活动进行深入研究，重视引导学生进行批判性回顾，促进学生的数学思维由低级向高级发展。

引导学生进行批判性回顾，应鼓励学生大胆质疑，培养学生的反思习惯和反思能力。现在我们培养的学生往往只会做“学答”，即学会回答别人已经解决了的问题，而不会做“学问”，即不会问问题、不知怎样问问题。书本知识是一定条件下的经验总结，有一定的适应范围，但人们的认识会随着社会实践的发展而不断深化。因此，教师要提倡学生敢于怀疑课本中每道例题的解答、定理证明的简捷性（甚至正确性），注意培养学生的学习自信心，乃至科学自信心。

比如，人教版高中数学第二册（上）有如下一道例题：已知x、y都是正数，求证：（1）如果xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值。实际教学中，我们发现绝大多数学生不会去反思这样的问题：教材中为什么不考虑x+y的最大值和xy的最小值？对此，教师可以引导学生进行反思、交流。学生认识到，两个正数的积一定，其中一个可以任意大，因而它们的和的最大值就不存在；两个正数的和一定，其中一个可以任意小，另一个是有限数，因而它们的积的最小值就不存在。这样的教学既渗透了函数思想、极限思想，又能促使学生的数学思维向较高层次发展，有助于学生形成独立思考的良好习惯和勇于质疑的科学思维。

同时，教师应引导学生反思问题解决过程中所运用的数学概念、数学规则的正确性，反思所采用的解题策略是否合理或最优，反思数学问题本身有无可利用的隐含条件，反思解题表达是否规范等，从而不断提高学生的批判性思维水平，促进高级数学思维的发展和数学学习水平的提升。

例如，教圆的方程时，我们让学生思考如下的问题：有一圆与直线x-y+3=0相切于点（2，5），且经过点（2，3），求此圆的方程。结果几乎所有学生都是通过数形结合的方法列出方程组，再解这个方程组，得出所要求的圆的方程。显然，就本题而言，仅采用此种解法的学生，其数学思维表现就是低级的。实际教学中，当教师要求学生反思问题解决策略是否最优时，有学生想到了将切点视为点圆，可采用共点曲线系方法解之。即视切点（2，5）为点圆（x-2）2+（y-5）2=0，设所要求的圆的方程为（x-2）2+（y-5）2+λ（x-y+3）=0，将点（2，3）的坐标代入此方程得λ=-2，从而得到所求的圆的方程为x2+y2-6x-8y+23=0。采用此法，解题过程简单明了，说明学生表现出了较高层次的数学思维。

最后有必要指出的是，培养学生的高级数学思维始终是数学课程最重要的核心任务和长久任务，这是学生数学学习能力发展和数学学习水平提高的根。平时的数学教学应有目的、有计划、有针对性地将高级数学思维的训练有机贯穿人才培养全过程，改善学生的数学学习方式，以切实提高学生的数学学习效率。否则，片面追求高级数学思维培养的任何数学教学都是没有意义的，因而也就失去了其应有的教学价值。

【本文系江苏省重点建设一级学科——数学（JSXK201301）；江苏省高等教育教改研究重点立项课题“MPCK（MPCA）视阈下数学本科专业教师教育课程设置研究”（2015JSJG059）成果】

（作者单位：江苏省泰州学院）

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